\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]

Integraalifunktio

Aloitetaan integraalilaskennan tarkastelu määrittelemällä, mitä tarkoitetaan funktion integraalifunktiolla. Jatkossa integrointia tarkastellaan jollain avoimella reaalilukuvälillä \(I\), joka voi olla rajoitettu tai rajoittamaton. Toisin sanoen väli \(I\) on reaalilukujen \(\R\) osajoukko, ja tätä voidaan merkitä yksinkertaisesti \(I\subset\R\). Tässä osiossa ollaan siis kiinnostuneita välillä \(I\) määritellyistä reaalifunktioista \(f: I \to \R\). Tällä merkinnällä tarkoitetaan, että funktio \(f\) on määritelty välillä \(I\) ja se saa reaalisia arvoja, eli sen määrittelyjoukko on \(I\) ja maalijoukko \(\R\). Esimerkiksi funktio \(f:(0,1)\to\R\), \(f(x)=x^2+1\) on välillä \((0,1)\) määritelty reaalifunktio, ja sen arvoja voidaan laskea välin \((0,1)\) eri pisteissä.

Määritelmä 1.2.1

Funktio \(F : I\to\R\) on funktion \(f : I\to\R\) integraalifunktio eli antiderivaatta (antiderivative) välillä \(I\), jos \(F'(x)=f(x)\) kaikilla välin \(I\) pisteillä \(x\).

Esimerkki 1.2.2

Olkoon \(f(x)=2x+1\). Silloin esimerkiksi \(F(x)=x^2+x-4\) ja \(G(x)=(x+1)^2-x\) ovat funktion \(f\) integraalifunktioita, koska \(F'(x)=f(x)\) ja \(G'(x)=f(x)\).

Esimerkki näyttää, että integraalifunktio ei ole yksikäsitteinen. Eri integraalifunktiot eroavat toisistaan kuitenkin vain vakion osalta.

Lause 1.2.3

Olkoon \(F\) jokin funktion \(f\) integraalifunktio välillä \(I\). Tällöin jokainen funktion \(f\) integraalifunktio voidaan esittää muodossa \(G(x)=F(x)+C\), missä \(C\in\R\). Vakiota \(C\) kutsutaan integroimisvakioksi.

Piilota/näytä todistus

Olkoot \(F\) ja \(G\) funktion \(f\) integraalifunktioita välillä \(I\). Merkitään \(H(x)=G(x)-F(x)\). Silloin

\[H'(x)=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0,\]

ja siis \(H\) on vakiofunktio ja siis \(H(x)=G(x)-F(x)=C\) jollain reaalivakiolla \(C\).

Määritelmä 1.2.4

Funktion \(f : I\to\R\) integroimisella tarkoitetaan kaikkien funktion \(f\) integraalifunktioiden määrittämistä välillä \(I\). Funktion \(f\) integraalifunktiolle \(F\) käytetään merkintää

\[F(x)=\int f(x)\,\d x.\]

Merkinnän katsotaan sisältävän kaikki funktion \(f\) integraalifunktiot, joten integroimisvakiota ei tässä merkinnässä yleensä kirjoiteta näkyviin.

Esimerkki 1.2.5

Integroinnin tulokset voi tarkastaa derivoimalla. Esimerkiksi on helppo todeta, että

\[\begin{split}\begin{aligned} \int13x^3\,\d x&=\frac{13}{4}x^4+C,\\ \int\sin(3x)\,\d x&=-\frac13\cos(3x)+C,\\ \int e^{-9x}\,\d x&=-\frac19e^{-9x}+C. \end{aligned}\end{split}\]

Integraalifunktion määritelmästä ja sen vakiota vaille yksikäsitteisyydestä seuraa suoraan, että integrointi ja derivointi ovat käänteisiä operaatioita. Toisin sanoen, mikäli funktiolla \(f\) on integraalifunktio välillä \(I\), niin

\[D\int f(x)\,\d x=f(x)\]

ja mikäli \(f\) on derivoituva välillä \(I\), niin

\[\int f'(x)\,\d x=f(x)+C.\]

Integraalifunktioista puhuttaessa on oleellista, että tarkastelujoukkona \(I\) on väli, kuten seuraava esimerkki osoittaa.

Esimerkki 1.2.6

Funktioille \(F(x)=1\) ja

\[\begin{split}G(x)=\begin{cases} 0,&\text{kun }x<0\\ 1,&\text{kun }x>0 \end{cases}\end{split}\]

on \(F'(x)=G'(x)=0\) kaikilla \(x\ne0\), mutta silti \(F(x)\ne G(x)+C\).

Seuraavassa lauseessa todetaan, että integrointi on lineaarinen operaatio, eli se toteuttaa samat vakion siirron ja summan laskusäännöt kuin derivaattakin.

Lause 1.2.7

Olkoot \(f,g : I \to \R\) funktioita ja \(c\) reaaliluku. Tällöin

\[\begin{split}\begin{aligned} \int cf(x)\,\d x&=c\int f(x)\,\d x,\\ \int(f(x)+g(x))\,\d x&=\int f(x)\,\d x+\int g(x)\,\d x. \end{aligned}\end{split}\]

Piilota/näytä todistus

Väitteet seuraavat suoraan derivoinnin lineaarisuudesta. Jos \(F(x)\) on funktion \(f(x)\) jokin integraalifunktio, niin \(cf(x)=c(DF(x))=D(cF(x))\), joten funktiolla \(cf(x)\) on integraalifunktio \(cF(x)\). Toinen väite vastaavasti.

Kysymys 1

Integrointi on lineaarinen operaatio. Tämä tarkoittaa, että

integroitaessa tuloa vakiota ei voida siirtää integraalin eteen, mutta summa integroidaan sen termien integraalien summana,

integrointivakio on lineaarinen,

integraalifunktio on suora,

integrointi on suoraviivaista,

integroitaessa tuloa vakio voidaan siirtää integraalin eteen, mutta summaa ei voi integroida sen termien integraalien summana,

integroitaessa tuloa vakio voidaan siirtää integraalin eteen ja summa integroidaan sen termien integraalien summana.

Esimerkki 1.2.8

Lineaarisuutta käyttäen

\[\begin{split}\begin{aligned} \int 2x(\sqrt{x}-1)\,\d x&=\int\big(2x^{3/2}-2x\big)\,\d x =2\int x^{3/2}\,\d x-\int2x\,\d x\\ &=2\cdot\frac25x^{5/2}-x^2+C =\frac45 x^2\sqrt{x}-x^2+C. \end{aligned}\end{split}\]

Kaikilla funktioilla ole integraalifunktiota. Väitteen todistamiseksi riittää löytää yksikin esimerkkifunktio, jolla ei ole integraalifunktiota. Seuraavassa esimerkissä esitetään tällainen funktio. Esimerkin todistuksessa hyödynnetään epäsuoraa todistusta, jossa oletetaan väitteen vastainen tapaus todeksi ja pyritään näyttämään, että tämä johtaa väistämättä johonkin ristiriitaan oletusten tai tunnettujen tosiasioiden kanssa. Tätä väitteen vastaista oletusta kutsutaan vastaoletukseksi (antiteesi). Koska matematiikassa väitteet ovat joko tosia tai epätosia eikä ristiriitoja sallita, pakottaa ristiriita vastaoletuksen epätodeksi, jolloin alkuperäisen väitteen on oltava tosi. Näin alkuperäinen väite saadaan osoitettua todeksi epäsuorasti, mistä todistustekniikan nimi juontuukin.

Esimerkki 1.2.9

Olkoon funktio \(f : \R\to\R\) määritelty asettamalla

\[\begin{split}f(x)=\begin{cases} 0, &\text{kun}\ x<0\\ 1, &\text{kun}\ x\geq 0. \end{cases}\end{split}\]

Osoita, että sillä ei ole integraalifunktiota.

Piilota/näytä ratkaisu

Todistetaan väite epäsuorasti. Tehdään vastaoletus, jonka mukaan funktiolla \(f\) on integraalifunktio \(F : \R\to\R\), ja pyritään näyttämään, että tämä johtaa väistämättä ristiriitaan. Lauseen 1.2.3 mukaan kaikki funktion integraalifunktiot eroavat toisistaan korkeintaan vakion osalta. Siispä funktion \(f\) kaikki integraalifunktiot ovat muotoa

\[\begin{split}F(x)=\begin{cases} C, &\text{kun}\ x<0\\ x+D, &\text{kun}\ x\geq 0. \end{cases}\end{split}\]

Integraalifunktion määritelmän nojalla integraalifunktion \(F:\R\to\R\) tulee nyt olla derivoituva jokaisella reaaliluvulla ja erityisesti pisteessä \(x=0\). Siispä \(F\) on jatkuva pisteessä \(x=0\) ja näin ollen \(C=D\). Nyt kuitenkin funktion \(F\) kuvaajaan muodostuu kulma pisteeseen \(x=0\), eikä \(F\) voi siten olla siinä derivoituva. Tämä on ristiriidassa sen kanssa, että integraalifunktion määritelmä vaatii, että funktion \(F\) todella on derivoituva pisteessä \(x=0\). Ristiriita osoittaa alkuperäisen väitteen todeksi, eli funktiolla \(f\) ei ole integraalifunktiota.

Integraalifunktion olemassaoloa pohditaan tarkemmin myöhemmin. Hyvä uutinen on, että jokaisella jatkuvalla funktiolla (ja monilla muillakin funktioilla) on integraalifunktio. Huono uutinen on, että monesti yksinkertaisenkaan näköisen jatkuvan funktion \(f\) integraalifunktiota \(F\) ei voida esittää äärellisen monen alkeisfunktion avulla. Tällaisia funktioita ovat esimerkiksi

\[\frac{\sin x}{x},\qquad\frac{1}{\ln x},\qquad x^x,\qquad\frac{e^x}{x}\qquad \text{ja}\qquad e^{x^2}.\]

Seuraavassa, integrointitekniikkaan omistautuneessa luvussa käydään läpi joitakin tapoja laskea integraalifunktio silloin, kun sille on lauseke olemassa.

Huomautus 1.2.10

On syvällinen puhtaan matematiikan ongelma tutkia ehtoja sille, milloin annetun funktion integraalifunktio voidaan esittää alkeisfunktioiden avulla. Keskeisenä tuloksena on ns. Liouvillen lause, joka antaa ehtoja hyvin abstraktissa mielessä. Alaa kutsutaan differentiaali Galois’n teoriaksi tai differentiaalialgebraksi.

Palautusta lähetetään...