\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]

Integraalin geometrisia sovelluksia

Määrätyn integraalin geometrista tulkintaa laajentamalla havaitaan, että jatkuvien funktioiden \(f, g : [a,b]\to\R\), \(f(x)\ge g(x)\), kuvaajien väliin jäävän alueen pinta-ala on

\[A=\int_a^b(f(x)-g(x))\,\d x.\]

Integraalilla voidaan laskea myös kuvaajan pituutta sekä pyörähdyskappaleiden tilavuutta ja vaipan pinta-alaa.

Lause 2.2.1

Olkoon funktio \(f : [a,b]\to\R\) jatkuvasti derivoituva, eli myös \(f'\) on jatkuva. Funktion \(f\) kuvaajan pituus on

\[s=\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,\d x.\]

Kun funktion \(f\) kuvaaja pyörähtää \(x\)-akselin ympäri, niin syntyvän kappaleen vaipan ala on

\[A=2\pi\int_a^b|f(x)|\sqrt{1+f'(x)^2}\,\d x\]

ja kappaleen tilavuus on

\[V=\pi\int_a^bf(x)^2\,\d x.\]

Piilota/näytä todistus

Johdetaan kuvaajan pituuden lauseke. Muut lausekkeet johdetaan vastaavalla tarkastelulla ja integraalin määritelmää hyödyntämällä.

Kuvaajan pituutta voidaan lähteä arvioimaan muodostamalla välin \([a,b]\) jako \(P\), joka koostuu äärellisen monesta jakopisteestä \(x_i\). Kun funktion \(f\) arvot näissä jakopisteissä yhdistetään janoilla, muodostaa janojen pituuksien summa arvion kuvaajan pituudelle. Tämä arvio on sitä parempi, mitä tiheämpi jako \(P\) on.

Tarkastellaan janan pituutta osavälillä \([x_{i-1},x_i]\). Merkitään

\[\Delta x_i = x_i - x_{i-1} \qquad \text{ja} \qquad \Delta y_i = y_i- y_{i-1} = f(x_i) - f(x_{i-1}).\]

Tilannetta on havainnollistettu alla olevassa kuvassa, jossa kuvaajan pituutta arvioidaan punaisella murtoviivalla.

Janan pituus \(\Delta s_i\) saadaan nyt laskettua Pythagoraan lauseen avulla, eli

\[\Delta s_i = \sqrt{\left(\Delta x_i\right) ^2 + \left(\Delta y_i\right) ^2} = \sqrt{\left(\Delta x_i\right) ^2 + \left(f(x_i) - f(x_{i-1})\right)^2}.\]

Differentiaalilaskennan väliarvolause takaa, että suljetulta väliltä \([x_{i-1},x_i]\) löytyy vähintään yksi sellainen piste \(x_i^*\), jolle

\[\frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i - x_{i-1}} = f'(x_i^*), \;\text{ eli }\; f(x_i) - f(x_{i-1}) = f'(x_i^*)(x_i - x_{i-1}) = f'(x_i^*) \Delta x_i.\]

Janan pituus \(\Delta s_i\) voidaan siis ilmaista vaihtoehtoisesti muodossa

\[\Delta s_i = \sqrt{\left(\Delta x_i\right)^2 + \left(f'(x_i^*)\Delta x_i\right)^2} = \sqrt{\left(1+f'(x_i^*)^2\right)\left(\Delta x_i\right)^2} \stackrel{\Delta x_i > 0}{=} \sqrt{1+f'(x_i^*)^2}\Delta x_i.\]

Kuvaajan pituuden arvio on näin ollen muotoa

\[s \approx \sum_{i=1}^n \Delta s_i = \sum_{i=1}^n \sqrt{1+f'(x_i^*)^2}\Delta x_i,\]

ja tämä arvio paranee, kun jaon normi \(|P|\) pienenee. Toisin sanoen kuvaajan pituus saadaan yllä olevan lausekkeen raja-arvona, kun \(|P|\) lähestyy arvoa \(0\). Raja-arvon ottaminen puolestaan tuottaa lopputulokseksi määrätyn integraalin määritelmän, eli

\[s = \lim_{|P|\to 0} \sum_{i=1}^n \sqrt{1+f'(x_i^*)^2}\Delta x_i = \int_a^b \sqrt{1+f'(x)^2}\,\d x,\]

ja näin kuvaajan pituuden lauseke on saatu johdettua.

Esimerkki 2.2.2

Mikä on käyrän \(y=x^{\frac{3}{2}}\) pituus välillä \(0\le x\le1\)? Entä pyörähdyskappaleen tilavuus?

Piilota/näytä ratkaisu

Merkitään \(y(x)=x^{\frac{3}{2}}\). Nyt \(y'(x)=\frac32x^{\frac{1}{2}}\) on jatkuva, joten kysytty pituus saadaan kaavalla ??. Siispä

\[s=\int_0^1\sqrt{1+\frac94x}\,\d x=\sij{0}{1}\frac{8}{27}\Big(1+\frac94x\Big)^{3/2}=\frac{13\sqrt{13}-8}{27}\approx1{,}44.\]

Tilavuus on kaavan ?? mukaan

\[V=\pi\int_0^1x^3\,\d x=\pi\sij{0}{1}\frac14x^4=\frac{\pi}{4}.\qedhere\]

Kysymys 1

Jatkuvien funktioiden \(f,g \colon [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) kuvaajien väliin jäävää pinta-alaa kuvaa

\(\int_{a}^{b} \sqrt{1+f'(x)^2}\,\d x\),

\(\int_{a}^{b} (f(x)-g(x))\,\d x\), kun \(g(x) \ge f(x)\),

\(2\pi \int_{a}^{b} |f(x)| \sqrt{1+f'(x)^2}\,\d x\),

\(\int_{a}^{b} (g(x)-f(x))\,\d x\), kun \(g(x) \ge f(x)\),

\(\pi \int_{a}^{b} f(x)^2\,\d x\),

\(2\pi \int_{a}^{b} |g(x)| \sqrt{1+f'(x)^2}\,\d x\), kun \(g(x) \ge f(x)\).

Palautusta lähetetään...