\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%}\]

Funktion erityisiä ominaisuuksia

Parillisuus ja parittomuus

Määritelmä 1.9.1

Funktion \(f\) sanotaan olevan parillinen, jos jokaisella määrittelyjoukkoon kuuluvalla arvolla pätee \(f\left( -x \right) = f\left( x \right)\). Parillisen funktion kuvaaja on symmetrinen \(y\)-akselin suhteen.

Funktion sanotaan olevan pariton, jos jokaisella määrittelyjoukkoon kuluuvalla arvolla pätee \(f\left( -x \right) = -f\left( x \right)\). Parittoman funktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen.

Esimerkki 1.9.2

Tarkastellaan potenssifunktiota \(f\left( x \right) = x^{n}\).

Kun \(n\) on parillinen, niin

\[f\left( -x \right) = \left( -x \right)^{n} = (-1)^n x^{n} = x^n = f\left( x \right).\]

Potenssifunktio \(f\left( x \right) = x^{n}\) on siis parillinen ja sen kuvaaja on symmetrinen \(y\)-akselin suhteen, kun eksponentti on parillinen eli \(n = 2m\) jollain \(m \in \Z\).

../_images/tamk-esim-pos-parillinen.svg

Kun \(n\) on pariton, niin

\[f\left( -x \right) = \left( -x \right)^{n} = (-1)^nx^n = -x^{n} = -f\left( x \right).\]
../_images/tamk-esim-pos-pariton.svg

Potenssifunktio \(f\left( x \right) = x^{n}\) on siis pariton ja sen kuvaaja on symmetrinen origon suhteen, kun eksponentti on pariton eli \(n = 2m + 1\) jollain \(m \in \Z\).

Huomautus 1.9.3

Funktio voi siis olla parillinen tai pariton, mutta se ei välttämättä ole kumpaakaan. Esimerkiksi funktio \(f\left( x \right) = x^2 + x\) ei ole pariton eikä parillinen.

Jaksollinen funktio

Funktiota \(f\) sanotaan jaksolliseksi, jaksolla \(\lambda\), jos jokaisella muuttujan \(x\) arvolla, jolla funktio on määritelty, on voimassa ehto

\[f\left( x + n \cdot \lambda \right) = f\left( x \right),\]

missä \(n \in \Z\).

Pienin positiivinen jakson arvo on perusjoukko tai lyhyemmin jakso, ja joskus käytetään nimitystä aallonpituus.

Jaksollisen funktion arvot siis toistuvat aina jakson \(\lambda\) välein. Funktion kuvaaja ei muutu, jos sitä siirretään \(x\)-akselin suunnassa jakson verran. Jaksolliset funktiot kuvaavat muun muassa aaltoliikettä ja säännöllisiä värähtelyjä.

Esimerkiksi sini- ja kosinifunktiot ovat jaksollisia funktioita, perusjaksona \(2 \pi\). Tangentin perusjakso on \(\pi\). Toisin sanoen

\[\begin{split}\begin{aligned} \sin\left( x + n\cdot 2\pi \right) &= \sin x \\ \cos\left( x + n\cdot 2\pi \right) &= \cos x \\ \tan\left( x + n\cdot \pi \right) &= \tan x .\end{aligned}\end{split}\]

Esimerkki 1.9.4

Oheisessa kuvassa on erään jaksollisen funktion kuvaaja. Tämän funktion perusjaksona on \(2\).

../_images/tamk-esim-jaksollinen-funktio.svg

Jaksollisen funktion funktiolauseke esitetään seuraavalla tavalla:

\[\begin{split}\begin{aligned} &f\left( x \right) = 2x - x^2, \quad 0 \le x < 2. &&\text{(kirjoitetaan funktio yhdellä ''palasella'')} \\ &f\left( x + 2 \cdot n \right) = f\left( x \right), \text{ kun } n \in \Z. &&\text{(kyseisellä merkinnällä esitetään toistuvuus)} \end{aligned}\end{split}\]

Kuvaajan muuntuminen

Funktion perusmuodosta saadaan uusia funktioita helposti funktiota siirtämällä, peilaamalla, venyttämällä ja kutistamalla sekä näiden yhdistelmillä. Ohessa on muutama esimerkki toimista mitä funktiolle \(y = f\left( x \right)\) voi tehdä.

../_images/tamk-kuvaajan-muuntaminen-1.svg

Siirto pystysuunnassa saadaan lisäämällä funktioon luku \(a\). Funktion kuvaaja nousee tai laskee pystysuunnassa riippuen siitä, onko luku \(a\) positiivinen vai negatiivinen. Funktion \(y = f\left( x \right) + a\) kuvaaja on siis samanlainen kuin funktion \(y = f\left( x \right)\) kuvaaja, mutta sen sijainti on muuttunut pystysuunnassa.

../_images/tamk-kuvaajan-muuntaminen-2.svg

Siirto vaakasuunnassa saadaan vähentämällä argumentista luku \(a\). Funktion kuvaaja siirtyy vaakasuunnassa oikealle tai vasemmalle riippuen siitä, onko luku \(a\) positiivinen vai negatiivinen. Funktion \(y = f\left( x -a \right)\) kuvaaja on samanlainen kuin funkion \(y = f\left( x \right)\) kuvaaja, mutta sijainti on muuttunut. Jos luku \(a > 0\), kuvaaja siirtyy oikealle. Jos taas luku \(a < 0\), kuvaaja siirtyy vasemmalle.

../_images/tamk-kuvaajan-muuntaminen-3.svg

Funktion \(y = f\left( x \right)\) kuvaaja saadaan peilatuksi \(x\)-akselin suhteen vaihtamalla funktion merkki eli sen peilikuva \(x\)-akselin suhteen on \(y = -f\left( x \right)\).

../_images/tamk-kuvaajan-muuntaminen-4.svg

Vastaavasti funktion \(y = f\left( x \right)\) kuvaajan peilaus \(y\)-akselin suhteen saadan, kun argumentti vaihdetana vastaluvuksi. Sen peilikuva \(y\)-akselin suhteen on funktio \(y = f\left( -x \right)\).

../_images/tamk-kuvaajan-muuntaminen-5.svg
Palautusta lähetetään...