$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%}$

# Funktion erityisiä ominaisuuksia¶

## Parillisuus ja parittomuus¶

Määritelmä 1.9.1

Funktion $$f$$ sanotaan olevan parillinen, jos jokaisella määrittelyjoukkoon kuuluvalla arvolla pätee $$f\left( -x \right) = f\left( x \right)$$. Parillisen funktion kuvaaja on symmetrinen $$y$$-akselin suhteen.

Funktion sanotaan olevan pariton, jos jokaisella määrittelyjoukkoon kuluuvalla arvolla pätee $$f\left( -x \right) = -f\left( x \right)$$. Parittoman funktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen.

Esimerkki 1.9.2

Tarkastellaan potenssifunktiota $$f\left( x \right) = x^{n}$$.

Kun $$n$$ on parillinen, niin

$f\left( -x \right) = \left( -x \right)^{n} = (-1)^n x^{n} = x^n = f\left( x \right).$

Potenssifunktio $$f\left( x \right) = x^{n}$$ on siis parillinen ja sen kuvaaja on symmetrinen $$y$$-akselin suhteen, kun eksponentti on parillinen eli $$n = 2m$$ jollain $$m \in \Z$$.

Kun $$n$$ on pariton, niin

$f\left( -x \right) = \left( -x \right)^{n} = (-1)^nx^n = -x^{n} = -f\left( x \right).$

Potenssifunktio $$f\left( x \right) = x^{n}$$ on siis pariton ja sen kuvaaja on symmetrinen origon suhteen, kun eksponentti on pariton eli $$n = 2m + 1$$ jollain $$m \in \Z$$.

Huomautus 1.9.3

Funktio voi siis olla parillinen tai pariton, mutta se ei välttämättä ole kumpaakaan. Esimerkiksi funktio $$f\left( x \right) = x^2 + x$$ ei ole pariton eikä parillinen.

## Jaksollinen funktio¶

Funktiota $$f$$ sanotaan jaksolliseksi, jaksolla $$\lambda$$, jos jokaisella muuttujan $$x$$ arvolla, jolla funktio on määritelty, on voimassa ehto

$f\left( x + n \cdot \lambda \right) = f\left( x \right),$

missä $$n \in \Z$$.

Pienin positiivinen jakson arvo on perusjoukko tai lyhyemmin jakso, ja joskus käytetään nimitystä aallonpituus.

Jaksollisen funktion arvot siis toistuvat aina jakson $$\lambda$$ välein. Funktion kuvaaja ei muutu, jos sitä siirretään $$x$$-akselin suunnassa jakson verran. Jaksolliset funktiot kuvaavat muun muassa aaltoliikettä ja säännöllisiä värähtelyjä.

Esimerkiksi sini- ja kosinifunktiot ovat jaksollisia funktioita, perusjaksona $$2 \pi$$. Tangentin perusjakso on $$\pi$$. Toisin sanoen

\begin{split}\begin{aligned} \sin\left( x + n\cdot 2\pi \right) &= \sin x \\ \cos\left( x + n\cdot 2\pi \right) &= \cos x \\ \tan\left( x + n\cdot \pi \right) &= \tan x .\end{aligned}\end{split}

Esimerkki 1.9.4

Oheisessa kuvassa on erään jaksollisen funktion kuvaaja. Tämän funktion perusjaksona on $$2$$.

Jaksollisen funktion funktiolauseke esitetään seuraavalla tavalla:

\begin{split}\begin{aligned} &f\left( x \right) = 2x - x^2, \quad 0 \le x < 2. &&\text{(kirjoitetaan funktio yhdellä ''palasella'')} \\ &f\left( x + 2 \cdot n \right) = f\left( x \right), \text{ kun } n \in \Z. &&\text{(kyseisellä merkinnällä esitetään toistuvuus)} \end{aligned}\end{split}

## Kuvaajan muuntuminen¶

Funktion perusmuodosta saadaan uusia funktioita helposti funktiota siirtämällä, peilaamalla, venyttämällä ja kutistamalla sekä näiden yhdistelmillä. Ohessa on muutama esimerkki toimista mitä funktiolle $$y = f\left( x \right)$$ voi tehdä.

Siirto pystysuunnassa saadaan lisäämällä funktioon luku $$a$$. Funktion kuvaaja nousee tai laskee pystysuunnassa riippuen siitä, onko luku $$a$$ positiivinen vai negatiivinen. Funktion $$y = f\left( x \right) + a$$ kuvaaja on siis samanlainen kuin funktion $$y = f\left( x \right)$$ kuvaaja, mutta sen sijainti on muuttunut pystysuunnassa.

Siirto vaakasuunnassa saadaan vähentämällä argumentista luku $$a$$. Funktion kuvaaja siirtyy vaakasuunnassa oikealle tai vasemmalle riippuen siitä, onko luku $$a$$ positiivinen vai negatiivinen. Funktion $$y = f\left( x -a \right)$$ kuvaaja on samanlainen kuin funkion $$y = f\left( x \right)$$ kuvaaja, mutta sijainti on muuttunut. Jos luku $$a > 0$$, kuvaaja siirtyy oikealle. Jos taas luku $$a < 0$$, kuvaaja siirtyy vasemmalle.

Funktion $$y = f\left( x \right)$$ kuvaaja saadaan peilatuksi $$x$$-akselin suhteen vaihtamalla funktion merkki eli sen peilikuva $$x$$-akselin suhteen on $$y = -f\left( x \right)$$.

Vastaavasti funktion $$y = f\left( x \right)$$ kuvaajan peilaus $$y$$-akselin suhteen saadan, kun argumentti vaihdetana vastaluvuksi. Sen peilikuva $$y$$-akselin suhteen on funktio $$y = f\left( -x \right)$$.

Palautusta lähetetään...