\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%}\]

Funktio-käsite ja erilaisia riippuvuuksia

Suure \(=\) jokin mitattava asia (esim. lämpötila, pituus, nopeus jne.)

Niin arkielämässä kuin työtehtävissä tulee vastaan tilanteita, joissa pitää käsitellä suureiden välisiä riippuvuussuhteita. Esimerkiksi sähkölaskun suuruus riippuu sähköenergian kulutuksesta, betonipalkin pituus riippuu betonin lämpötilasta jne. Usein näille riippuvuuksille on tyypillistä se, että kun toisen suureen arvo tunnetaan, toisen suureen arvo voidaan yksikäsitteisesti päätellä. Tällainen suureiden välisen riippuvuuden tutkiminen johtaa matematiikassa funktiokäsitteeseen. Riippuvuutta voidaan kuvata usealla tavalla. Sevoidaan esittää

  • arvotaulukkona (erilaiset mittauspöytäkirjat)
  • kuvaajan avulla
  • suureiden välisenä yhtälönä (esim. \(v = \frac{\SI{10}{\meter}}{t}\) )

Tutustutaan esimerkkien avulla funktioon liittyviin käsitteisiin.

Esimerkki 1.1.1

Tampereelta ajetaan autolla Jyväskylään \(145\) kilometrin matka. Matkaan käytetty aika riippuu käytetystä keskinopeudesta. Jos merkitään matkaan käytettyä aikaa muuttujalla \(t\) ja käytettyä keskinopeutta muuttujalla \(v\), voidaan tämä riippuvuus ilmoittaa funktioyhtälönä muodossa

\[t = \frac{\SI{145}{\kilo\meter}}{v} \quad \text{tai täsmällisemmin} \quad t\left( v \right) = \frac{\SI{145}{\kilo\meter}}{v} .\]

Matemaattisesti ilmaistuna matkaan käytetty aika on keskinopeuden funktio. Kyseessä on siis sääntö eli funktio, joka yksikäsitteisesti määrittelee kyseiseen matkaan käytetyn ajan, kun keskinopeus tunnetaan. Kun riipuvuus on esitetty kuten dedellä, kutsutaan nopeuttaa muuttujaksi tai argumentiksi ja aikaa funktion arvoksi.

\(\begin{array}{r|l} v \ (\si{\kilo\meter\per\hour}) & t \ (\si{\hour}) \\\hline 20 & \frac{145}{20} = \num{7{,}5} \\ 30 & \num{4{,}8} \\ 40 & \num{3{,}6} \\ 50 & \num{2{,}9} \\ 60 & \num{2{,}4} \\ 80 & \num{1{,}8} \\ 100 & \num{1{,}45} \\ 120 & \num{1{,}2} \\ \end{array}\) ../_images/tamk-esim-auto.svg

Riippuvuuden kuvaaja saadaan piirrettyä, kun sijoitetaan kaavaan eri nopeuden arvoja ja lasketaan niitä vastaavat ajan arvot. Saadut vastinarvot muodostavat yhden koordinaatiston pisteen, joka merkitään \(vt\)-koordinaatistoon (yleiseti \(xy\)-koordinaatisto). Kuvaajaa piirrettäessä muuttuja tulee vaaka-akselille (yleisesti \(x\)-akseli), joka on tässä tapauksessa \(v\)-akseli. Funktion arvo tulee puolestaan pystyakselille (yleisesti \(y\)-akseli), joka siis on nyt \(t\)-akseli.

Yleisesti funktio käsite liittyy tilanteeseen, missä kaksi suuretta \(x\) ja \(y\) riippuvat toisistaan siten, että annettua \(x\):n arvoa vastaa yksikäsitteinen \(y\):n arvo. Funktio on siis sääntö, joka asettaa jokaista muuttujan eli argumentin \(x\) arvoa vastaamaan täsmällee yhden \(y\):n arvon. Näitä \(y\):n arvoja kutsutaan funktion arvoiksi.

Kun funktiota käsitellään yleisesti matematiikassa, sitä merkitään usein kirjaimella \(f\) ja muuttujan \(x\) arvoa vastaavaa \(y\):n arvoa merkitään \(f\left( x \right)\). Siis \(y = f\left( x \right)\). Tällöin esimerkiksi merkintä \(f\left( 3 \right) = 8\) tarkoittaa, että muuttujan \(x\) arvolla \(3\) funktion arvo on \(8\) (eli kuvaajassa \(y\)-koordinaatti on \(8\), kun \(x=3\)).

Muita yleisiä merkintöjä funktiolle matematiikassa ovat mm. \(g\) ja \(h\). Sovelluksissa funktion nimenä ja muuttujana käytetään usein suureen kirjainta, kuten tehtiin esimerkissä 1.1.1.

Esimerkki 1.1.2

Tarkastellaan funktiota \(f\left( x \right) = \num{5{,}2}x\). Tällöin

  • \(f\left( 2 \right) = \num{5{,}2} \cdot 2 = \num{10{,}4}\) (funktion arvo kohdassa \(x = 2\) on \(\num{10{,}4}\))
  • \(f\left( -\num{0{,}5} \right) = \num{5{,}2} \cdot \left( -\num{0{,}5} \right) = -\num{2{,}6}\) (funktion arvo kohdassa \(x = -\num{0{,}5}\) on \(-\num{2{,}6}\))

Merkintä \(f\left( x \right) = \num{33{,}8}\) tarkoittaa, että tunnetaan funktion arvo \(\num{33{,}8}\). Nyt on selvitettävä, millä muuttujan \(x\) arvolla se saavutetaan eli on ratkaistava yhtälö

\[\num{5{,}2}x = \num{33{,}8} \quad \Leftrightarrow \quad x = \frac{\num{33{,}8}}{\num{5{,}2}} = \num{6{,}5}.\]

Edellä esitettiin funktioon liittyvät käsitteet muuttuja eli argumentti ja funktion arvo. Funktioon liittyy vielä monia lisäkäsitteitä, joista seuraavaksi esitetään keskeisimmät.

Funktion \(y = f\left( x \right)\)

  • Määrittelyjoukko \(M_f\) on yleensä laajin lukujoukko, joka sisältää sallitut muuttujan \(x\) arvot. Määrittelyjoukko riippuu siten siitä, millainen on funktion lauseke. Sovellusesimerkeissä lisäksi jokin ominaisuus voi rajoittaa määrittelyjoukkoa.
  • Arvojoukko \(A_f\) on lukujoukko, joka sisältää funktion saamat arvot eli \(y\):n arvot.
  • Nollakohta on se muuttujan \(x\) arvo, jolla funktion arvo \(y = 0\) eli \(f\left( x \right) = 0\). Nollakohdassa funktion kuvaaja leikkaa \(x\)-akselin. Funktioyhtälöstä nollakohdat voidaan selvittää yhtälöllä merkitsemällä funktion lauseketta nollalla. Esimerkiksi \(f\left( x \right) = x^2\), niin nollakohdat saadaan selville ratkaisemalla yhtälö \(x^2 = 0\).
  • Funktion sanotaan olevan (aidosti) kasvava jollakin \(x\)-akselin välillä, jos kyseisellä välillä muuttujan arvojen suuretessa myös funktion arvot suurenevat. Tämä tarkoittaa, että oikealle eli positiivisen \(x\)-akselin suuntaan siirryttäessä käyrä nousee ylöspäin. Vastaavasti funktio on (aidosti) vähenevä jollakin välillä, jos kyseisellä välillä muuttujan arvojen suuretessa funktion arvot pienenevät. Tällöin kuvaaja laskee oikealle siirryttäessä.
  • Ääriarvot tarkoittavat funktion arvojoukon suurinta ja pienintä lukua. Vastaavia \(x\):n arvoja kutsutaan ääriarvokohdiksi. Suurinta lukua kutsutaan maksimiarvoksi ja sitä vastaavaa \(x\):n arvoa maksimikohdaksi. Vastaavasti pienin arvo on minimiarvo ja sitä vastaava \(x\):n arvo on nimeltään minimikohta.

Esimerkki 1.1.3

Tarkastellaan funktiota \(f\left( x \right) = x^2 - 4\). Alla funktion arvotaulukko ja kuvaaja.

\(\begin{array}{r|l} x & f\left( x \right) \\\hline -4 & 12 \\ -3 & 5 \\ -2 & 0 \\ -1 & -3 \\ 0 & -4 \\ 1 & -3 \\ 2 & 0 \\ 3 & 5 \\ 4 & 12 \end{array}\)
../_images/esim-funktio-ominaisuuksia.svg

Funktiosta \(f\left( x \right) = x^2 - 4\) havaitaan seuraavia ominaisuuksia.

  • Määrittelyjoukko on \(M_f = \R\) eli funktion arvo voidaan laskea kaikilla muuttujan \(x\) arvoilla.
  • Arvojoukko on \(A_f = [-4, \infty[\) eli pienin \(y\)-koordinaatin arvo on \(-4\) ja ylärajaa ei ole.
  • Nollakohdat ovat \(x = -2\) ja \(x = 2\) eli ne muuttujan \(x\) arvot, joissa käyrä leikkaa \(x\)-akselia. Nämä saadaan selville ratkaisemalla yhtälö \(x^2 - 4 = 0\).
  • Funktio on kasvava, kun \(x \ge 0\) ja vähenevä kun \(x \le 0\).
  • Funktion minimikohta on \(x = 0\) ja minimiarvo on \(f_{\min} \left( 0 \right) = -4\) ja maksimikohtaa ei ole olemassa.

Usein sovelluksissa funktion määrittelyjoukkoa rajoittaa jokin funktion kuvaaman ilmiön ominaisuus. Jos esimerkiksi muuttujana on aika,se usein käsitetään ei-negatiivisena lukuna jne. Esimerkissä 1.1.1 käytettiin oletusta, että \(v > 0\).

Jos esimerkin 1.1.3 funktio \(f\left( x \right) = x^2 - 4\) rajoitetaan vaikkapa välille \(M_f = [0 , 3]\), niin tällöin sen arvojoukko on \(A_f = [-4 , 5]\). Tällöin funktiolla olisi vain yksi nollakohta \(x = 2\).

Huomautus 1.1.4

Joskus määrittelyjoukko pitää pystyä itse päättelemään asiayhteydestä tai se ilmoitetaan erikseen tehtävän yhteydessä. Muutoin funktionmäärittelyjoukkona pidetään mahdollisimman laajaa lukujoukkoa.

Esimerkki 1.1.5

Funktio voidaan esittää seuraavasti.

“Erään kappaleen nopeus suoraviivaisella radalla” saadaan yhtälöstä

\[v\left( t \right) = \SI{11{,}0}{\meter\per\second} - (\SI{0{,}16}{\meter\per\second\squared})t - (\SI{0{,}0018}{\meter\per\second\cubed})t^2, \quad \SI{0}{\second} \le t \le \SI{45}{\second}.\]

Merkintä tarkoittaa, että nopeus on määritelty kyseisellä lausekkeella vain, kun aika on välillä \(\SI{0}{\second} \le t \le \SI{45}{\second}\). Tämän vuoksi sillä ei voida laskea nopeutta esimerkiksi silloin, kun aika on \(\SI{50}{\second}\). Lisäksi on huomattava, että haluttaessa laskea nopeus puolen minuutin kuluttua, on yhtälöön sijoitettava ajaksi \(\SI{30}{\second}\).

\[\begin{split}\begin{aligned} v\left( \SI{30}{\second} \right) &= \SI{11{,}0}{\meter\per\second} - \SI{0{,}16}{\meter\per\second\squared} \cdot \SI{30}{\second} - \SI{0{,}0018}{\meter\per\second\cubed} \cdot \left( \SI{30}{\second} \right)^2 \\ &= \SI{11{,}0}{\meter\per\second} - \SI{4{,}8}{\meter\second\per\second\squared} - \SI{1{,}62}{\meter\second\squared\per\second\cubed} \\ &= \SI{11{,}0}{\meter\per\second} - \SI{4{,}8}{\meter\per\second} - \SI{1{,}62}{\meter\per\second} = \SI{4{,}58}{\meter\per\second} .\end{aligned}\end{split}\]

Joskus funktioyhtälöä halutaan yksinkertaistaa jättämällä kaavasta yksiköt pois. Tällöin käytetyt yksikööt täytyy kertoa tekstissä erikseen. Funktio voi olla esitettynä seuraavasti.

“Erään kappaleen nopeus suoraviivaisella radalla” saadaaan yhtälöstä.

\[v\left( t \right) = \SI{11{,}0}{} - \SI{0{,}16}{}t - \SI{0{,}0018}{}t^2, \quad 0 \le t \le 45.\]

Yhtälössä \(t\) on sekunteina laskettu aika lähtöhetkestä ja nopeuden yksikkö on \(\si{\meter\per\second}\). Näin ollen sijoitettaessa esimerkiksi aika puoli minuuttia lausekkeeseen, siihen pitää sijoittaa pelkkä luku \(30\). Tällöin nopeus tulee yksiköissä \(\si{\meter\per\second}\).

Seuraavaksi tarkastellaan joitakin sovellusten kannalta keskeisimpiä ja siten tärkeimpiä funktioita ja niiden erityisominaisuuksia. Näitä tärkeimpiä funktioita kutsutaan alkeisfunktioiksi, sillä lähes kaikki muut funktiot voidaan esittää näiden avulla. Alkeisfunktioita ovat

  • potenssifunktiot
  • polynomifunktiot
  • eksponenttifunktiot
  • logaritmifunktiot
  • trigonometriset funktiot

Alkeisfunktioita voidaan siirtää, peilata, venyttää, kutistaa, yhdistää jne. jolloin saadaan uusia funktioita.

Palautusta lähetetään...