\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%}\]

Toisen asteen polynomifunktio

Määritelmä 1.3.1

Toisen asteen polynomi on muotoa

\[f\left( x \right) = ax^2 + bx + c,\]

missä \(a\), \(b\) ja \(c\) ovat vakioita sekä \(a \neq 0\).

Tällä funktiolla on seuraavat ominaisuudet.

  • Kuvaajana on paraabeli, jonka symmetria-akselina \(y\)-akselin suuntainen huipun kautta kulkeva suora.
  • Kerroin \(a\) vaikuttaa aukeamissuuntaan ja jyrkkyyteen seuraavasti.
    • Jos \(a > 0\), niin paraabeli aukeaa ylöspäin.
    • Jos \(a < 0\), niin paraabeli aukeaa alaspäin.
    • Jos \(\abs{a}\) on pieni, niin paraabeli on leveä.
    • Jos \(\abs{a}\) on suuri, niin paraabeli on kapea.
  • Vakio \(c\) ilmoittaa \(y\)-akselin leikkauskohdan.
  • Vakio \(b\) vaikuttaa symmetria-akselin paikkaan, mutta ei kerro sitä suoraan. Huipun \(x\)-koordinaatti saadaan lausekkeesta \(x_h = - \frac{b}{2a}\).
  • Huippu on aina kahden symmetriapisteen puolivälissä.
../_images/2-asteen-polynomi.svg

Esimerkki 1.3.2

Kuvaan punaisella piirretty paraabeli \(y = g\left( x \right)\) avautuu ylöspäin, koska toisen asteen termin kerroin \(a = \num{0,5} > 0\). Vastaavasti sinisellä piirretty paraabeli \(y = f\left( x \right)\) avautuu alaspäin, koska kerroin \(a = -1 < 0\).

../_images/2-asteen-polynomi2.svg

Esimerkki 1.3.3

Erikoistapaukset:

  • \(f\left( x \right) = ax^2 + c\), missä \(a \neq 0\). Tällöin sen symmetria-akseli on \(y\)-akseli (vasen).
  • \(f\left( x \right) = ax^2 + bx\), missä \(a \neq 0\) ja \(b \neq 0\). Tällöin kuvaaja kulkee origon kautta (oikea).
../_images/2-asteen-polynomi3.svg
../_images/2-asteen-polynomi4.svg

Aiemmin todettiin, että toisen asteen yhtälöllä \(ax^2 + bx + c = 0\) on kaksi, yksi tai ei yhtään ratkaisua. Toisen asteen yhtälön ratkaisujen graafinen tulkinta liittyy paraabelin nollakohtiin. Jos yhtälöllä on kaksi ratkaisua, niin paraabeli leikkaa \(x\)-akseli näissä kohdissa. Jos yhtälöllä on yksi ratkaisu, niin vastaava paraabeli sivuaa \(x\)-akselia. Mikäli yhtälöllä ei ole lainkaan ratkaisua, niin paraabeli ei kohtaa \(x\)-akselia lainkaan. Silloin kun nollakohtia on kaksi, paraabelin huipun \(x\)-koordinaatti on näiden puolivälissä.

../_images/2-asteen-nollakohdat.svg
../_images/2-asteen-nollakohdat2.svg

Paraabelin piirtäminen

  1. Selvitä ensin paraabelin aukeamissuunta, mahdolliset nollakohdat sekä huipun koordinaatit.
  2. Laske muutamia lisäpisteitä ja käytä piirtämisessä hyödyksi kuvaajan symmetriaa.

Esimerkki 1.3.4

Piirrä funktion \(y = - \num{0{,}15}x^2 + \num{6{,}75}x\) kuvaaja.

Ratkaisu

Selvitetään vaiheittain polynomin ominaisuuksia.

  • Yhtälöstä nähdään, että kuvaajana on alaspäin avautuva paraabeli, joka kulkee origon kautta.

  • Paraabelin nollakohdiksi saadaan tulon nollasäännön avulla

    \[- \num{0{,}15} x^2 + \num{6{,}75} x = 0 \Leftrightarrow x \left( \num{0{,}15}x + \num{6{,}75} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \quad \text{tai} \quad x = \frac{\num{6{,}75}}{\num{0{,}15}} = 45.\]
  • Määritetään huippu, joka tässä tapauksessa löytyy nollakohtien puolivälistä

    \[\begin{split}\begin{cases} x_h = \frac{0 + 45}{2} = \num{22{,}5} \\ y_h = - \num{0{,}15} \cdot \num{22{,}5}^2 + \num{6{,}75} \cdot \num{22{,}5} = \num[input-protect-tokens=\dots]{75{,}9375 \dots} \approx \num{75{,}9}. \end{cases}\end{split}\]
  • Kuvaajan piirtämistä varten lasketaan vielä muutama lisäpiste ja käytetään hyödyksi kuvaajan symmetriaa.

\(\begin{array}{r|l} x & f\left( x \right) \\\hline \num{15{,}0} \text{ ja } \num{30{,}0} & \num{67{,}5} \\ \num{5{,}0} \text{ ja } \num{40{,}0} & \num{30{,}0} \\ \num{-5{,}0} \text{ ja } \num{50{,}0} & \num{-37{,}5} \end{array}\)
../_images/2-asteen-piirto.svg

Paraabelin yhtälön määrittäminen

Paraabelin yhtälö voidaan määrittää, jos tunnetaan kolme paraabelin pistettä.

Esimerkki 1.3.5

Paraabeli kulkee pisteiden \(\left( 1, 9 \right)\), \(\left( -2, 27 \right)\) ja \(\left( 4, 63 \right)\) kautta. Määritä paraabelin yhtälö.

Ratkaisu

Paraabelin yhtälö on muotoa \(f\left( x \right) = a x^2 + b x + c\), joten nyt pitää pystyä selvittämään kertoimet \(a\), \(b\) ja \(c\). Tunnettujen pisteiden täytyy toteuttaa paraabelin yhtälö, joten pisteiden avulla saadaan yhtälöryhmä

\[\begin{split}\begin{aligned} \left( 1, 9 \right): \quad &a\cdot 1 + b\cdot 1 + c = 9 \\ \left( -2, 27 \right): \quad &a \cdot \left( -2 \right)^2 + b\cdot \left( -2 \right) + c = 27 \\ \left( 4, 63 \right): \quad &a\cdot 4^2 + b\cdot 4 + c = 63 \end{aligned}\end{split}\]

eli

\[\begin{split}\begin{cases} a + b + c = 9 \\ 4a - 2b + c = 27 \\ 16a + 4b + c = 63. \end{cases}\end{split}\]

Ratkaistaan yhtälöryhmä matriisien avulla. Yhtälö saadaan muotoon

\[\begin{split}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & -2 & 1 \\ 16 & 4 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 \\ 27 \\ 6 \end{bmatrix}.\end{split}\]

Merkitään

\[\begin{split}A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & -2 & 1 \\ 16 & 4 & 1 \end{bmatrix}, \qquad \bx = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} \qquad\text{ja}\qquad \bb = \begin{bmatrix} 9 \\ 27 \\ 63 \end{bmatrix}.\end{split}\]

Meidän tarvitsee siis ratkaista muotoa \(A\cdot \bx = \bb\) oleva yhtälö. Tavoite on löytää matriisin \(A\) käänteismatriisi, jotta yhtälö saadaan muotoon \(\bx = A^{-1} \cdot \bb\), josta \(\bx\) ratkeaa eli löydetään kertoimet paraabelille. Lasketaan siis ensin käänteismatriisi hyödyntäen kaavaa

\[A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot A^{*},\]

missä \(A^{*}\) on \(A\):n adjungoitu matriisi.

Ensinnäkin matriisin \(A\) determinantti on

\[\begin{split}\det A = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & -2 & 1 \\ 16& 4 & 1 \end{vmatrix} = 54 \neq 0,\end{split}\]

joten matriisi on kääntyvä ja käänteismatriisi voidaan muodostaa. Lasketaan ensin sen adjungoitu matriisi

\[\begin{split}A^{*}= \begin{bmatrix} + \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} & - \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 16 & 1 \end{vmatrix} & + \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 16 & 4 \end{vmatrix} \\[4ex] - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} & + \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 16 & 1 \end{vmatrix} & - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 16 & 4 \end{vmatrix} \\[4ex] + \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} & - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} & + \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} \end{bmatrix}^\top = \begin{bmatrix} -6 & 12 & 48 \\ 3 & -15 & 12 \\ 3 & 3 & -6 \end{bmatrix}^\top = \begin{bmatrix} -6 & 3 & 3 \\ 12 & -15 & 3 \\ 48 & 12 & -12 \end{bmatrix} .\end{split}\]

Nyt voimme laskea käänteismatriisin kaavalla \(A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot A^{*}\)

\[\begin{split}A^{-1}= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 4 & -2 & 1\\ 16& 4 & 1 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{54} \cdot \begin{bmatrix} -6 & 3 & 3 \\ 12 & -15 & 3 \\ 48 & 12 & -12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{9} & \frac{1}{18} & \frac{1}{18} \\[0.25cm] \frac{2}{9} & -\frac{5}{18} & \frac{1}{18} \\[0.25cm] \frac{8}{9} & \frac{2}{9} & -\frac{1}{9} \end{bmatrix} .\end{split}\]

Nyt yhtälöryhmä ratkeaa suoraan sijoittamalla kaavaan \(\bx = A^{-1}\bb\)

\[\begin{split}\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{9} & \frac{1}{18} & \frac{1}{18} \\[0.25cm] \frac{2}{9} & -\frac{5}{18} & \frac{1}{18} \\[0.25cm] \frac{8}{9} & \frac{2}{9} & -\frac{1}{9} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 9 \\ 27 \\ 63 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \\ 7 \end{bmatrix} .\end{split}\]

Tämän yhtälöryhmän ratkaisu on \(a = 4\), \(b = -2\) ja \(c = 7\), jolloin paraabelin yhtälö on

\[f\left( x \right) = 4x^2 -2x + 7.\qedhere\]

Paraabelin hyödyntäminen ääriarvotehtävissä

Tehtävää, jossa pitää selvittää jonkin suureen suurin tai pienin arvo, kutsutaan ääriarvotehtäväksi. Ääriarvotehtävien ratkaisussa tarvitaan useimmiten derivaatan käsitettä, mutta joitakin tehtäviä voidaan ratkaista hyödyntämällä tunnettujen funktioiden ominaisuuksia. Esimerkiksi, jos suureen riippuvuutta kuvaa paraabeli, ääriarvot useimmiten löytyvät paraabelin huipusta.

Esimerkki 1.3.6 (Ääriarvotehtävä)

On käytettävissä \(67\) metriä aitaa, jolla halutaan rajata pinta-alaltaan mahdollisimman suuri suorakulmion muotoinen ja yhdeltä sivultaa teollisuushallin seinään rajoittuva varastoalue. Mikä on alueen suurin pinta-ala?

Ratkaisu

Piirretään tilannetta selventävä kuva.

../_images/aariarvo-halli.svg

Merkitään seinää kohtisuorassa olevaa alueen sivun pituutta muuttujalla \(x\). Tällöin seinän suuntaisen sivun pituus on \(\SI{67}{\meter} - 2x\). Aidatun alueen pinta-ala \(A\) sivun pituuden \(x\) funktiona on

\[A{\left( x \right)} = x\cdot \left( \SI{67}{\meter} - 2x \right) = -2x^2 + \SI{67}{\meter} \cdot x.\]

Funktiolausekkeesta nähdään, että pinta-alan \(A\) riippuvuutta sivun \(x\) pituudesta kuvaa alaspäin avautuva paraabeli. Näin ollen pinta-alan suurin arvo löytyy paraabelin huipusta. Pinta-ala on suurimmillaan, kun muuttujan \(x\) arvoksi valitaan paraabelin huipun \(x\)-koordinaatti ja suurimman pinta-alan kertoo huipun \(A\)-koordinaatti. Näin ollen määritetään paraabelin huipun \(x\)-koordinaatti.

Tapa 1 (nollakohtien avulla): Ratkaistaan paraabelin nollakohdat, huippu löytyy nollakohtinen puolivälistä. Saadaan siis

\[\begin{split}\begin{aligned} A{\left( x \right)} = 0 \quad &\Leftrightarrow \quad x\cdot \left( \SI{67}{\meter} - 2x \right) = 0 \\ &\Leftrightarrow \quad \SI{0}{\meter} = 0 \quad \text{tai} \quad \SI{67}{\meter} -2x = 0 \\ &\Leftrightarrow \quad x = \SI{0}{\meter} \quad \text{tai} \quad x = \SI{33{,}5}{\meter}. \end{aligned}\end{split}\]

Siis

\[x_h = \frac{\SI{33{,}5}{\meter} + \SI{0}{\meter}}{2} = \SI{16{,}75}{\meter}.\]

Tapa 2 (käytetään valmista huipun \(x\)-koordinaatin kaavaa): Hyödynnetään aikaisemmin esitettyä huipun \(x\)-koordinaatin lauseketta

\[x_h = - \frac{b}{2a} = - \frac{\SI{67}{\meter}}{2 \cdot \left( -2 \right) } = \SI{16{,}75}{\meter}.\]

Molemmissa tapauksissa suurin pinta-ala saadaan sijoittamalla huipun \(x\)-koordinaatti pinta-alan lausekkeeseen

\[A_h{\left( \SI{16,75}{\meter} \right)} = -2 \cdot \left( \SI{16{,}75}{\meter} \right)^2 + \SI{67}{\meter}\cdot \SI{16{,}75}{\meter} = \SI{561{,}125}{\meter\squared}.\]

Siis alueen pinta-ala on mahdollisimman suuri, kun hallia vastaan kohtisuoran sivun pituus on \(\SI{16{,}75}{\meter}\) ja hallin suuntaisen sivun pituus on \(\SI{67}{\meter} - 2\cdot \SI{16{,}75}{\meter} = \SI{33{,}50}{\meter}\). Alueen ala on tällöin \(\SI{16{,}75}{\meter} \cdot \SI{33{,}50}{\meter} = \SI{561{,}125}{\meter\squared} \approx \SI{560}{\meter\squared}\).

Palautusta lähetetään...