$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%}$

# Yleinen sinikäyrä¶

Sinifunktio on jaksollinen funktio, jonka perusjakso on $$2\pi$$. Tarkastellaan sinikäyrää, joka pitää sisällään useita parametreja, niin sinifunktion sisällä kuin kertoimena:

$y = A\cdot \sin\left( k\left( x - \frac{\varphi}{k} \right) \right) = A\cdot \sin\left( kx - \varphi \right),$

kun $$A > 0$$, $$k > 0$$ ja $$-2\pi < \varphi < 2\pi$$.

• $$A =$$ amplitudi: käyrä heilahtelee $$y$$-akselin välillä $$[-A, A]$$. Vakio $$A$$ siis säätää pystysuuntaista vaihtelua.

• $$k =$$ taajuuskerroin/kulmataajuus: Kertoo taajuudesta, mutta ei ole taajuus! Taajuuskertoimen $$k$$ ja aallonpituuden $$\lambda$$ välillä on yhteys

$\lambda = \frac{2\pi}{k} \quad \Leftrightarrow \quad k = \frac{2\pi}{\lambda}.$

Vakio $$k$$ siis säätää aallonpituutta. Se siis kertoo kuinka monta aaltoa mahtuu pituuden $$2\pi$$ mittaiseen perusjaksoon.

• $$\frac{\varphi}{k} =$$ siirtymä: Kertoo kuinka paljon peruskäyrän $$y = \sin x$$ nollakohta $$x = 0$$ on siirtynyt vasemmalle tai oikealle (siirtymä oikealle on positiivista ja vasemmalle negatiivista). Siirtymä siis ilmoittaa nollakohdan, jossa kuvaaja on nousemassa vaaka-akselilta. Siirtymän avulla voidaan laskea $$\varphi$$, jota kutsutaan vaihe-eroksi.

• $$b =$$ nosto: Yleisessä muodossa $$y = A\cdot \sin\left( kx - \phi \right) + b$$ esiintyvä vakio $$b$$ kertoo, että käyrää on nostettu tai laskettu vakion $$b$$ verran. Tällöin käyrä heilahtelee suoran $$y = b$$ suhteen ja amplitudi $$A$$ kuvaa maksimietäisyyttä tästä suorasta.

Huomautus 1.6.1

Jos kaavassa on aikamuuttuja, niin lauseketta $$\frac{1}{\lambda}$$ kutsutaan taajuudeksi ja merkitään $$f = \frac{1}{\lambda}$$. Kun taajuuskerroin $$k$$ kertoo kuinka monta aaltoa mahtuu pituuden $$2\pi$$ mittaiseen perusjaksoon, niin taajuus $$f$$ kertoo kuinka monta aaltoa mahtuu yhteen aikayksikköön esimerkiksi yhteen sekuntiin

$f = \frac{1}{\lambda} = \frac{k}{2\pi} \quad \Leftrightarrow \quad k = 2\pi \cdot f.$

Jossakin yhteydessä taajuuskerrointa $$k$$ kutsutaan myös kulmataajuudeksi. Tällöin sitä merkitään kirjaimella $$\omega$$ (omega).

Edellä esitettyhen huomatuksien perusteella yleisen sinikäyrän merkinnät voivatkin vaihdella eri asiayhteyksissä. Tekniikan sovelluksissa sinikäyrä esiintyykin usein esimerkiksi muodoissa $$y = A\cdot \sin\left( 2\pi f\cdot t -\varphi \right)$$ tai $$y = A\cdot \sin\left( \omega t - \varphi \right)$$.

Koska $$\sin x = \cos\left( \frac{\pi}{2} - x \right)$$ ja yhtä hyvin $$\cos x = \sin\left( \frac{\pi}{2} - x \right)$$, voidaan kosinikäyrä esittää myös sinin avulla tai päinvastoin.

Siten samoin periaattein voitaisiin esittää yleinen kosinikäyrä

$y = A\cdot \cos \left( k\left( x - \frac{\varphi}{k} \right) \right) = A \cdot \cos\left( kx - \varphi \right).$

Kosinikäyrässä vakiot $$A$$ ja $$k$$ ovat vastaavat kuin sinikäyrässä. Siirtymä katsotaan peruskäyrän $$y = \cos x$$ $$y$$-akselilla sijaitsevasta maksimikohdasta lähtien.

Esimerkki 1.6.2

Kuvassa perussinikäyrä $$y = \sin x$$ ja muokattu käyrä

$y = 4\cdot \sin\left( 2\cdot \left( x - \frac{\pi}{3} \right) \right) = 4\cdot \sin\left( 2x - \frac{2\pi}{3} \right).$

Esimerkki 1.6.3

Kuvassa perussinikäyrä $$y = \sin x$$ ja muokattu käyrä

$y = 3\cdot \sin\left( 4x - \frac{\pi}{2} \right) + 2.$

Muokattua sinikäyrää on nostettu $$2$$:n verran, jota on merkitty alla olevassa kuvassa katkoviivalla.

Esimerkki 1.6.4

Oheisessa kuvassa on eräs sinifunktio. Määritä sen funktioyhtälö.

Ratkaisu

Sinikäyrän yhtälö on muotoa

$y = A \cdot \sin\left( k\left( x - \frac{\varphi}{k} \right) \right) = A\cdot \sin\left( kx - \varphi \right).$

Kuvan käyrä heilahtelee välillä $$\left[ -3, 3 \right]$$, joten sitä ei ole nostettu. Amplitudi on $$A = 3$$. Kuvasta nähdään, että aallonpituus on $$\lambda = 12\pi$$. Tästä saadaan

$k = \frac{2\pi}{12\pi} = \frac{1}{6}.$

Käyrä ei kulje origon kautta, joten määritetään sen siirtymä. Katsotaan kuvasta missä on lähin nollakohta, jossa kuvaaja on nousemassa vaaka-akselin eli $$t$$-akselin yli. Siirtymä on

$\frac{\varphi}{k} = \pi.$

Yhtälöksi saadaan siten $$y = 3\cdot \sin\left( \frac{1}{6}\left( t - \pi \right) \right) = 3\cdot \sin\left( \frac{1}{6}t - \frac{\pi}{6} \right)$$.

Esimerkki 1.6.5

Edellisen esimerkin sinikäyrä voidaan esittää kosinin avulla seuraavasti.

Kuvan käyrä heilahtelee välillä $$\left[ -3, 3 \right] , joten sitä ei ole nostettu ja amplitudi on :math:A = 3$$. Kuvasta nähdään, että aallonpituus on $$\lambda = 12\pi$$. Tästä saadaan

$k = \frac{2\pi}{12\pi} = \frac{1}{6}.$

Käyrän maksimi ei ole $$y$$-akselilla, joten määritetään sen siirtymä. Katsotaan kuvasta, missä on lähin maksimikohta. Siirtymä on

$\frac{\varphi}{k} = 4\pi.$

$y = 3\cdot \cos\left( \frac{1}{6}\left( t - 4\pi \right) \right) = 3\cdot \cos\left( \frac{1}{6}t - \frac{2\pi}{3} \right).$