\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%}\]

Yleinen sinikäyrä

Sinifunktio on jaksollinen funktio, jonka perusjakso on \(2\pi\). Tarkastellaan sinikäyrää, joka pitää sisällään useita parametreja, niin sinifunktion sisällä kuin kertoimena:

\[y = A\cdot \sin\left( k\left( x - \frac{\varphi}{k} \right) \right) = A\cdot \sin\left( kx - \varphi \right),\]

kun \(A > 0\), \(k > 0\) ja \(-2\pi < \varphi < 2\pi\).

../_images/tamk-yleinen-sini.svg
  • \(A =\) amplitudi: käyrä heilahtelee \(y\)-akselin välillä \([-A, A]\). Vakio \(A\) siis säätää pystysuuntaista vaihtelua.

  • \(k =\) taajuuskerroin/kulmataajuus: Kertoo taajuudesta, mutta ei ole taajuus! Taajuuskertoimen \(k\) ja aallonpituuden \(\lambda\) välillä on yhteys

    \[\lambda = \frac{2\pi}{k} \quad \Leftrightarrow \quad k = \frac{2\pi}{\lambda}.\]

    Vakio \(k\) siis säätää aallonpituutta. Se siis kertoo kuinka monta aaltoa mahtuu pituuden \(2\pi\) mittaiseen perusjaksoon.

  • \(\frac{\varphi}{k} =\) siirtymä: Kertoo kuinka paljon peruskäyrän \(y = \sin x\) nollakohta \(x = 0\) on siirtynyt vasemmalle tai oikealle (siirtymä oikealle on positiivista ja vasemmalle negatiivista). Siirtymä siis ilmoittaa nollakohdan, jossa kuvaaja on nousemassa vaaka-akselilta. Siirtymän avulla voidaan laskea \(\varphi\), jota kutsutaan vaihe-eroksi.

  • \(b =\) nosto: Yleisessä muodossa \(y = A\cdot \sin\left( kx - \phi \right) + b\) esiintyvä vakio \(b\) kertoo, että käyrää on nostettu tai laskettu vakion \(b\) verran. Tällöin käyrä heilahtelee suoran \(y = b\) suhteen ja amplitudi \(A\) kuvaa maksimietäisyyttä tästä suorasta.

Huomautus 1.6.1

Jos kaavassa on aikamuuttuja, niin lauseketta \(\frac{1}{\lambda}\) kutsutaan taajuudeksi ja merkitään \(f = \frac{1}{\lambda}\). Kun taajuuskerroin \(k\) kertoo kuinka monta aaltoa mahtuu pituuden \(2\pi\) mittaiseen perusjaksoon, niin taajuus \(f\) kertoo kuinka monta aaltoa mahtuu yhteen aikayksikköön esimerkiksi yhteen sekuntiin

\[f = \frac{1}{\lambda} = \frac{k}{2\pi} \quad \Leftrightarrow \quad k = 2\pi \cdot f.\]

Jossakin yhteydessä taajuuskerrointa \(k\) kutsutaan myös kulmataajuudeksi. Tällöin sitä merkitään kirjaimella \(\omega\) (omega).

Edellä esitettyhen huomatuksien perusteella yleisen sinikäyrän merkinnät voivatkin vaihdella eri asiayhteyksissä. Tekniikan sovelluksissa sinikäyrä esiintyykin usein esimerkiksi muodoissa \(y = A\cdot \sin\left( 2\pi f\cdot t -\varphi \right)\) tai \(y = A\cdot \sin\left( \omega t - \varphi \right)\).

Koska \(\sin x = \cos\left( \frac{\pi}{2} - x \right)\) ja yhtä hyvin \(\cos x = \sin\left( \frac{\pi}{2} - x \right)\), voidaan kosinikäyrä esittää myös sinin avulla tai päinvastoin.

Siten samoin periaattein voitaisiin esittää yleinen kosinikäyrä

\[y = A\cdot \cos \left( k\left( x - \frac{\varphi}{k} \right) \right) = A \cdot \cos\left( kx - \varphi \right).\]

Kosinikäyrässä vakiot \(A\) ja \(k\) ovat vastaavat kuin sinikäyrässä. Siirtymä katsotaan peruskäyrän \(y = \cos x\) \(y\)-akselilla sijaitsevasta maksimikohdasta lähtien.

Esimerkki 1.6.2

Kuvassa perussinikäyrä \(y = \sin x\) ja muokattu käyrä

\[y = 4\cdot \sin\left( 2\cdot \left( x - \frac{\pi}{3} \right) \right) = 4\cdot \sin\left( 2x - \frac{2\pi}{3} \right).\]
../_images/tamk-esim-muokattu-sin-1.svg

Esimerkki 1.6.3

Kuvassa perussinikäyrä \(y = \sin x\) ja muokattu käyrä

\[y = 3\cdot \sin\left( 4x - \frac{\pi}{2} \right) + 2.\]

Muokattua sinikäyrää on nostettu \(2\):n verran, jota on merkitty alla olevassa kuvassa katkoviivalla.

../_images/tamk-esim-muokattu-sin-11.svg

Esimerkki 1.6.4

Oheisessa kuvassa on eräs sinifunktio. Määritä sen funktioyhtälö.

../_images/tamk-esim-muokattu-sin-2.svg
Ratkaisu

Sinikäyrän yhtälö on muotoa

\[y = A \cdot \sin\left( k\left( x - \frac{\varphi}{k} \right) \right) = A\cdot \sin\left( kx - \varphi \right).\]

Kuvan käyrä heilahtelee välillä \(\left[ -3, 3 \right]\), joten sitä ei ole nostettu. Amplitudi on \(A = 3\). Kuvasta nähdään, että aallonpituus on \(\lambda = 12\pi\). Tästä saadaan

\[k = \frac{2\pi}{12\pi} = \frac{1}{6}.\]

Käyrä ei kulje origon kautta, joten määritetään sen siirtymä. Katsotaan kuvasta missä on lähin nollakohta, jossa kuvaaja on nousemassa vaaka-akselin eli \(t\)-akselin yli. Siirtymä on

\[\frac{\varphi}{k} = \pi.\]

Yhtälöksi saadaan siten \(y = 3\cdot \sin\left( \frac{1}{6}\left( t - \pi \right) \right) = 3\cdot \sin\left( \frac{1}{6}t - \frac{\pi}{6} \right)\).

Esimerkki 1.6.5

Edellisen esimerkin sinikäyrä voidaan esittää kosinin avulla seuraavasti.

Kuvan käyrä heilahtelee välillä \(\left[ -3, 3 \right] `, joten sitä ei ole nostettu ja amplitudi on :math:`A = 3\). Kuvasta nähdään, että aallonpituus on \(\lambda = 12\pi\). Tästä saadaan

\[k = \frac{2\pi}{12\pi} = \frac{1}{6}.\]

Käyrän maksimi ei ole \(y\)-akselilla, joten määritetään sen siirtymä. Katsotaan kuvasta, missä on lähin maksimikohta. Siirtymä on

\[\frac{\varphi}{k} = 4\pi.\]

Yhtälöksi saadaan siten

\[y = 3\cdot \cos\left( \frac{1}{6}\left( t - 4\pi \right) \right) = 3\cdot \cos\left( \frac{1}{6}t - \frac{2\pi}{3} \right).\]
Palautusta lähetetään...