\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%}\]

Useamman muuttujan funktio

Funktiossa muuttujia voi olla myös useampi kuin yksi. Yleinen merkintä kahden muuttujan funktiolle on

\[z = f\left( x, y \right)\]

ja kolmen muuttujan funktiolle

\[u = f\left( x, y, z \right).\]

Yhden muuttujan funktiota voidaan helposti havainnollistaa \(xy\)-koordinaatistossa. Usean muuttujan funktion havainnollistaminen vastaavalla tavalla on hankalaa ja usein jopa mahdotonta. Kahden muuttujan funktiota voidaan kuvata pintana \(3\)-ulotteisessa koordinaatistossa, mutta esimerkiksi kolmen muuttujan funktion graafinen esitys edellyttäisi neliulotteista avaruutta.

Esimerkki 1.10.1

Kahden muuttujan funktion

\[f\left( x,y \right) = x^2 - y^2\]

kuvaaja on oheisen kuvan mukainen satulapinta. Funktion arvo tulkitaan kuvassa \(z\)-koordinaattina.

../_images/tamk-satulapiste.svg

Kaavat, joissa tietty suure riippuu useammasta muusta suureesta ovat itse asiassa useamman muuttujan funktioita. Tällä tavalla ajateltuna suureyhtälöiden käsittely erilaisilla ohjelmilla yksinkertaistuu. Esimerkiksi suureen arvon laskeminen tietyillä arvoilla voidaan ajatella funktion arvoksi tietyssä kohdassa.

Esimerkki 1.10.2

Hitausmomentti

\[J_{A} = \frac{T^2 mgr_p}{4\pi^2}\]

voidaan tulkita kolmen muuttujan funktioksi (\(g\) on vakio)

\[J_{A}\left( T, m, r_p \right) = \frac{T^2 mgr_p}{4\pi^2}.\]

Sen arvo annetuilla muuttujan arvoilla \(T = \SI{1{,}3796}{\second}\), \(m = \SI{0{,}35000}{\kilogram}\) ja \(r_p = \SI{0{,}367}{\meter}\) voidaan merkitä ja laskea seuraavasti

\[\begin{split}\begin{aligned} J_{A}\left( \SI{1{,}3796}{\second}, \SI{0{,}35000}{\kilogram}, \SI{0{,}367}{\meter}\right) &= \frac{\left( \SI{1{,}3796}{\second} \right)^2\cdot \SI{0{,}35000}{\kilogram}\cdot \SI{9{,}82}{\meter\per\second\squared} \cdot \SI{0{,}367}{\meter}}{4\pi^2} \\ &\approx \SI{0{,}060812}{\kilogram\meter^2}. \end{aligned}\end{split}\]
Palautusta lähetetään...