\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%}\]

Verrannollisuus

Yksi tärkeä suureiden välisen riippuvuuden laji on verrannollisuus. Suureiden välinen riippuvuus voi olla kahdella tavalla verrannollinen, suoraan tai kääntäen. Seuraavaksi esitetään nämä käsitteet ensin perustapauksissa.

Suoraan verrannolisuus

Kaksi suuretta \(x\) ja \(y\) ovat suoraan verrannolliset, jos muuttujan \(x\) muuttuessa \(y\) muuttuu samassa suhteessa eli suureiden vastinarvojen suhde on vakio eli \(\frac{y}{x} = k\).

Tällöin riippuvuutta kuvaa

  • yhtälö \(y = kx\), missä \(k\) on vakio,
  • graafisesti origon kautta kulkeva suora.
../_images/tamk-suoraan-verr.svg

Vakiokerrointa \(k\) kutsutaan verrannollisuuskertoimeksi.

Esimerkki 1.8.1

Lentokone lentää tasaisella nopeudella \(\SI{800}{\kilo\meter\per\hour}\). Tällöin matkaan käytetty aika \(t\) ja kuljettu matka \(s\) ovat suoraan verrannolliset. Riippuvuutta kuvaa yhtälö

\[s = \SI{800}{\kilo\meter\per\hour}\cdot t,\]

ja sillä on seuraavanlainen graafinen esitys.

../_images/tamk-esim-lentokone.svg

Kääntäen verrannollisuus

Kaksi suuretta \(x\) ja \(y\) ovat kääntäen verrannolliset, jos muuttujan \(x\) kasvaessa \(a\)-kertaiseksi \(y\) pienenee tullen \(\frac{1}{a}\)-kertaiseksi eli suureiden vastinarvojen tulo on vakio \(xy = k\).

Tällöin riippuvuutta kuvaa

  • yhtälö \(y = \frac{k}{x}\), missä \(k\) on vakio,
  • graafisesti koordinaattiakseleita lähenevä käyrä, jota kutsutaan hyperbeliksi.
../_images/tamk-kaantaen-verr.svg

Vakiokerrointa \(k\) kutsutaan tässäkin verrannollisuuskertoimeiksi.

Esimerkki 1.8.2

Kuorma-autoilla kuljettiin soraa \(\SI{9000}{\meter\cubed}\). Tällöin yksittäisen kuorman tilavuus \(V\) ja kuljetukseen tarvittavien kuormien lukumäärä \(n\) ovat kääntäen verrannolliset. Riippuvuutta kuvaa yhtälö

\[n = \frac{\SI{9000}{\meter\cubed}}{V},\]

ja sillä on seuraavanlainen graafinen esitys.

../_images/tamk-esim-kuorma-auto.svg

Muodostamalla muuttujista monimutkaisempia lausekkeita, voidaan kehittää uusia verrannollisuuden muotoja. Suoraan tai kääntäen verrannollisuutta voi olla myös potenssiin, neliöjuureen, sinifunktioon ja niin edelleen.

Esimerkki 1.8.3

Ilmaistaan sanallisesti, kuinka suure \(y\) riippuu suureesta, kun tunnetaan riippuvuutta kuvaava yhtälö.

\[\begin{split}\begin{array}{r l}\hline y=\num{0{,}7}x & y \text{ ja } x \text{ ovat suoraan verrannolliset} \\ y=\num{1{,}26}x^2 & y \text{ on suoraan verrannollinen muuttujan } x \text{ neliöön} \\ y=\frac{9}{x} & y \text{ ja } x \text{ ovat kääntäen verrannolliset} \\ y=-\num{3{,}5}x^2 + 4 & y \text{ riippuu muuttujasta } x^2 \text{ lineaarisesti} \\ y=\frac{\num{8{,}0}}{x^3} & y \text{ on kääntäen verrannollinen muuttujan } x \text{ kuutioon} \\ y=\num{2{,}7}\sqrt{x} & y \text{ on suoraan verrannollinen muuttujan } x \text{ neliöjuureen} \\ F=G\frac{m_1 m_2}{r^2} & F \text{ on suoraan verrannollinen muuttujiin } m_1 \text{ ja } m_2 \text{ sekä kääntäen} \\[-1ex] & \text{verrannollinen muuttujan } r \text{ neliöön} \\\hline \end{array}\end{split}\]

Esimerkki 1.8.4

Suureet \(x\) ja \(y\) ovat suoraan verrannolliset. Tiedetään, että muuttujan \(x\) arvoa \(25\) vastaa muuttujan \(y\) arvo \(76\).

  1. Kirjoita riippuvuutta kuvaava yhtälö muuttujana \(x\).
  2. Laske mikä on muuttujan \(x\) arvo \(15\) vastaava muuttujan \(y\) arvo.
Ratkaisu
  1. Suureiden välinen riippuvuus on muotoa \(y = k\cdot x\). Ratkaistaan verrannollisuuskerroin \(k\) tiedolla, että muuttujan \(x\) arvo \(25\) vastaa muuttujan \(y\) arvo \(76\).

    \[y = k\cdot x \quad \Leftrightarrow \quad k = \frac{y}{x} = \frac{76}{25}.\]

    Riippuvuutta kuvaava yhtälö on siis \(y = \num{3{,}04}x\).

  2. Lasketaan muuttujan \(y\) arvo ensimmäisessä kohdassa saadun yhtälön avulla

    \[y = \num{3{,}04}\cdot 15 = \num{45{,}6}.\]

    Siis muuttujan \(x\) arvoa \(15\) vastaa muuttujan \(y\) arvo \(\num{45{,}6}\).

Esimerkki 1.8.5

Lankun kantokyky \(T\) on kääntäen verrannollinen lankun pituuteen \(l\). Kokeellisesti selvitettiin, että \(\SI{3{,}00}{\meter}\) pitkä lankku kantoi \(\SI{170}{\kilogram}\).

  1. Kirjoita riippuvuutta kuvaava yhtälö.
  2. Kuinka suuren massan kantaa samanlaisesta puusta sahattu \(\SI{4{,}00}{\meter}\) pitkä lankku?
Ratkaisu
  1. Riippuvuus muotoa \(T = \frac{k}{l}\). Ratkaistaan verrannollisuuskerroin \(k\) tiedolla, että \(\SI{3{,}00}{\meter}\) pitkä lankku kantoi \(\SI{170}{\kilogram}\). Riippuvuuden kuvaavaksi yhtälöksi saadaan siis

    \[T = \frac{k}{l} \quad \Leftrightarrow \quad k = T \cdot l = \SI{170}{\kilogram} \cdot \SI{3{,}00}{\meter} = \SI{510}{\kilogram\metre}.\]

    Täten riippuvuutta kuvaava yhtälö on

    \[T = \frac{\SI{510}{\kilogram\metre}}{l}.\]
  2. Lasketaan kantokyky ensimmäisen kohdan yhtälön avulla. Vastaukseksi saadaan

    \[T = \frac{\SI{510}{\kilo\gram\meter}}{\SI{4{,}00}{\meter}} = \SI{127{,}5}{\kilo\gram}.\qedhere\]
Palautusta lähetetään...