\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%}\]

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Määritelmä 1.2.1

Ensimäisen asteen polynomi on muotoa

\[f\left( x \right) = k \cdot x + b,\]

missä \(k\) ja \(b\) ovat vakioita.

Tälle on ominaista seuraavat ominaisuudet.

  • Kuvaajana on suora.
  • Kerroin \(k\) on suoran kulmakerroin. Lisäksi
    • kulmakerroin kuvaa kuinka paljon tietyllä matkalla on nousua tai laskua (vrt. kaltevuus),
    • mitä suurempi on \(\abs{k}\), niin sitä jyrkempi suora,
    • jos \(k > 0\), niin kyseessä on nouseva suora,
    • jos \(k < 0\), niin kyseessä on laskeva suora,
    • jos \(k = 0\), niin kyseessä on \(x\)-akselin suuntainen suora.
  • Vakio \(b\) ilmoittaa \(y\)-akselin leikkauskohdan.
  • Suorat ovat yhdensuuntaiset jos ja vain jos kulmakertoimet ovat samat, merkitään \(\parallel\).
  • Suorat ovat kohtisuorassa jos ja vain jos kulmakertoimien tulo on \(-1\), merkitään \(\perp\).
  • Lineaarinen riippuvuus tarkoittaa, että kahden suureen välistä riippuvuutta kuvaa suora.
../_images/tamk-kulmakerroin-geom.svg

Huomautus 1.2.2

Huomaa, että \(y\)-akselin suuntaisen suoran yhtälö on muotoa \(x = a\) eli pystysuora, joka leikaa \(x\)-akselin kohdassa \(a\).

Esimerkki 1.2.3

Funktion

  • \(y = 4x\) kuvaajana on origon kautta kulkeva nouseva suora,
  • \(y = - \num{0{,}25}x + \num{2{,}5}\) kuvaajana on laskeva suora, joka leikkaa \(y\)-akselin kohdassa \(y = \num{2{,}5}\). Tämä on edellistä loivempi suora.

Lisäksi voidaan todeta, että kyseiset suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, sillä \(4 \cdot \left( - \num{0{,}25} \right) = -1\) eli kulmakertoimien tulo on \(-1\).

Suoran suuntakulma

Suoran suuntakulma kerotoo suoran jyrkkyyden asteina, se on suunnattu kulma positiivisesta \(x\)-akselista laskettuna. Alla geometrinen määritelmä suuntakulmalle.

../_images/tamk-suuntakulma-pos.svg
../_images/tamk-suuntakulma-neg.svg

Kyseessä on nouseva suora kun \(\ang{0} < \alpha < \ang{90}\). Vastaavasti kyseessä on laskeva suora kun \(\ang{-90} < \alpha < \ang{0}\).

Suoran suuntakulman \(\alpha\) ja kulmakertoimen \(k\) välinen yhteys on

\[\tan\alpha = \frac{\Delta y}{\Delta x} = k.\]
../_images/tamk-suuntakulma-kulmak.svg

Erityisesti

  • \(x\)-akselin suuntaisen suoran suuntakulma on \(\ang{0}\),
  • \(y\)-akselin suuntaisen suoran suuntakulma on \(\ang{90}\),
  • yhdensuuntaisten suorien suuntakulmat ovat yhtä suuret.

Suoran yhtälö

Suoran yhtälölle on useampi esitys:

  • normaalimuoto \(ax + by + c = 0\),
  • ratkaistu muoto \(y = kx + b\).

Suoran on helpompi piirtää ratkaistusta muodosta, koska siitä näkyvät suoraan oleelliset parametrit (\(k\) ja \(b\)).

Esimerkki 1.2.4

Määritetään suoran \(4x + 2y -10 = 0\) kulmakerroin ja suuntakulma esittämällä yhtälö ratkaistussa muodossa seuraavasti.

\[4x + 2y -10 = 0 \Leftrightarrow 2y = -4x + 10 \Leftrightarrow y = -2x + 5, \text{ eli kulmakerroin on } {-2}.\]

Suuntakulma saadaan yhtälöstä

\[\tan \alpha = -2 \Leftrightarrow \alpha = \arctan\left( -2 \right) \approx -\ang{63,4} \text{ (eli radiaaneina } \num{2{,}19}\text{).}\]

Suoran piirtäminen

Suoran piirtämiseen tarvitaan kaksi suoran pistettä. Suositeltavaa on kuitenkin laskea kolmas piste tarkistukseksi.

Esimerkki 1.2.5

Piirretään suora \(y = - \num{0{,}35} x + \num{5{,}0}\). Lasketaan kolme suoran pistettä, sijoitetaan ne koordinaatistoon ja piirretään suora.

\(\begin{array}{r|l} x & y \\\hline 0 & \num{5{,}0} \\ 10 & \num{1{,}5} \\ 20 & \num{-2{,}0} \\ \end{array}\)
../_images/esim-suoran-piirtaminen.svg

Suoran yhtälön määrittäminen laskemalla

Suoran yhtälö voidaan määrittää tarkasti, kun tunnetaan

  • suoran kulmakerroin \(k\) ja yksi suoran piste,
  • kaksi suoran pistettä.

Tarkastellaan esimerkillä, miten yhtälön muodostamisen voi tehdä.

Esimerkki 1.2.6

Suora kulkee pisteen \(\left( -2, 6 \right)\) kautta ja sen kulmakerroin \(-4\). Määritä suoran yhtälö.

Ratkaisu

Koska suoran kulmakerroin tunnetaan, suoran yhtälö on muotoa \(y = -4x + b\). On vielä määrättävä yhtälössä esiintyvä vakio \(b\). Koska piste \(\left(-\num{2}, 6 \right)\) on suoran piste, täytyy koordinaattien toteuttaa suoran yhtälö. Kun suoran yhtälöön sijoitetaan \(x = -2\), pitää \(y\)-koordinaatiksi tulla \(6\), joten saadaan yhtälö

\[-4\cdot \left( -2 \right) + b = 6 \quad \Leftrightarrow \quad b = 6 - 8 = -2.\]

Kysytty suoran yhtälö on siten \(y = -4x - 2\).

Esimerkki 1.2.7

Määritä pisteiden \(\left( -7, 8 \right)\) ja \(\left( 5, -3 \right)\) kautta kulkevan suoran yhtälö.

Ratkaisu

Annettujen pisteiden on toteutettava suoran yhtälö \(y = kx + b\), joten sijoittamalla koordinaatit yhtälöön saadaan seuraava yhtälöpari.

\[\begin{split}\begin{cases} -7k + b = 8 \\ 5k + b = -3 \end{cases}\end{split}\]

Ratkaistaan \(k\) kertomalla alempaa yhtälöä puolittain luvulla \(-1\) ja laskemalla yhtälöt yhteen:

\[\begin{split}\begin{cases} -7k + b = 8 & \\ 5k + b = -3 & \parallel \cdot \left( -1 \right) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -7k + b = 8 \\ -5k - b = 3 \end{cases} \Rightarrow \quad -12k = 11 \quad \Rightarrow \quad k = -\frac{11}{12}.\end{split}\]

Ratkaistaan \(b\) kertomalla molempia yhtälöitä sellaisilla luvuilla, että \(k\):n kertoimet ovat (itseisarvoltaan) yhtä suuret ja laskemalla sitten yhtälöt yhteen:

\[\begin{split}\begin{cases} -7k + b = 8 & \parallel \cdot 5 \\ 5k + b = -3 & \parallel \cdot 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -35k + 5b = 40 \\ 35k + 7b = -21 \end{cases} \Rightarrow \quad 12b = 19 \quad \Rightarrow \quad b = \frac{19}{12}.\end{split}\]

Siis kysytty suoran yhtälö on \(y = - \frac{11}{12}x + \frac{19}{12}\).

Suoran yhtälö kahdessa edellisessä esimerkissä voidaan ratkaista myös käyttämällä kaavaa

\[y - y_1 = k\left( x - x_1 \right),\]

kun suora kulkee pisteen \(\left( x_1, y_1 \right)\) kautta ja kulmakerroin \(k\) tunnetaan.

Jos tiedetään kaksi suoran pistettä \(\left( x_1, y_1 \right)\) ja \(\left( x_2, y_2 \right)\), kulmakerroin saadaan niiden avulla kaavalla

\[k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.\]

Ratkaistaan uudelleen edellisten esimerkkien suorien yhtälöt kaavoilla.

Esimerkki 1.2.8

Suora kulkee pisteen \(\left( -2, 6 \right)\) kautta ja sen kulmakerroin on \(-4\). Määritä suoran yhtälö.

Ratkaisu

Käytetään suoran yhtälön kaavaa \(y-y_1 = k\left( x-x_1 \right)\) ja saadaan

\[\begin{split}\begin{aligned} &y - 6 = -4\left( x - \left( -2 \right) \right) \\ \Leftrightarrow \quad &y - 6 = -4\left( x + 2 \right) \\ \Leftrightarrow \quad &y - 6 = -4x - 8 \\ \Leftrightarrow \quad &y = -4x - 2. \end{aligned}\end{split}\]

Esimerkki 1.2.9

Määritä pisteiden \(\left( -7, 8 \right)\) ja \(\left( 5, -3 \right)\) kautta kulkevan suoran yhtälö.

Ratkaisu

Lasketaan ensin kulmakerroin

\[k = \frac{-3 - 8}{5 -\left( -7 \right) } = - \frac{11}{12}.\]

Sijoitetaan kulmakerroin ja toinen tunnetuista pisteistä (tässä valittu \(\left( -7, 8 \right)\)) suoran yhtälön laskukaavaan

\[\begin{split}\begin{aligned} &y - 8 = - \frac{11}{12} \cdot \left( x -\left( -7 \right) \right) \\ \Leftrightarrow \quad &y - 8 = - \frac{11}{12}\left( x + 7 \right) \\ \Leftrightarrow \quad &y - 8 = - \frac{11}{12}x - \frac{77}{12} \\ \Leftrightarrow \quad &y = - \frac{11}{12}x + \frac{19}{12} .\end{aligned}\end{split}\]
Palautusta lähetetään...