$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%}$

# Ensimmäisen asteen polynomifunktio¶

Määritelmä 1.2.1

Ensimäisen asteen polynomi on muotoa

$f\left( x \right) = k \cdot x + b,$

missä $$k$$ ja $$b$$ ovat vakioita.

Tälle on ominaista seuraavat ominaisuudet.

• Kuvaajana on suora.
• Kerroin $$k$$ on suoran kulmakerroin. Lisäksi
• kulmakerroin kuvaa kuinka paljon tietyllä matkalla on nousua tai laskua (vrt. kaltevuus),
• mitä suurempi on $$\abs{k}$$, niin sitä jyrkempi suora,
• jos $$k > 0$$, niin kyseessä on nouseva suora,
• jos $$k < 0$$, niin kyseessä on laskeva suora,
• jos $$k = 0$$, niin kyseessä on $$x$$-akselin suuntainen suora.
• Vakio $$b$$ ilmoittaa $$y$$-akselin leikkauskohdan.
• Suorat ovat yhdensuuntaiset jos ja vain jos kulmakertoimet ovat samat, merkitään $$\parallel$$.
• Suorat ovat kohtisuorassa jos ja vain jos kulmakertoimien tulo on $$-1$$, merkitään $$\perp$$.
• Lineaarinen riippuvuus tarkoittaa, että kahden suureen välistä riippuvuutta kuvaa suora.

Huomautus 1.2.2

Huomaa, että $$y$$-akselin suuntaisen suoran yhtälö on muotoa $$x = a$$ eli pystysuora, joka leikaa $$x$$-akselin kohdassa $$a$$.

Esimerkki 1.2.3

Funktion

• $$y = 4x$$ kuvaajana on origon kautta kulkeva nouseva suora,
• $$y = - \num{0{,}25}x + \num{2{,}5}$$ kuvaajana on laskeva suora, joka leikkaa $$y$$-akselin kohdassa $$y = \num{2{,}5}$$. Tämä on edellistä loivempi suora.

Lisäksi voidaan todeta, että kyseiset suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, sillä $$4 \cdot \left( - \num{0{,}25} \right) = -1$$ eli kulmakertoimien tulo on $$-1$$.

## Suoran suuntakulma¶

Suoran suuntakulma kerotoo suoran jyrkkyyden asteina, se on suunnattu kulma positiivisesta $$x$$-akselista laskettuna. Alla geometrinen määritelmä suuntakulmalle.

Kyseessä on nouseva suora kun $$\ang{0} < \alpha < \ang{90}$$. Vastaavasti kyseessä on laskeva suora kun $$\ang{-90} < \alpha < \ang{0}$$.

Suoran suuntakulman $$\alpha$$ ja kulmakertoimen $$k$$ välinen yhteys on

$\tan\alpha = \frac{\Delta y}{\Delta x} = k.$

Erityisesti

• $$x$$-akselin suuntaisen suoran suuntakulma on $$\ang{0}$$,
• $$y$$-akselin suuntaisen suoran suuntakulma on $$\ang{90}$$,
• yhdensuuntaisten suorien suuntakulmat ovat yhtä suuret.

## Suoran yhtälö¶

Suoran yhtälölle on useampi esitys:

• normaalimuoto $$ax + by + c = 0$$,
• ratkaistu muoto $$y = kx + b$$.

Suoran on helpompi piirtää ratkaistusta muodosta, koska siitä näkyvät suoraan oleelliset parametrit ($$k$$ ja $$b$$).

Esimerkki 1.2.4

Määritetään suoran $$4x + 2y -10 = 0$$ kulmakerroin ja suuntakulma esittämällä yhtälö ratkaistussa muodossa seuraavasti.

$4x + 2y -10 = 0 \Leftrightarrow 2y = -4x + 10 \Leftrightarrow y = -2x + 5, \text{ eli kulmakerroin on } {-2}.$

$\tan \alpha = -2 \Leftrightarrow \alpha = \arctan\left( -2 \right) \approx -\ang{63,4} \text{ (eli radiaaneina } \num{2{,}19}\text{).}$

## Suoran piirtäminen¶

Suoran piirtämiseen tarvitaan kaksi suoran pistettä. Suositeltavaa on kuitenkin laskea kolmas piste tarkistukseksi.

Esimerkki 1.2.5

Piirretään suora $$y = - \num{0{,}35} x + \num{5{,}0}$$. Lasketaan kolme suoran pistettä, sijoitetaan ne koordinaatistoon ja piirretään suora.

 $$\begin{array}{r|l} x & y \\\hline 0 & \num{5{,}0} \\ 10 & \num{1{,}5} \\ 20 & \num{-2{,}0} \\ \end{array}$$

Suoran yhtälö voidaan määrittää tarkasti, kun tunnetaan

• suoran kulmakerroin $$k$$ ja yksi suoran piste,
• kaksi suoran pistettä.

Tarkastellaan esimerkillä, miten yhtälön muodostamisen voi tehdä.

Esimerkki 1.2.6

Suora kulkee pisteen $$\left( -2, 6 \right)$$ kautta ja sen kulmakerroin $$-4$$. Määritä suoran yhtälö.

Ratkaisu

Koska suoran kulmakerroin tunnetaan, suoran yhtälö on muotoa $$y = -4x + b$$. On vielä määrättävä yhtälössä esiintyvä vakio $$b$$. Koska piste $$\left(-\num{2}, 6 \right)$$ on suoran piste, täytyy koordinaattien toteuttaa suoran yhtälö. Kun suoran yhtälöön sijoitetaan $$x = -2$$, pitää $$y$$-koordinaatiksi tulla $$6$$, joten saadaan yhtälö

$-4\cdot \left( -2 \right) + b = 6 \quad \Leftrightarrow \quad b = 6 - 8 = -2.$

Kysytty suoran yhtälö on siten $$y = -4x - 2$$.

Esimerkki 1.2.7

Määritä pisteiden $$\left( -7, 8 \right)$$ ja $$\left( 5, -3 \right)$$ kautta kulkevan suoran yhtälö.

Ratkaisu

Annettujen pisteiden on toteutettava suoran yhtälö $$y = kx + b$$, joten sijoittamalla koordinaatit yhtälöön saadaan seuraava yhtälöpari.

$\begin{split}\begin{cases} -7k + b = 8 \\ 5k + b = -3 \end{cases}\end{split}$

Ratkaistaan $$k$$ kertomalla alempaa yhtälöä puolittain luvulla $$-1$$ ja laskemalla yhtälöt yhteen:

$\begin{split}\begin{cases} -7k + b = 8 & \\ 5k + b = -3 & \parallel \cdot \left( -1 \right) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -7k + b = 8 \\ -5k - b = 3 \end{cases} \Rightarrow \quad -12k = 11 \quad \Rightarrow \quad k = -\frac{11}{12}.\end{split}$

Ratkaistaan $$b$$ kertomalla molempia yhtälöitä sellaisilla luvuilla, että $$k$$:n kertoimet ovat (itseisarvoltaan) yhtä suuret ja laskemalla sitten yhtälöt yhteen:

$\begin{split}\begin{cases} -7k + b = 8 & \parallel \cdot 5 \\ 5k + b = -3 & \parallel \cdot 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -35k + 5b = 40 \\ 35k + 7b = -21 \end{cases} \Rightarrow \quad 12b = 19 \quad \Rightarrow \quad b = \frac{19}{12}.\end{split}$

Siis kysytty suoran yhtälö on $$y = - \frac{11}{12}x + \frac{19}{12}$$.

Suoran yhtälö kahdessa edellisessä esimerkissä voidaan ratkaista myös käyttämällä kaavaa

$y - y_1 = k\left( x - x_1 \right),$

kun suora kulkee pisteen $$\left( x_1, y_1 \right)$$ kautta ja kulmakerroin $$k$$ tunnetaan.

Jos tiedetään kaksi suoran pistettä $$\left( x_1, y_1 \right)$$ ja $$\left( x_2, y_2 \right)$$, kulmakerroin saadaan niiden avulla kaavalla

$k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.$

Ratkaistaan uudelleen edellisten esimerkkien suorien yhtälöt kaavoilla.

Esimerkki 1.2.8

Suora kulkee pisteen $$\left( -2, 6 \right)$$ kautta ja sen kulmakerroin on $$-4$$. Määritä suoran yhtälö.

Ratkaisu

Käytetään suoran yhtälön kaavaa $$y-y_1 = k\left( x-x_1 \right)$$ ja saadaan

\begin{split}\begin{aligned} &y - 6 = -4\left( x - \left( -2 \right) \right) \\ \Leftrightarrow \quad &y - 6 = -4\left( x + 2 \right) \\ \Leftrightarrow \quad &y - 6 = -4x - 8 \\ \Leftrightarrow \quad &y = -4x - 2. \end{aligned}\end{split}

Esimerkki 1.2.9

Määritä pisteiden $$\left( -7, 8 \right)$$ ja $$\left( 5, -3 \right)$$ kautta kulkevan suoran yhtälö.

Ratkaisu

$k = \frac{-3 - 8}{5 -\left( -7 \right) } = - \frac{11}{12}.$
Sijoitetaan kulmakerroin ja toinen tunnetuista pisteistä (tässä valittu $$\left( -7, 8 \right)$$) suoran yhtälön laskukaavaan
\begin{split}\begin{aligned} &y - 8 = - \frac{11}{12} \cdot \left( x -\left( -7 \right) \right) \\ \Leftrightarrow \quad &y - 8 = - \frac{11}{12}\left( x + 7 \right) \\ \Leftrightarrow \quad &y - 8 = - \frac{11}{12}x - \frac{77}{12} \\ \Leftrightarrow \quad &y = - \frac{11}{12}x + \frac{19}{12} .\end{aligned}\end{split}