\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Derivaatan määrittäminen

Funktion muutosnopeuden eli derivaatan määrittämiseen on monta tapaa. Se voidaan määrittää

  • graafisesti eli kuvaajasta lukemalla,
  • numeerisesti eli laskemalla havaintoarvoista tai funktion arvoista,
  • symbolisesti eli laskemalla kaavoilla funktion yhtälöstä.

Tavan valinta riippuu siitä miten tiedot funktiosta on esitetty. Kaksi ensin mainittua tapaa ovat yleensä likimääräisiä tapoja. Seuraavaksi käsitellään näitä eri tapoja.

Graafinen derivointi

Graafinen derivointi tarkoittaa sitä, että derivaattaa eli muutosnopeutta arvioidaan kuvaajan avulla piirtämällä kuvaajaan tangentti tiettyyn kohtaan. Menetelmä on likimääräinen ja sitä käytetään yleensä silloin, kun funktion lauseketta ei tunneta (vrt. aikaisempaan esimerkkiin 2.1.4).

Numeerinen derivointi

Numeerinen menetelmä eli numeerinen analyysi tarkoittaa matematiikan osa-aluetta, jossa pyritään löytämään likimääräisratkaisuja matemaattisiin ongelmiin, joita ei voi tai ei kannata ratkaista tarkasti. Numeerinen derivointi tarkoittaa sitä, että etsitään tangentin kulmakertoimelle likimääräinen ratkaisu derivaatan määritelmästä johdetulla likiarvokaavalla.

Derivaatan määritelmästä seuraa likiarvokaava derivaatan laskemiselle

\[f'( x ) \approx \frac{f( x + \Delta x ) - f( x ) }{\Delta x}, \quad \text{kun } \Delta x\approx 0.\]

Usein kuitenkin paremman arvion antaa niin sanottu symmetrinen erotusosamäärä eli keskusdifferenssi

\[f'( x ) \approx \frac{f( x + \Delta x ) - f( x - \Delta x ) }{2 \Delta x}, \quad \text{kun } \Delta x \approx 0.\]

Esimerkki 2.2.1

Laske likiarvo funktion \(f( x ) = 4x^2 - 2x\) derivaatalle kohdassa \(x = 2\).

Ratkaisu

Valitaan kaavassa esimerkiksi \(\Delta x = \num[output-decimal-marker={,}]{0.01}\). Kohtaan \(x = 2\) asetetun tangentin kulmakerroin on likimain sama kuin sen sekantin kulmakerroin, joka on piirretty kohtien \(x = 2\) ja \(x = \num[output-decimal-marker={,}]{2.01}\) kautta. Saadaan

\[\begin{split}\begin{aligned} f'( 2 ) &\approx \frac{f( \num[output-decimal-marker={,}]{2.01} ) - f( 2 ) }{\num[output-decimal-marker={,}]{0.01}} \\ &= \frac{( 4\cdot \num[output-decimal-marker={,}]{2.01}^2 - 2\cdot \num[output-decimal-marker={,}]{2.01} ) - ( 4\cdot 2^2 - 2\cdot 2 ) }{\num[output-decimal-marker={,}]{0.01}} \\ &= \frac{\num[output-decimal-marker={,}]{12.1404} - 12}{\num[output-decimal-marker={,}]{0.01}} = \frac{\num[output-decimal-marker={,}]{0.1404}}{\num[output-decimal-marker={,}]{0.01}} = \num[output-decimal-marker={,}]{14.04}. \end{aligned}\end{split}\]

Lasketaan likiarvo myös symmetrisen erotusosamäärän kaavalla. Tässä sekantti on piirretty kohtien \(x = \num[output-decimal-marker={,}]{1.99}\) ja \(x = \num[output-decimal-marker={,}]{2.01}\) kautta. Saadaan

\[\begin{split}\begin{aligned} f'( 2 ) &\approx \frac{f( \num[output-decimal-marker={,}]{2.01} ) - f( \num[output-decimal-marker={,}]{1.99} ) }{\num[output-decimal-marker={,}]{0.02}} \\ &= \frac{( 4\cdot \num[output-decimal-marker={,}]{2.01}^2 - 2\cdot \num[output-decimal-marker={,}]{2.01} ) - ( 4\cdot \num[output-decimal-marker={,}]{1.99}^2 - 2\cdot \num[output-decimal-marker={,}]{1.99} ) }{\num[output-decimal-marker={,}]{0.02}} \\ &= \frac{\num[output-decimal-marker={,}]{12.1404} - \num[output-decimal-marker={,}]{11.8604}}{\num[output-decimal-marker={,}]{0.02}} = \frac{\num[output-decimal-marker={,}]{0.28}}{\num[output-decimal-marker={,}]{0.02}} = \num[output-decimal-marker={,}]{14.0}. \end{aligned}\end{split}\]

Siis vastaus on \(f'( 2 ) \approx 14\).

Kun derivaattaa lasketaan numeerisesti edellä esitetyillä kaavoilla, jää epäselväksi millä tarkkuudella tulos tiedetään. Jos numeerisella derivoinnilla pyritään tiettyyn tarkkuuteen, päädytään numeeriseen raja-arvon laskentaan. Tarkastellaan vielä seuraavalla esimerkillä tapausta, jossa tulos halutaan tietyllä tarkkuudella.

Esimerkki 2.2.2

Pallo lähtee vierimään pitkin kaltevaa tasoa siten että pallon sijainti ajan funktiona on \(s( t ) = \SI[per-mode=fraction,output-decimal-marker={,}]{0.3}{\meter\per\second\squared} \cdot t^2\). Laske kolmen desimaalin tarkkuudella likiarvo pallon nopeudelle hetkellä \(t = \SI[output-decimal-marker={,}]{5.0}{\second}\).

Ratkaisu

Jätetään luettavuuden vuoksi yksiköt pois ja saadaan

\[\begin{split}\begin{aligned} v( \num[output-decimal-marker={,}]{5.0} ) = s'( \num[output-decimal-marker={,}]{5.0} ) &= \lim_{\Delta \to 0} \frac{s( \num[output-decimal-marker={,}]{5.0} + \Delta t ) - s( \num[output-decimal-marker={,}]{5.0} ) }{\Delta t} \\ &= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\num[output-decimal-marker={,}]{0.3}\cdot ( \num[output-decimal-marker={,}]{5.0} + \Delta t )^2 - \num[output-decimal-marker={,}]{0.3}\cdot \num[output-decimal-marker={,}]{5.0}^2}{\Delta t} \\ &= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\num[output-decimal-marker={,}]{0.3}\cdot ( \num[output-decimal-marker={,}]{5.0} + \Delta t )^2 - \num[output-decimal-marker={,}]{7.5}}{\Delta t}. \end{aligned}\end{split}\]

Oheisessa taulukossa on laskettu raja-arvoa numeerisesti, kunnes haluttu tarkkuus saavutetaan.

\[\begin{split}\begin{array}{|l|l|l|l|}\hline \Delta t & \frac{\num[output-decimal-marker={,}]{0.3} \cdot (\num[output-decimal-marker={,}]{5.0} + \Delta t)^2 - \num[output-decimal-marker={,}]{7.5}}{\Delta t} & \Delta t & \frac{\num[output-decimal-marker={,}]{0.3} \cdot (\num[output-decimal-marker={,}]{5.0} + \Delta t)^2 - \num[output-decimal-marker={,}]{7.5}}{\Delta t} \\\hline \num[output-decimal-marker={,}]{0.1} & \num[output-decimal-marker={,}]{3.03} & \num[output-decimal-marker={,}]{-0.1} & \num[output-decimal-marker={,}]{2.97} \\\hline \num[output-decimal-marker={,}]{0.01} & \num[output-decimal-marker={,}]{3.003} & \num[output-decimal-marker={,}]{-0.01} & \num[output-decimal-marker={,}]{2.997} \\\hline \num[output-decimal-marker={,}]{0.001} & \num[output-decimal-marker={,}]{3.0003} & \num[output-decimal-marker={,}]{-0.001} & \num[output-decimal-marker={,}]{2.9997} \\\hline \num[output-decimal-marker={,}]{0.0001} & \num[output-decimal-marker={,}]{3.00003} & \num[output-decimal-marker={,}]{-0.0001} & \num[output-decimal-marker={,}]{2.99997} \\\hline \end{array}\end{split}\]

Siis tulokseksi saadaan \(v( \SI[output-decimal-marker={,}]{5.0}{\second} ) \approx \SI[per-mode=fraction,output-decimal-marker={,}]{3.000}{\meter\per\second}\).

Symbolinen derivointi

Derivaatan erotusosamäärän raja-arvon avulla voidaan johtaa dervivointikaavoja ja sääntöjä. Näiden kaavojen ja sääntöjen avulla derivaatan määrittämistä kutsutaan symboliseksi derivoinniksi. Symbolinen tapa on tarkka ja itse asiassa vain mekaaninen laskutoimitus.

Seuraava esimerkki havainnollistaa kaavojen johtamista.

Esimerkki 2.2.3

Lasketaan määritelmää käyttäen funktion \(f( x ) = x^2\) muutosnopeus eli derivaatta kohdassa \(x = 2\). Derivaatan määritelmän mukaan

\[\begin{split}\begin{aligned} f'( 2 ) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f( 2 + \Delta x ) - f( 2 ) }{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{( 2 + \Delta x )^2 - 2^2 }{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2^2 + 4 \Delta x + ( \Delta x )^2 - 2^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{4 \Delta x + ( \Delta x )^2}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x( 4 + \Delta x ) }{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}( 4 + \Delta x ) = 4 + 0 = 4. \end{aligned}\end{split}\]

Vastaavasti voitaisiin laskea tämän funktion derivaattoja muissa kohdissa.

Koska usein tarvitaan funktion muutosnopeutta useammassa pisteessä, on järkevää määrittää funktion muutosnopeus eli derivaatta yleisessä kohdassa \(x\).

\[\begin{split}\begin{aligned} f'( x ) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f( x + \Delta x ) - f( x ) }{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{( x + \Delta x )^2 - x^2 }{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{x^2 + 2 x \Delta x + ( \Delta x )^2 - x^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2 x \Delta x + ( \Delta x )^2}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x( 2x + \Delta x ) }{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}( 2x + \Delta x ) = 2x + 0 = 2x. \end{aligned}\end{split}\]

Olemme siis johtaneet, että funktion \(f( x ) = x^2\) derivointikaava on \(f'( x ) = 2x\).

Derivaattafunktion määrittämistä kutsutaan derivoinniksi. Derivoinnilla voidaan siis johtaa tutkittavasta funktiosta uusi funktio, jonka avulla voidaan selvittää monia alkuperäisen funktion ominaisuuksia. Sen lisäksi, että sillä voidaan tutkia funktion muutosnopeutta kohdassa \(x\), kertoo muutenkin alkuperäisen funktion käyttäytymisestä.

Esimerkki 2.2.4

Edellä johdetun tuloksen avulla saadaan nyt helposti lasketuksi funktion \(f( x ) = x^2\) muutosnopeudet eli tangentin kulmakertoimet halutuissa kohdissa. Koska \(f'( x ) = 2x\), niin esimerkiksi

\[f'( 1 ) = 2\cdot 1 = 2, \quad f'( 0 ) = 0, \quad f'( -1 ) = -2, \quad f'( -2 ) = -4, \quad f'( 2 ) = 4.\]

Edellisen esimerkin tulosten graafinen tulkinta liittyy oheiseen kuvaan piirrettyjen tangenttien kulmakertoimiin.

../_images/tangenttien-tutkiminen.svg

Tuloksista voidaan lisäksi havaita, että

  • funktio muuttuu voimakkaammin kohdassa \(x = 2\) kuin kohdassa \(x = -1\),
  • muutos on yhtä voimakasta kohdissa \(x = -2\) ja \(x = 2\), mutta muutoksen suunta on erilainen.

Ohessa on derivaattafunktion \(f'( x ) = 2x\) kuvaaja.

../_images/derivaatan-kuvaaja.svg

Kuvaajasta nähdään muun muassa seuraavia alkuperäiseen funktioon \(f( x ) = x^2\) liittyviä asioita. Koska funktion derivaatta eli muutosnopeus on

  • negatiivinen, kun \(x < 0\), niin funktion \(f\) tangentit ovat laskevia suoria eli käyrä \(f\) on vähenevä.
  • positiivinen, kun \(x > 0\), niin funktion \(f\) tangentit ovat laskevia suoria eli käyrä \(f\) on nouseva.
  • nolla, kun \(x = 0\), niin funktion \(f\) tangentit ovat vaakasuorassa.

Koska kohdassa \(x = 0\) derivaatan merkki muuttuu, on tässä kohtaa funktion \(f\) huippukohta. Palaamme tähän myöhemmin luvussa Funktion tutkiminen derivaatan avulla.

Edelleen koska derivaatan arvo suurenee kohdasta \(x = 0\) oikealle mentäessä, niin käyrä \(f\) jyrkkenee. Vastaavasti derivaatan itsesarvo suurenee kohdasta \(x = 0\) vasemmalle mentäessä, niin käyrä \(f\) jyrkkenee myös vasemmalle mentäessä.

Palautusta lähetetään...