\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Derivaatta

Derivaatta-käsitteeseen liittyvää matematiikan osa-aluetta kutsutaan differentiaalilaskennaksi. Differentiaalilaskennalla on merkittävä rooli fysiikassa, kemiassa, tekniikassa ja taloustieteessä.

Sana derivaatta merkitsee johdannaista. Derivoimalla johdetaan tutkittavasta funktiosta uusi funktio, jonka avulla voidaan tutkia alkuperäisen funktion ominaisuuksia. Derivaatan avulla voidaan selvittää, miten tietty funktio käyttäytyy muuttujan eri arvoilla. Näin ollen derivaattaa voidaan hyödyntää funktion kuvaajan piirtämisessä silloin, kun kuvaajan muotoa ei ennakolta tiedetä. Yksi derivaatan keskeisimmistä sovelluksista on nk. ääriarvotehtävien ratkaiseminen. Sen avulla voidaan selvittää milloin tietty suure saa suurimman (tai pienimmän) arvonsa. Näin voidaan esimerkiksi pyrkiä maksimoimaan liiketoiminnasta saatavaa voittoa tai rakenteen lujuutta rakennustekniikassa. Tekniikassa monet suureet ovat luonteeltaan toisten suureiden derivaattoja. Näin ollen derivaatan avulla voidaan muodostaa toisista suureista uusia suureita.

Kuvaavampi nimitys derivaatalle on funktion muutosnopeus, sillä derivaatta kertoo millä nopeudella funktion arvot kasvavat tai vähenevät. Derivaatta johdetaan funktion tietyn välin keskimääräisestä muutosnopeudesta, jonka arvosta määritetään raja-arvon avulla muutosnopeus yhdessä kohtaa. Tämä tapahtuu siten, että muodostetaan käyrälle sekantti (suora kahden käyrän pisteen kautta) ja sitten “liikutetaan” toinen pisteistä “tosi lähelle” toista. Raja-arvona saadaan käyrän tangentti, jonka kulmakerroin graafisesti tulkittuna on funktion derivaatta.

Sanaa derivaatta käytetään Suomessa sekä funktion derivaatan arvon että sen derivaattafunktion synonyyminä. Derivointi on keino “operaatio” laskea funktion derivaatta eli muutosnopeus. Derivaatta kertoo yksinkertaisimmillaan funktion jyrkkyyden eli muutosnopeuden.

Esimerkki 2.1.1

Tarkastellaan suoraviivaista liikettä. Merkitään \(s(t) =\) “kappaleen sijainti hetkellä \(t\)“. Tällöin kappaleen keskinopeus \(v_k\) aikavälillä \([t, t + \Delta t]\) voidaan laskea kaavalla

\[v_k = \frac{\text{siirtymä}}{\text{kulunut aika}} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s( t + \Delta t ) - s( t ) }{\Delta t}.\]

Graafisesti tulkittuna keskinopeutta kuvaa käyrälle \(y = s(t)\) piirretyn sekantin kulmakerroin.

../_images/kappaleen-liike1.svg

Miten saadaan selvitetyksi kappaleen hetkellinen nopeus \(v(t)\) eli nopeus hetkellä \(t\)?

Lähtökohtana on, että keskinopeuden kaavalla saadaan likiarvoja hetkelliselle nopeudelle lyhentämällä tarkastelujakson \(\Delta t\) pituutta. Likiarvot ovat sitä parempia, mitä lähempänä \(\Delta t\) on lukua nolla. Tarkka arvo on raja-arvo

\[v( t ) = \lim_{\Delta t \to 0} v_k = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s( t + \Delta t ) - s( t ) }{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t},\]

jota merkitään \(\frac{\d s}{\d t}\) tai \(s'(t)\) ja kutsutaan sijainnin derivaataksi (muutosnopeudeksi) ajan suhteen. Graafisesti tulkittuna hetkellistä nopeutta kuvaa käyrälle \(y = s(t)\) piirretyn tangentin kulmakerroin.

../_images/kappaleen-liike2.svg

Derivaatan määritelmä

Määritelmä 2.1.2

Tarkastellaan funktiota \(f\) ja oletetaan, että se on määritelty välillä \([x, x + \Delta x]\). Tällöin funktion keskimääräinen muutosnopeus välillä \([x, x + \Delta x]\) on

\[\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\text{funktion } f \text{ arvon muutos}}{\text{muuttujan } x \text{ muutos}} = \frac{f( x + \Delta x ) - f( x ) }{\Delta x},\]

josta käytetään nimitystä erotusosamäärä.

Alla graafinen tulkinta erotusosamäärälle.

../_images/erotusosm-geom1.svg

Erotusosamäärän avulla voidaan määritellä funktion hetkellinen nopeus. Erotusosamäärän eli keskinopeuden kaavasta saadaan sitä parempia likiarvoja hetkelliselle nopeudelle, mitä lähempänä \(x + \Delta x\) on lukua \(x\) eli mitä lähempänä \(\Delta x\) on lukua nolla. Hetkelliselle muutosnopeudelle voidaan seuraavan määritelmän avulla laskea tarkka arvo kohdassa \(x\).

Määritelmä 2.1.3

Olkoon funktio \(f\) määritelty välillä \(I\) ja \(x\) on kyseisen välin jokin piste. Jos raja-arvo

\[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f( x + \Delta x ) - f( x ) }{\Delta x}\]

on olemassa, niin funktio on derivoituva kohdassa \(x\). Tätä erotusosamäärän raja-arvoa kutsutaan derivaataksi kohdassa \(x\) ja merkitään

\[\frac{\d f}{\d x} \quad \text{tai} \quad f'( x ).\]

Derivaatta kuvaa funktion \(f\) arvojen \(f( x )\) tarkkaa muutosnopeutta kohdassa \(x\) eli hetkellistä muutosnopeutta.

Derivaatan graafinen tulkinta on funktion kohtaan \(x_0\) piirretyn tangentin kulmakerroin. Jatkossa jos ei erikseen mainita, niin voimme olettaa funktion olevan määritelty sopivalla määritelmän mukaisella tarkasteluvälillä.

../_images/erotusosm-geom2.svg

Toki derivaattaa voidaan arvioida likiarvoilla, mikäli käyrä ei ole tiedossa, kuten seuraavassa esimerkissä havainnollistetaan.

Esimerkki 2.1.4

Alla oleva käyrä \(y = T(t)\) esittää auton sisälämpötilan nousua, kun auton lämmityslaite käynnistetään talvipakkasella. Selvitä kuvaajan avulla seuraavat likiarvot.

../_images/liki-auto1.svg
  1. Lämpötilan keskimääräinen muutosnopeus aikavälillä \(\SI{10}{\minute} - \SI{30}{\minute}\).
  2. Lämpötilan keskimääräinen muutosnopeus aikavälillä \(\SI{10}{\minute} - \SI{40}{\minute}\).
  3. Lämpötilan muutosnopeus hetkellä \(t = \SI{15}{\minute}\).
Ratkaisu
  1. Keskimääräinen muutosnopeus aikavälillä \(\SI{10}{\minute} - \SI{20}{\minute}\) on kaavalla

    \[\frac{\Delta T}{\Delta t} = \frac{T( \SI{30}{\minute} ) - T( \SI{10}{\minute} ) }{\SI{30}{\minute} - \SI{20}{\minute}} = \frac{\SI{15}{\degreeCelsius} - \SI[per-mode=fraction,output-decimal-marker={,}]{2.5}{\degreeCelsius}}{\SI{20}{\minute}} =\SI[per-mode=fraction,output-decimal-marker={,}]{0.625}{\degreeCelsius\per\minute}\]

    tai graafisesti tulkittuna sekantin kulmakerroin suorakulmaisesta kolmiosta.

    ../_images/liki-auto2.svg
  2. Keskimääräinen muutosnopeus aikavälillä \(\SI{10}{\minute} - \SI{40}{\minute}\) on

    \[\frac{\Delta T}{\Delta t} = \frac{T( \SI{40}{\minute} ) - T( \SI{10}{\minute} ) }{\SI{40}{\minute} - \SI{10}{\minute}} = \frac{\SI[per-mode=fraction,output-decimal-marker={,}]{17.5}{\degreeCelsius} - \SI[per-mode=fraction,output-decimal-marker={,}]{2.5}{\degreeCelsius}}{\SI{30}{\minute}} = \SI[per-mode=fraction,output-decimal-marker={,}]{0.5}{\degreeCelsius\per\minute}.\]

    Vastaavasti kuin edellisessä kohdassa, tämänkin voisi tulkita sekantin kulmakertoimena.

    ../_images/liki-auto3.svg
  3. Lämpötilan muutosnopeus eli derivaatta hetkellä \(t = \SI{15}{\minute}\) on käyrälle kohtaan \(t = \SI{15}{\minute}\) asetetun tangentin kulmakerroin.

    ../_images/liki-auto4.svg
    \[T'( \SI{15}{\minute} ) = \frac{\d T}{\d t}( \SI{15}{\minute} ) \approx \frac{\SI{18}{\degreeCelsius}}{\SI{24}{\minute}} = \SI[per-mode=fraction,output-decimal-marker={,}]{0.75}{\degreeCelsius\per\minute}.\qedhere\]

Huomautus 2.1.5

Monet tekniikassa esiintyvät suureet määritellään derivaattoina. Ohessa mainittu näistä muutamia.

  • Hetkellinen nopeus on sijainnin muutosnopeus eli sijainnin derivaatta ajan suhteen, merkitään

    \[v = \frac{\d s}{\d t} \quad \text{tai} \quad v( t ) = s'( t ).\]
  • Hetkellinen kiihtyvyys on nopeuden muutosnopeus eli derivaatta ajan suhteen, merkitään

    \[a = \frac{\d v }{\d t} \quad \text{tai} \quad a( t ) = v'( t ).\]
  • Teho on energian muutosnopeus aikayksikössä, merkitään

    \[P = \frac{\d W}{\d t} \quad \text{tai} \quad P( t ) = W'( t ).\]
  • Virran voimakkuus hetkellä \(t\) on sähkövarauksen muutosnopeus hetkellä \(t\), merkitään

    \[i = \frac{\d q }{\d t} \quad \text{tai} \quad i( t ) = q'( t ).\]
  • Lämpökapasiteetti on lämpömäärän muutos lämpötilan suhteen, merkitään

    \[C = \frac{\d Q}{\d T} \quad \text{tai} \quad C( T ) = Q'( T ).\]
  • Leikkausvoima on taivutusmomentin muutosnopeus kohdassa \(x\), merkitään

    \[V = \frac{\d M}{\d x} \quad \text{tai} \quad V( x ) = M'( x ).\]

Lisäksi derivaatalle löytyy erinäisiä muita merkintöjä kirjallisuudessa. Muita tunnettuja vaihtoehtoisia tapoja ovat

\[D f \quad \text{ja} \quad D_x f.\]

Huomaa lisäksi, että derivaatta on uusi suure, joten sillä on sovelluksissa myös yksikkö. Yksikkö näkyy derivaatan määritelmästä. Määritelmän perusteella

\[\text{Derivaatan yksikkö} = \frac{\text{funktion } f \text{ yksikkö}}{\text{muuttujan } x \text{ yksikkö}}.\]

Käyrän kaltevuus tietyssä pisteessä ilmoitetaan tangentin kulmakertoimen avulla, joka saadaan siis derivaatan avulla.

Palautusta lähetetään...