\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Korkeammat derivaatat

Jos derivoituvan funktion \(f\) derivaatta \(f'\) on sekin derivoituva, niin derivaattaa \(D(f'(x))\) kutsutaan funktion \(f\) toiseksi derivaataksi ja merkitään

\[f''(x)=f^{(2)}(x)=D(f'(x)) = \frac{\d^2 f}{\d x^2}.\]

Vastaavasti määritellään \(f\):n kolmas derivaatta

\[f^{(3)}(x)=D(f''(x)) = \frac{\d^{3} f}{\d x^3},\]

ja yleisesti \(n\):s derivaatta

\[f^{(n)}(x)=D(f^{(n-1)}(x)) = \frac{\d^{n}f}{\d x^n}.\]

Esimerkki 2.4.1

Lasketaan funktion \(f(x)=x^3+x^{3/2}\) neljä ensimmäistä derivaattaa.

\[\begin{split}\begin{aligned} f'(x)&=3x^2+\frac32x^{1/2}\\ f''(x)&=6x+\frac34x^{-1/2}\\ f^{(3)}(x)&=6-\frac38x^{-3/2}\\ f^{(4)}(x)&=\frac{9}{16}x^{-5/2} \end{aligned}\end{split}\]

Esimerkki 2.4.2

Hetkellinen kiihtyvyys on nopeuden derivaatta ajan suhteen

\[a( t ) = v'( t ) = \frac{\d v}{\d t}.\]

Toisaalta hetkellinen nopeus on sijainnin derivaatta ajan suhteen

\[v( t ) = s'( t ) = \frac{\d s}{\d t}.\]

Näin ollen hetkellinen kiihtyvyys voidaan ilmoittaa sijainnin avulla kaavalla

\[a( t ) = D[s'( t ) ] = s''( t ) = \frac{\d^2 s}{\d t^2}\]

eli kiihtyvyys on sijainnin toinen derivaatta.

Esimerkki 2.4.3

Lujuusopissa käsiteltävät taipumaviivan yhtälöt, esimerkiksi

\[y = \frac{PL^3}{180EI}\left[ 3\left( \frac{3}{L} \right)^{5} - 10 \left( \frac{x}{L} \right)^3 + 7 \cdot \frac{x}{L} \right],\]

johdetaan lähtien muuttujan \(y\) neljännestä derivaatasta.

Tätä korkeammilla derivaatoilla ei ole vastaavia helposti nähtäviä graafisia tulkintoja. Jos tarkastellaan kahta funktiota jonkin niiden yhteisen pisteen läheisyydessä, todetaan, että näiden funktioiden kuvaajat ovat sitä lähempänä toisiaan, mitä useampi peräkkäinen derivaatta niillä on sama kyseisessä tarkastelupisteessä. Korkeampia derivaattoja apuna käyttäen voidaan johtaa potenssisarjoja (nk. Taylorin sarja), joiden avulla voidaan approksimoida hankalampia funktioita. Laskimet ja tietokoneet hyödyntävät näitä sarjoja esimerkiksi trigonometristen funktioiden arvoja laskiessaan. Oheisessa kuvasarjassa on näytetty, miten sinifunktioita voidaan approksimoida polynomeilla. Tarkastelukohta on \(x = 0\).

Käyrällä \(y = \sin(x)\) ja kuvan polynomilla \(x\) tarkastelukohdassa funktion arvot sekä ensimmäisen derivaatan arvot ovat samat.

../_images/sin-approx1.svg

Käyrällä \(y = \sin( x )\) ja kuvan polynomilla \(x - \frac{1}{6}x^3\) tarkastelukohdassa funktion arvot sekä 1.-3. derivaatan arvot ovat samat.

../_images/sin-approx2.svg

Käyrällä \(y = \sin( x )\) ja kuvan polynomilla \(x - \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{120}x^{5}\) tarkastelukohdassa funktion arvot sekä 1.-5. derivaatan arvot ovat samat.

../_images/sin-approx3.svg

Käyrällä \(y = \sin( x )\) ja kuvan polynomilla \(x - \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{120}x^{5} - \frac{1}{5040}x^{7}\) tarkastelukohdassa funktion arvot sekä 1.-7. derivaatan arvot ovat samat.

../_images/sin-approx4.svg
Palautusta lähetetään...