\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Peruskäsitteitä

Tarkastellaan seuraavaa kuvaajaa.

../_images/tamk-funktion-tutkiminen.svg
  1. Aidosti kasvavalle funktiolle pätee:
    • Kuvaajalle piirretyt tangentit ovat nousevia suoria. Kuvaajassa voi olla myös yksittäisiä kohtia, joissa tangentti on vaakasuora. Näitä kohtia kutsutaan terassikohdiksi.
    • Tangentin kulmakerroin \(k_T \ge 0\).
  2. Aidosti vähenevälle funktiolle pätee:
    • Kuvaajalle piirretyt tangentit ovat laskevia suoria. Vastaavasti kuvaajassa voi olla yksittäisiä kohtia, joissa tangentti on vaakasuora.
    • Tangentin kulmakerroin \(k_T \le 0\).
  3. “Huippupisteissä” eli ääriarvopisteissä funktiolle pätee:
    • Kasvusuunta muuttuu.
    • Kuvaajalle piirretyt tangentit ovat vaakasuoria eli tangentin kulmakerroin on nolla.
  4. Kärkipisteeseen ei voida piirtää yksikäsitteisesti tangenttia, joten tangentin kulmakerrointa ei voida määrittää.

Funktion käyttäytymistä voi siis tutkia käyrälle piirretyistä tangenteista. Toisaalta derivaatan avulla lasketaan käyrän tangentin kulmakertoimia. Näin ollen funktion käyttäytymisen tutkiminen voidaan tehdä täsmällisesti derivaatan avulla sen arvoa tutkimalla.

Lause 4.1.1

Derivaatan avulla nähdään seuraavia asioita funktion kulusta eli käyrän muodosta. Oletetaan, että funktio \(f\) on jatkuva välillä \([a,b]\) ja \(x \in [a,b]\). Tällöin

  • funktio on aidosti kasvava kun \(f'( x ) > 0\),
  • funktio on aidosti vähenevä kun \(f'( x ) < 0\),
  • ääriarvopisteissä \(f'( x ) = 0\) ja derivaatan merkki muuttuu,
  • terassipisteissä \(f'( x ) = 0\) ja derivaatan merkki ei muutu,
  • “kärkipisteissä” tai pisteissä joissa tangentti on pystysuora \(f'( x )\) ei ole olemassa,
  • lokaalit ääriarvokohdat ovat kohdissa, joissa derivaatan merkki muuttuu ja funktio on jatkuva kyseisessä pisteessä.

Määritelmä 4.1.2

Pistettä \(x_0\), jossa \(f'( x_0 ) = 0\) tai jossa \(f\) ei ole derivoituva, kutsutaan funktion \(f\) kriittiseksi pisteeksi.

Kun tarkastellaan jotain ilmiötä, jota voidaan kuvata funktiolausekkeella, niin tarkasteluissa olennaisena osana on tämän ilmiön eli funktion kuvaaja. Kuvaajasta voidaan nähdä esimerkiksi juuri funktion ääriarvot.

Palautusta lähetetään...