\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Sanallisia ääriarvotehtäviä

Lopuksi tarkastellaan joitakin sellaisia ääriarvotehtäviä, joissa funktiota ja tarkasteluväliä ei ole suoraan annettu, vaan ongelma pitää pystyä itse ensin kirjoittamaan matemaattiseen muotoon.

Esimerkki 4.3.1

Pellistä valmistetaan suorana ympyrälieriön muotoinen kanneton asia, jonka tilavuus on \(1\) litra. Miten purkin mitat on valittava (pohjaympyrän halkaisija ja korkeus), jotta peltiä kuluisi mahdollisimman vähän?

Ratkaisu

Peltimäärä lasketaan kaavalla

\[A = \pi r^2 + 2 \pi rh.\]

Koska alan lausekkeessa esiintyy kaksi muuttujaa, niin on toinen pystyttävä lausumaan toisen avulla, jotta päästään yhteen muuttujaan. Käytetään apuna tehtävässä annettua purkin tilavuutta, josta saadaan korkeus \(h\) lausuttua säteen \(r\) avulla seuraavasti.

\[V = \pi r^2 h \Leftrightarrow \pi r^2 h = \SI{1}{\deci\meter^3} \Leftrightarrow h = \frac{\SI{1}{\deci\meter^3}}{\pi r^2}\quad \text{(jättämällä yksiköt pois } h = \frac{1}{\pi r^2} \text{)}.\]

Sijoitetaan tämä muuttujan \(h\) lauseke alla olevaan kaavaan

\[A = \pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{1}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{2}{r}.\]

Tehtävä on siis määrittää funktion

\[A( r ) = \pi r^2 + \frac{2}{r} = \pi r^2 + 2 r^{-1}\]

pienin arvo, kun \(r > 0\).

Funktio \(A\) on jatkuva ja derivoituva, kun \(r > 0\). Laaditaan funktiolle kulkukaavio välille \(] 0, \infty [\). Funktion \(A\) derivaatta on

\[A'( r ) = \pi \cdot 2r + 2\cdot ( -1 ) \cdot r^{-2} = 2\pi r - \frac{2}{r^2}.\]

Haetaan derivaatan nollakohdat.

\[\begin{split}\begin{aligned} &2\pi r - \frac{2}{r^2} = 0 \\ \Leftrightarrow\quad &2\pi r^3 - 2 = 0 \\ \Leftrightarrow\quad &r^3 = \frac{1}{\pi} \\ \Leftrightarrow\quad &r = \sqrt[3]{\frac{1}{\pi}} = \num[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.682\dots} .\end{aligned}\end{split}\]

Laaditaan kulkukaavio.

../_images/funktion-kulkukaavio4.svg

Siis funktio \(A\) saa pienimmän arvonsa, kun purkin pohjan säde on \(\SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.682\dots}{\deci\meter}\). Tällöin purkin pohjan halkaisija on

\[d = 2r = 2 \cdot \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.682\dots}{\deci\meter} \approx \SI[output-decimal-marker={,}]{1.37}{\deci\meter}\]

ja purkin korkeus on

\[h = \frac{\SI{1}{\deci\meter\cubed}}{\pi r^2} = \frac{\SI[input-protect-tokens=\dots]{1}{\deci\meter\cubed}}{\pi ( \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.682\dots}{\deci\meter} )^2 } \approx \SI[output-decimal-marker={,}]{0.68}{\deci\meter}.\]

Siis lopullinen vastaus on, että peltiä kuluu mahdollisimman vähän, kun \(d = \SI[output-decimal-marker={,}]{13.7}{\centi\meter}\) ja \(h = \SI[output-decimal-marker={,}]{6.8}{\centi\meter}\).

Palautusta lähetetään...