\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Laajennuksia: äärettömyys raja-arvona ja raja-arvo äärettömyydessä

Piirretään funktion \(f(x)=\frac{1}{x}\) kuvaaja.

../_images/ulla_1_x.svg

Kohdassa \(x=0\) funktiota ei voida määritellä ja kuvaaja katkeaa.

Määritelmä 1.4.1

Raja-arvojen kohdalla funktion arvojen kasvaessa rajoittamattomasti, funktion raja-arvoa voidaan merkitä ääretön-merkillä \(\infty\).

Toisaalta funktion arvot lähestyvät nollaa kun \(x\) kasvaa suureksi. Funktiolle saadaan seuraavat raja-arvon laajennukset:

\[\begin{split}\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow 0+}\frac{1}{x}&=\infty, &&& \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{x}&=0 \\ \lim_{x\rightarrow 0-}\frac{1}{x}&=-\infty, &&& \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x}&=0. \end{aligned}\end{split}\]

Esimerkki 1.4.2

../_images/laajennuksia-yhdessa.svg

Vasemmanpuoleisen kuvan perusteella voidaan päätellä

\[\lim_{x\rightarrow -1-}u(x)=\infty, \quad \lim_{x\rightarrow -1+}u(x)=-\infty, \quad \lim_{x\rightarrow -1}u(x) \text{ ei voi määritellä},\quad \lim_{x\rightarrow \infty}u(x)=2.\]

Oikeanpuoleisesta kuvasta taas päätellään funktion \(v\) raja-arvot

\[\lim_{x\rightarrow -1-}v(x)=\infty, \quad \lim_{x\rightarrow -1+}v(x)=\infty, \quad \lim_{x\rightarrow -1}v(x)=\infty, \quad \lim_{x\rightarrow \infty}v(x)=3.\]

Nollalla jako raja-arvolausekkeessa

Jos osamäärässä osoittaja lähestyy vakioarvoa \(\not=0\) ja nimittäjä lähestyy nollaa, niin on syytä kiinnittää huomiota nimittäjän merkkiin, sillä se määrää osamäärän merkin!

Esimerkki 1.4.3

Tarkastellaan raja-arvoa

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{5-x}{x^2}.\]

Jos sijoittaa \(x\):lle arvon \(0\), saa osamäärä muodon \(\frac{5-0}{0^2}\) eli lähestytään ääretöntä siten, että nimittäjä on aina suurempi kuin \(0\). Niinpä

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{5-x}{x^2}=\infty.\]

Esimerkki 1.4.4

Raja-arvoa

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{5-x}{x^3}\]

ei voi määrittää, sillä nimittäjä on joko positiivinen tai negatiivinen lähestyttäessä nollaa oikealta tai vasemmalta.

Toispuoliset raja-arvot:

\[\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{5-x}{x^3}=\infty \qquad\text{ja}\qquad \lim_{x\rightarrow 0-}\frac{5-x}{x^3}=-\infty.\]

Rationaalifunktion raja-arvo äärettömyydessä

Rationaalifunktio on kahden polynomin osamäärä

\[\frac{p_m (x)}{q_n (x)},\]

jossa ala-indeksit \(m\) ja \(n\) ovat polynomien asteluvut. Jos laskettavana on raja-arvo

\[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{p_m (x)}{q_n (x)},\]

niin ohjeena

  • jaa sekä osoittaja että nimittäjä (kaikki termit) korkeimmalla \(x\):n potenssilla (joko \(x^m\) tai \(x^n\)),
  • anna tämän jälkeen \(x\):n lähestyä ääretöntä, jolloin useimmat termit \(\rightarrow 0\),
  • määritä raja-arvo.

Esimerkki 1.4.5

Tarkastellaan raja-arvoa

\[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{5x^4-2x^2-4}{2x^4-3x+4}.\]

Korkein potenssi on tässä \(x^4\), joten

\[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{5x^4-2x^2-4}{2x^4-3x+4}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{5-\frac{2}{x^2}-\frac{4}{x^4}}{2-\frac{3}{x^3}+\frac{4}{x^4}}=\frac{5-0-0}{2-0-0}=\frac{5}{2}.\]

Esimerkki 1.4.6

Tarkastellaan raja-arvoa

\[\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{7x^5-2x^2}{2x^4-3x^2+4}.\]

Korkein potenssi on tässä \(x^5\), joten

\[\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{7x^5-2x^2}{2x^4-3x^2+4}=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{7-\frac{2}{x^3}}{\frac{2}{x}-\frac{3}{x^3}+\frac{4}{x^5}}=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{7}{\frac{2}{x}}=-\infty.\]

Funktioiden kasvunopeuksia äärettömyydessä

  • Eksponenttifunktio kasvaa nopeammin kuin mikään potenssifunktio

    \[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{e^{ax}}{x^b}=\infty,\qquad \text{kun } a \text{ ja } b > 0.\]
  • Logaritmifunktio kasvaa hitaammin kuin mikään potenssifunktio

    \[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^b}{\ln x}=\infty,\qquad \text{kun } b>0.\]
  • Kasvunopeuksien mukaan “suuruusjärjestys” on siis

    1. eksponenttifunktio,
    2. potenssifunktio (ja polynomit),
    3. logaritmifunktio.

Raja-arvoja nollassa:

\[\lim_{x\rightarrow 0+}\ln x =-\infty,\qquad\text{mutta}\qquad \lim_{x\rightarrow 0+} x^b\ln x =0,\ \text{kun } b>0.\]

Esimerkki 1.4.7

\[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{3e^{0,5x}}{5x^{100}}=\infty \qquad\text{ja}\qquad \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{3e^{-0,5x}}{5x^{100}}=0.\]
\[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{-3e^{0,5x}}{5x^{100}}=-\infty \qquad\text{ja}\qquad \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\ln 2x}{5x^3}=0.\]
\[\lim_{x\rightarrow 0+}\sqrt{x}\ln x=0 \text{ (kokeile numeerisesti!)}.\]
Palautusta lähetetään...