\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Raja-arvon laskeminen, erityisesti rationaalifunktioille

Seuraavat ohjeet pätevät aina kun raja-arvo pitäisi laskea funktion lausekkeesta:

  • Yritä aina ensin suoraa sijoitusta!
  • Vain, jos sijoitus tuottaa epämääräisen muodon \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\infty-\infty\), \(0\cdot\infty\) tai \(\frac{a}{0}\), tarvitaan lisätarkasteluja

Esimerkki 1.3.1

\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}\sqrt{4x^4-4}=\sqrt{4\cdot2^4-4}=\sqrt{60}=\sqrt{4\cdot 15}=2\sqrt{15}.\)

Rationaalifunktio on kahden polynomin osamäärä \(\frac{p(x)}{q(x)}\). Jos laskettavana on raja-arvo \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{p(x)}{q(x)}\), ja suora sijoitus tuottaa muodon \(\frac{0}{0}\), niin silloin \(x_0\) on molempien polynomien juuri.

Ohje 1.3.2 (Rationaalifunktion raja-arvo supistamalla)

  1. Jaa sekä osoittaja että nimittäjä tekijöihin.
  2. Supista yhteiset tekijät.
  3. Laske jäljelle jääneen lausekkeen arvo sijoittamalla \(x=x_0\).

Esimerkki 1.3.3

Lasketaan

\[\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2-5x+4}{x^2-4x}=\frac{1^2-5\cdot 1+4}{1^2-4\cdot 1}=\frac{0}{-3}=0\qquad \text{vastaus suoraan sijoittamalla.}\]

Kuitenkin

\[\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^2-5x+4}{x^2-4x}= \frac{0}{0}\qquad \text{epämääräinen muoto.}\]

Jälkimmäisessä tarvitaan siis osoittajan ja nimittäjän tekijöihin jako, sillä \(4\) on molempien nollakohta:

\[x^2-4x=x(x-4) \qquad\text{ja}\qquad x^2-5x+4=(x-4)(x-1).\]

Osoittajan tekijöihinjako onnistui ottamalla yhteinen tekijä, mutta nimittäjän tekijät saadaan selville ratkaisemalla sen nollakohdat. Raja-arvo saadaan seuraavasti:

\[\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^2-5x+4}{x^2-4x}=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{(x-4)(x-1)}{x(x-4)}=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x-1}{x}=\frac{4-1}{4}=\frac{3}{4}.\]

Ohje 1.3.4 (Keinoja polynomien tekijöihinjakoon)

  • Yhteinen tekijä

  • Binomikaavat sekä summan ja erotuksen tulo

  • Polynomin nollakohdat (CAS-laskimessa komento factor): Jos toisen asteen yhtälön \(ax^2+bx+c=0\) reaalijuuret ovat \(x_1\) ja \(x_2\), niin

    \[ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\]

Esimerkki 1.3.5

Suoraan sijoittamalla

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^3+7x}{2x^3-2x^2-4x}= \frac{0}{0} \qquad \text{epämääräinen muoto.}\]

Tekijöihinjako tuottaa seuraavan osamäärän:

\[\frac{x^3+7x}{2x^3-2x^2-4x}=\frac{x(x^2+7)}{2x(x-2)(x+1)}=\frac{x^2+7}{2(x-2)(x+1)}.\]

Sijoittamalla tähän \(0\), saadaan raja-arvoksi

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^3+7x}{2x^3-2x^2-4x}=\frac{0^2+7}{2\cdot(0-2)\cdot(0+1)}=\frac{7}{-4}=-\frac{7}{4}.\]
Palautusta lähetetään...