$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$

# Raja-arvon käsite¶

Funktiolla voi olla sellaisia kohtia, joissa sen arvoa ei voida määrittää suoraan. Tällainen tilanne on esim. silloin kun funktion lauseketta ei voi laskea pisteessä $$x=x_0$$. Esimerkiksi funktion

$f(x)=\frac{x+2}{4-x^2}$

arvoa ei voi suoraan laskea pisteessä $$x=-2$$, sillä sekä osoittajasta että nimittäjästä tulee $$0$$ pisteessä $$x=-2$$, eikä osamäärän $$\frac{0}{0}$$ arvoa voi määritellä.

Jos taas funktio on annettu kuvaajan avulla, sen kuvaaja voi katketa tai olla määrittelemätön pisteessä $$x_0$$. Alla olevassa esimerkissä ongelmallinen piste on $$x_0=2$$.

Molemmissa tapauksissa voidaan kuitenkin tarkastella funktion käyttäytymistä pisteen $$x_0$$ lähellä. Koska funktion arvoja voidaan tutkia pisteen $$x=x_0$$ molemmilla puolilla ts. se on määritelty pisteen molemmilla puolilla. Sovitaan merkinnät:

• vasemmalta puolelta lähestyttäessä ($$x< x_0$$) merkitään $$x\rightarrow x_0-$$
• oikealta puolelta lähestyttäessä($$x> x_0$$) merkitään $$x\rightarrow x_0+$$
• merkintä $$x\rightarrow x_0$$ eli “$$x$$ lähestyy $$x_0$$:a” pitää sisällään molemmat edelliset

Annetaan seuraavaksi intuitiivinen määritelmä raja-arvolle.

Määritelmä 1.1.1

Jos funktion $$f(x)$$ arvo lähestyy samaa arvoa $$a$$ lähestyttäessä pistettä $$x_0$$ sekä oikealta että vasemmalta, niin sanotaan että funktiolla on raja-arvo $$a$$ kohdassa $$x_0$$. Tätä merkitään

$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=a.$

Merkintä “lim” tulee latinan sanasta limes, joka tarkoittaa rajaa. Merkintä luetaan “$$f$$ lähestyy $$a$$:ta, kun $$x$$ lähestyy $$x_0$$:a” tai “lim $$x$$ lähestyy $$x_0$$:a $$f$$ on $$a$$“.

Mitä “lähestyminen” oikeastaan tarkoittaa? Katsotaan ensin miten asiaa voidaan tutkia numeerisesti.

## Raja-arvo numeerisesti¶

Esimerkki 1.1.2

Tarkastellaan funktiota

$f(x)=\frac{x-\sqrt{3x}}{x-3}.$

Funktio ei ole määritelty kohdassa $$x=3$$, sillä sijoittamalla $$x$$:n paikalle arvo $$3$$, saadaan

$f(3)= \frac{3-\sqrt{9}}{3-3}=\frac{0}{0}.$

Nollalla jakaminen ei ole sallittua, mutta kun lisäksi osamäärän osoittajakin on nolla, lausekkeen arvo on epämääräinen. Tutkitaan funktion arvoja pisteen $$x=3$$ lähellä laskimen avulla. Annetaan $$x$$:lle sekä arvoa $$3$$ pienempiä että suurempia arvoja:

$\begin{split}\begin{array}{l|c} x & f(x) \\\hline \num[output-decimal-marker={,}]{3.1} & \num[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.504098\dots} \\ \num[output-decimal-marker={,}]{3.01} & \num[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.500416\dots} \\ \num[output-decimal-marker={,}]{3.001} & \num[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.500042\dots} \\ \vdots & \vdots \\ \num[output-decimal-marker={,}]{2.999} & \num[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.499958\dots} \\ \num[output-decimal-marker={,}]{2.99} & \num[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.499582\dots} \\ \num[output-decimal-marker={,}]{2.9} & \num[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.495762\dots} \\ \end{array}\end{split}$

Tulosten perusteella funktion arvo näyttäisi lähestyvän arvoa $$\num[output-decimal-marker={,}]{0.5}$$, kun $$x$$ lähestyy arvoa $$3$$. Limes-merkinnällä:

$\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x-\sqrt{3x}}{x-3}=\num[output-decimal-marker={,}]{0.5}.$

Esimerkki 1.1.3

Tarkastellaan samalla tavoin funktiota

$g(x)=\frac{\sin(x)}{x}.$

kohdassa $$x=0$$, jossa saadaan epämääräinen $$\frac{0}{0}$$ muoto. Annetaan $$x$$:lle arvoja nollan molemmin puolin. Laskimessa on muistettava käyttää radiaaneja:

$\begin{split}\begin{array}{l|c} x & g(x) \\\hline \num[output-decimal-marker={,}]{0.1} & \num[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.998334\dots} \\ \num[output-decimal-marker={,}]{0.01} & \num[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.999983\dots} \\ \num[output-decimal-marker={,}]{0.001} & \num[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.999999\dots} \\ \vdots & \vdots \\ \num[output-decimal-marker={,}]{-0.001} & \num[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.999999\dots} \\ \num[output-decimal-marker={,}]{-0.01} & \num[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.999983\dots} \\ \num[output-decimal-marker={,}]{-0.1} & \num[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.998334\dots} \\ \end{array}\end{split}$

Taulukon tulosten perusteella päätellään, että

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x}=1.$

## Raja-arvo graafisesti¶

Piirretään edellisen esimerkin funktion kuvaaja välillä $$[-1, 1]$$.

Kuvaajasta huomataan sama asia kuin numeerisesti laskemalla, että nollan molemmilla puolilla funktion arvo lähestyy arvoa $$1$$. Itse asiassa kuvaajan piirrossa ei ole mitään ongelmaa, ellei piirtämisessä käytetty ohjelma satu laskemaan funktion arvoa juuri täsmälleen pisteessä $$x=0$$.

Palautusta lähetetään...