\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Raja-arvon käsite

Funktiolla voi olla sellaisia kohtia, joissa sen arvoa ei voida määrittää suoraan. Tällainen tilanne on esim. silloin kun funktion lauseketta ei voi laskea pisteessä \(x=x_0\). Esimerkiksi funktion

\[f(x)=\frac{x+2}{4-x^2}\]

arvoa ei voi suoraan laskea pisteessä \(x=-2\), sillä sekä osoittajasta että nimittäjästä tulee \(0\) pisteessä \(x=-2\), eikä osamäärän \(\frac{0}{0}\) arvoa voi määritellä.

Jos taas funktio on annettu kuvaajan avulla, sen kuvaaja voi katketa tai olla määrittelemätön pisteessä \(x_0\). Alla olevassa esimerkissä ongelmallinen piste on \(x_0=2\).

../_images/ulla_epajatkuva.svg

Molemmissa tapauksissa voidaan kuitenkin tarkastella funktion käyttäytymistä pisteen \(x_0\) lähellä. Koska funktion arvoja voidaan tutkia pisteen \(x=x_0\) molemmilla puolilla ts. se on määritelty pisteen molemmilla puolilla. Sovitaan merkinnät:

  • vasemmalta puolelta lähestyttäessä (\(x< x_0\)) merkitään \(x\rightarrow x_0-\)
  • oikealta puolelta lähestyttäessä(\(x> x_0\)) merkitään \(x\rightarrow x_0+\)
  • merkintä \(x\rightarrow x_0\) eli “\(x\) lähestyy \(x_0\):a” pitää sisällään molemmat edelliset

Annetaan seuraavaksi intuitiivinen määritelmä raja-arvolle.

Määritelmä 1.1.1

Jos funktion \(f(x)\) arvo lähestyy samaa arvoa \(a\) lähestyttäessä pistettä \(x_0\) sekä oikealta että vasemmalta, niin sanotaan että funktiolla on raja-arvo \(a\) kohdassa \(x_0\). Tätä merkitään

\[\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=a.\]

Merkintä “lim” tulee latinan sanasta limes, joka tarkoittaa rajaa. Merkintä luetaan “\(f\) lähestyy \(a\):ta, kun \(x\) lähestyy \(x_0\):a” tai “lim \(x\) lähestyy \(x_0\):a \(f\) on \(a\)“.

Mitä “lähestyminen” oikeastaan tarkoittaa? Katsotaan ensin miten asiaa voidaan tutkia numeerisesti.

Raja-arvo numeerisesti

Esimerkki 1.1.2

Tarkastellaan funktiota

\[f(x)=\frac{x-\sqrt{3x}}{x-3}.\]

Funktio ei ole määritelty kohdassa \(x=3\), sillä sijoittamalla \(x\):n paikalle arvo \(3\), saadaan

\[f(3)= \frac{3-\sqrt{9}}{3-3}=\frac{0}{0}.\]

Nollalla jakaminen ei ole sallittua, mutta kun lisäksi osamäärän osoittajakin on nolla, lausekkeen arvo on epämääräinen. Tutkitaan funktion arvoja pisteen \(x=3\) lähellä laskimen avulla. Annetaan \(x\):lle sekä arvoa \(3\) pienempiä että suurempia arvoja:

\[\begin{split}\begin{array}{l|c} x & f(x) \\\hline \num[output-decimal-marker={,}]{3.1} & \num[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.504098\dots} \\ \num[output-decimal-marker={,}]{3.01} & \num[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.500416\dots} \\ \num[output-decimal-marker={,}]{3.001} & \num[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.500042\dots} \\ \vdots & \vdots \\ \num[output-decimal-marker={,}]{2.999} & \num[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.499958\dots} \\ \num[output-decimal-marker={,}]{2.99} & \num[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.499582\dots} \\ \num[output-decimal-marker={,}]{2.9} & \num[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.495762\dots} \\ \end{array}\end{split}\]

Tulosten perusteella funktion arvo näyttäisi lähestyvän arvoa \(\num[output-decimal-marker={,}]{0.5}\), kun \(x\) lähestyy arvoa \(3\). Limes-merkinnällä:

\[\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x-\sqrt{3x}}{x-3}=\num[output-decimal-marker={,}]{0.5}.\]

Esimerkki 1.1.3

Tarkastellaan samalla tavoin funktiota

\[g(x)=\frac{\sin(x)}{x}.\]

kohdassa \(x=0\), jossa saadaan epämääräinen \(\frac{0}{0}\) muoto. Annetaan \(x\):lle arvoja nollan molemmin puolin. Laskimessa on muistettava käyttää radiaaneja:

\[\begin{split}\begin{array}{l|c} x & g(x) \\\hline \num[output-decimal-marker={,}]{0.1} & \num[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.998334\dots} \\ \num[output-decimal-marker={,}]{0.01} & \num[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.999983\dots} \\ \num[output-decimal-marker={,}]{0.001} & \num[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.999999\dots} \\ \vdots & \vdots \\ \num[output-decimal-marker={,}]{-0.001} & \num[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.999999\dots} \\ \num[output-decimal-marker={,}]{-0.01} & \num[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.999983\dots} \\ \num[output-decimal-marker={,}]{-0.1} & \num[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.998334\dots} \\ \end{array}\end{split}\]

Taulukon tulosten perusteella päätellään, että

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x}=1.\]

Raja-arvo graafisesti

Piirretään edellisen esimerkin funktion kuvaaja välillä \([-1, 1]\).

../_images/ulla_sin_x.svg

Kuvaajasta huomataan sama asia kuin numeerisesti laskemalla, että nollan molemmilla puolilla funktion arvo lähestyy arvoa \(1\). Itse asiassa kuvaajan piirrossa ei ole mitään ongelmaa, ellei piirtämisessä käytetty ohjelma satu laskemaan funktion arvoa juuri täsmälleen pisteessä \(x=0\).

Palautusta lähetetään...