$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$

# Toispuoliset raja-arvot¶

Palataan aikaisemman kuvan esimerkkiin, jossa funktiota $$f(x)$$ ei ole määritelty pisteessä $$x=2$$. Jos pistettä lähestytään vasemmalta puolelta, niin funktion arvot lähestyvät arvoa $$\num[output-decimal-marker={,}]{2.5}$$, kun taas oikealta lähestyttäessä lähestytään arvoa $$3$$. Saadaan ns. toispuoleiset raja-arvot eli vasemmanpuoleinen raja-arvo

$\lim_{x\rightarrow 2-}f(x)=\num[output-decimal-marker={,}]{2.5}$

ja oikeanpuoleinen raja-arvo

$\lim_{x\rightarrow 2+}f(x)=3.$

Toispuoleisessa raja-arvossa on siis kysymys siitä, että tarkasteltavaa pistettä lähestytään vain toiselta puolelta. (Funktiolla ei kuitenkaan tässä esimerkissä ole varsinaista raja-arvoa pisteessä $$x=2$$, sillä toispuoleiset raja-arvot ovat eri suuret.)

Yleisesti on voimassa seuraava tulos.

Lause 1.2.1

Jos funktiolla on vasemman- ja oikeanpuoleiset raja-arvot kohdassa $$x_0$$ ja ne ovat yhtä suuret, niin myös varsinainen raja-arvo on olemassa. Vastaavasti jos varsinainen raja-arvo on olemassa, niin funktiolla on yhtä suuret vasemman- ja oikeanpuoleiset raja-arvot kohdassa $$x_0$$. Toisin sanoen

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0-}f(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0+}f(x)=a \quad \Leftrightarrow \quad \displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=a.$

Esimerkki 1.2.2

Vasemmanpuoleisen kuvan perusteella voidaan päätellä

$\lim_{x\rightarrow 3-}h(x)=-2, \qquad \lim_{x\rightarrow 3+}h(x)=0, \qquad \lim_{x\rightarrow 3}h(x) \text{ ei voi määritellä.}$

Oikeanpuoleisesta kuvasta taas päätellään funktion $$k$$ raja-arvot

$\lim_{x\rightarrow 1-}k(x)=4, \qquad \lim_{x\rightarrow 1+}k(x)=1, \qquad \lim_{x\rightarrow 1}k(x) \text{ ei voi määritellä.}$

Huomautus 1.2.3

Määritettäessä raja-arvoa pisteessä $$x=x_0$$ ei ole väliä sillä, onko funktio määritelty pisteessä $$x=x_0$$ – vain funktion käyttäytyminen pisteen läheisyydessä merkitsee!

Myöhemmin määrittelemme funktion jatkuvuuden ja voidaan yleisesti todistaa seuraava lause.

Lause 1.2.4

Jos funktion $$f$$ kuvaaja on jatkuva pisteessä $$x=x_0$$, sen raja-arvo kyseisessä pisteessä on sama kuin sen arvo $$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$$.

Esimerkiksi edellisessä esimerkissä $$\lim\limits_{x\rightarrow -1}k(x)=0$$.

Huomautus 1.2.5

Kaikilla funktioilla ei ole edes toispuoleista raja-arvoa tietyssä kohdassa. Esimerkki tällaisesta funktiosta on $$\sin\frac{1}{x}$$ kohdassa $$x=0$$. Funktiolla ei ole oikean- eikä vasemmanpuolista raja-arvoa nollassa. Asia selviää kuvaajasta. Yritä piirtää kuvaaja myös omalla laskimellasi.

Palautusta lähetetään...