\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Derivaatta muutosnopeutena ja differentiaali

Kuten aikaisemmin todettiin, funktion muutosnopeuden määrittämiseen on monta tapaa. Nyt kun derivointikaavojen säännöt tunnetaan muutosnopeus voidaan määritellä täsmällisesti mikäli derivoitava funktio tunnetaan täsmällisesti. Aloitetaan johdattelevalla esimerkillä.

Esimerkki 3.3.1

Tarkastellaan graafisesti aikaisemman esimerkin 2.1.4 auton sisälämpötilan keskimääräistä ja hetkellistä muutosnopeutta, kun lämmityslaite käynnistetään talvipakkasella. Jos havaintoihin sovitetaan käyrä, niin voidaan samoja asioita tutkia symbolisesti. Jos kyseessä on sovitettu käyrä, niin myöskin symbolinen menetelmä on likimääräinen.

Olkoon eräs funktio, joka kuvaa hyvin kyseistä sisälämpötilan muutoksen käyrää \(T(t) = - 32 e^{-\num[output-decimal-marker={,}]{0.055}t} + 21\).

../_images/auton-sisalampotila.svg

Laske

  1. keskimääräinen muutosnopeus aikavälillä \(\SI{10}{\minute} - \SI{20}{\minute}\),
  2. lämpötilan muutosnopeus hetkellä \(t = \SI{10}{\minute}\).
Ratkaisu
  1. Keskimääräinen muutosnopeus aikavälillä \(\SI{10}{\minute} - \SI{20}{\minute}\) on

    \[\frac{\Delta T}{\Delta t} = \frac{T( \SI{20}{\minute} ) - T( \SI{10}{\minute} ) }{\SI{20}{\minute} - \SI{10}{\minute}} = \frac{\SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{10.34\dots}{\degreeCelsius} - \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{2.53\dots}{\degreeCelsius}}{\SI{10}{\minute}} = \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,},per-mode=fraction]{0.781\dots}{\degreeCelsius\per\minute}.\]
  2. Lämpötilan muutosnopeus hetkellä \(t = \SI{15}{\minute}\) saadaan laskemalla funktion dervaatan arvo kohdassa \(t = 10\). Derivoidaan funktio \(T(t) = -32 e^{-\num[output-decimal-marker={,}]{0.055}t} + 21\)

    \[\frac{\d T}{\d t} = \frac{\d}{\d t} ( -32 e^{-\num[output-decimal-marker={,}]{0.055}t} + 21 ) = (-32) \cdot (-\num[output-decimal-marker={,}]{0.055}) \cdot e^{-\num[output-decimal-marker={,}]{0.055}t} = \num[output-decimal-marker={,}]{1.76}\cdot e^{-\num[output-decimal-marker={,}]{0.055}t}.\]

    Sijoitetaan derivaatan lausekkeeseen \(t = 15\)

    \[\frac{\d T}{\d t} ( 15 ) = \num[output-decimal-marker={,}]{1.76} \cdot e^{-\num[output-decimal-marker={,}]{0.055}\cdot 15} = \num[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.7712\dots} \approx \num[output-decimal-marker={,}]{0.77},\]

    jonka yksikkönä on \(\si[per-mode=fraction]{\degreeCelsius\per\minute}\). Lämpötilan muutosnopeus hetkellä \(t = \SI{15}{\minute}\) on näin ollen noin \(\SI[output-decimal-marker={,},per-mode=fraction]{0.77}{\degreeCelsius\per\minute}\). Geometrisesti tämä tarkoittaa, että käyrälle kohtaan \(t = \SI{15}{\minute}\) asetetun tangentin kulmakerroin on noin \(\SI[output-decimal-marker={,},per-mode=fraction]{0.77}{\degreeCelsius\per\minute}\).

../_images/auton-sisalampotila-tangentti.svg

Johdattelevan esimerkin jälkeen voimme tarkastella ongelmaa symbolisemmin.

Tarkastellaan pisteessä \(x_0\) derivoituvaa funktiota \(f\). Derivaatan määritelmän mukaan meillä on approksimaatio

\[f'(x_0) \approx \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \frac{\Delta f}{\Delta x},\]

kun \(\vert \Delta x \vert \approx 0\). Ratkaistaan approksimaatiosta \(\Delta f\). Saadaan

\[\Delta f = f(x_0+\Delta x) - f(x_0) \approx f'(x_0)\Delta x,\]

kun \(\vert \Delta x \vert \approx 0\). Siis, muuttujan \(x\) muutos arvosta \(x_0\) arvoon \(x_0 + \Delta x\), aiheuttaa funktion arvoihin muutoksen, joka on likimain \(f'(x_0)\Delta x\). Lauseketta \(f'(x_0) \Delta x\) kutsutaan differentiaaliksi ja sille käytetään merkintää \(\d f\). Ajatuksena on siis arvioida funktion \(f\) arvojen tarkkaa muutosta differentiaalisella muutoksella, eli symbolein kirjoitettuna

\[\Delta f \approx \d f,\quad\text{kun}\quad \vert \Delta x \vert \approx 0.\]

Tavallisimpia differentiaalin sovelluskohteita ovat virhetarkastelut.

Huomautus 3.3.2

Tarkastellaan funktiota \(f(x) = x\). Tällöin

\[\d x = \d f = f'(x_0) \Delta x = \Delta x.\]

Siis jos \(f\) on mikä tahansa funktio, voidaan differentiaalin antama muutos approksimaatio kirjoittaa myös muodossa

\[\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \approx f'(x_0)\d x, \quad\text{kun}\quad \vert \Delta x \vert \approx 0.\]
Palautusta lähetetään...