\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Sovellettuja esimerkkejä

Esimerkki 3.4.1

Tarkastellaan vielä aikaisemmpaa esimerkkiä 3.3.1, jossa tutkittiin auton sisälämpötilan hetkellistä muutosnopeutta, kun auton lämmityslaite käynnistetään talvipakkasella. Viidentoista minuutin kuluttua käynnistyksestä hetkelliseksi muutosnopeudeksi saatiin

\[\frac{\d T}{\d t} ( 15 ) = \num[output-decimal-marker={,}]{1.76} \cdot e^{-\num[output-decimal-marker={,}]{0.055}\cdot 15} = \num[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.7712\dots} \approx \num[output-decimal-marker={,}]{0.77},\]

jonka yksikkönä on \(\si[per-mode=fraction]{\degreeCelsius\per\minute}\). Differentiaalin avulla tulos voidaan tulkita siten, että jos kohdassa \(t = 15\) ajan arvoa muutetaan hieman. Esimerkiksi arvoon \(15{,}5\), niin lämpötilan \(T\) muutos on suunnilleen

\[\d T = \frac{\d T}{\d t}( \SI{15}{\minute} ) \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{0.5}{\minute} = \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,},per-mode=fraction]{0.7712\dots}{\degreeCelsius\per\minute} \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{0.5}{\minute} = \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.3856\dots}{\degreeCelsius}\]

ja tarkka muutos on

\[\Delta T = T( \SI[output-decimal-marker={,}]{15.5}{\minute} ) - T( \SI[output-decimal-marker={,}]{15.0}{\minute} ) = \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{7.3568\dots}{\degreeCelsius} - \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{6.976\dots}{\degreeCelsius} = \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.380\dots}{\degreeCelsius}\]

eli \(\Delta T \approx \d T\). Kyseiset arvot ovat sitä lähempänä toisiaan mitä pienempi on ajan muutos.

Esimerkki 3.4.2

Kuution tilavuus lasketaan kaavalla \(V( s ) = s^{3}\), missä \(s\) on kuution särmän pituus. Laske \(V'( \SI[output-decimal-marker={,}]{25.0}{\centi\meter})\). Mitä tämä kertoo tilavuuden muutoksesta?

Ratkaisu

Hyödynnetään differentiaalia. Lasketaan derivaaatta. Nyt \(V'( s ) = 3s^{2}\), joten

\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{aligned}\\V'( \SI[output-decimal-marker={,}]{25.0}{\centi\meter} ) &= 3\cdot ( \SI[output-decimal-marker={,}]{25.0}{\centi\meter} )^{2} = \SI{1875}{\centi\meter\squared} .\end{aligned}\end{aligned}\end{align} \]

Tarkastellaan ensin tilavuuden muutosnopeutta särmän pituuden suhteen kohdassa \(s = \SI[output-decimal-marker={,}]{25.0}{\centi\meter}\). Luku \(V'( \SI[output-decimal-marker={,}]{25.0}{\centi\meter} ) = \SI{1875}{\centi\meter\squared}\) kertoo, että särmän muuttuessa \(\SI[output-decimal-marker={,}]{25.0}{\centi\meter}\):stä hiukan esimerkiksi \(\SI[output-decimal-marker={,}]{25.2}{\centi\meter}\):in (eli \(\Delta s = \SI[output-decimal-marker={,}]{0.2}{\centi\meter}\)) tilavuuden muutos on likimäärin

\[\Delta V \approx V'( \SI[output-decimal-marker={,}]{25.0}{\centi\meter} ) \cdot \Delta s = \SI{1875}{\centi\meter\squared} \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{0.2}{\centi\meter} = \SI{375}{\centi\meter\cubed} .\]

Vastaavasti särmän muuttuessa \(\SI[output-decimal-marker={,}]{25.0}{\centi\meter}\):stä \(\SI[output-decimal-marker={,}]{25.05}{\centi\meter}\):in, tilavuuden muutos on likimäärin

\[\Delta V \approx V'( \SI[output-decimal-marker={,}]{25.0}{\centi\meter} ) \cdot \Delta s= \SI{1875}{\centi\meter\squared} \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{0.05}{\centi\meter} = \SI[output-decimal-marker={,}]{93.75}{\centi\meter\cubed}.\]

Tarkat tilavuuden muutokset ovat

\[\Delta V = V( \SI[output-decimal-marker={,}]{25.2}{\centi\meter} ) - V( \SI[output-decimal-marker={,}]{25.0}{\centi\meter} ) = \SI[output-decimal-marker={,}]{16003.008}{\centi\meter\cubed} - \SI{15625}{\centi\meter\cubed} = \SI[output-decimal-marker={,}]{378.008}{\centi\meter\cubed}\]

ja

\[\Delta V = V( \SI[output-decimal-marker={,}]{25.05}{\centi\meter} ) - V( \SI[output-decimal-marker={,}]{25.0}{\centi\meter} ) = \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{15718.937\dots}{\centi\meter\cubed} - \SI{15625}{\centi\meter\cubed} = \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{93.937\dots}{\centi\meter\cubed}.\]

Huomataan, että kaava on sitä tarkempi, mitä pienemmästä muutoksesta on kyse.

Edellisestä esimerkistä saadaan tilavuuden differentiaali

\[\Delta V \approx \d V, \quad\text{kun } \Delta s \approx 0,\]

missä \(\Delta V\) on tarkka muutos ja \(\d V\) differentiaalinen muutos.

Esimerkki 3.4.3 (Muutosnopeus: toisistaan riippuvat suureet)

Tarkastellaan suoraa ympyrälieriötä, jonka tilavuus saatiin kaavalla \(V = \pi r^2 h\), missä \(r\) on pohjaympyrän säde ja \(h\) on lieriön korkeus. Jos korkeus ja pohjan säde eivät pysykään vakiona vaan muuttuvat ajasta riippuen, niin tällöin myös tilavuus on ajasta riippuvainen. Tilavuuden lauseke voidaan kirjoittaa ajan funktiona seuraavasti

\[V( t ) = \pi( r( t ) )^2 h( t ).\]

Pohjan säteen ja korkeuden muutosnopeudet eli derivaatat vaikuttavat siten myös tilavuuden muutosnopeuteen. Tilavuuden derivaatan laskemiseen tarvitaan nyt funktion potenssin sekä tulon derivoimissääntöjä

\[V'( t ) = 2\pi( r( t ) ) \cdot r'( t ) h( t ) + \pi( r( t ) )^2 \cdot h'( t ).\]

Siis tilavuuden hetkellinen muutosnopeus riippuu tarkasteluhetkellä olevista säteen ja korkeuden arvoista sekä säteen ja korkeuden muutosnopeuksista.

Tarkastellaan esimerkkinä tilavuuden muutosnopeutta hetkellä \(t_0\), jolloin lieriön säde on \(r( t_0 ) = \SI[output-decimal-marker={,}]{5.0}{\centi\meter}\), korkeus on \(h( t_0 ) = \SI[output-decimal-marker={,}]{12.0}{\centi\meter}\) ja lieriön säde pienenee nopeudella \(r'( t_0 ) = \SI[per-mode=fraction]{2}{\milli\meter\per\second}\) ja korkeus kasvaa nopeudella \(h'( t_0 ) = \SI[per-mode=fraction]{5}{\milli\meter\per\second}\).

Lasketaan tilavuuden muutosnopeus edellä muodostetun lausekkeen avulla sijoittamalla annetut arvot

\[\begin{split}\begin{aligned} V'( t_0 ) &= 2\pi( r( t_0 ) ) \cdot r'( t_0 )h( t_0 ) + \pi( r( t_0 ) )^2 \cdot h'( t_0 ) \\ &= 2\pi\cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{5.0}{\centi\meter}\cdot \left( \SI[output-decimal-marker={,},per-mode=fraction]{-0.2}{\centi\meter\per\second} \right) \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{12.0}{\centi\meter} + \pi( \SI[output-decimal-marker={,}]{5.0}{\centi\meter} )^2 \cdot \SI[output-decimal-marker={,},per-mode=fraction]{0.5}{\centi\meter\per\second} \\ &= \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,},per-mode=fraction]{-36.128\dots}{\centi\meter\cubed\per\second}. \end{aligned}\end{split}\]

Siis tilavuus pienenee likimain nopeudella \(\SI[output-decimal-marker={,},per-mode=fraction]{36.1}{\centi\meter\cubed\per\second}\).

Palautusta lähetetään...