$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$

# Sovellettuja esimerkkejä¶

Esimerkki 3.4.1

Tarkastellaan vielä aikaisemmpaa esimerkkiä 3.3.1, jossa tutkittiin auton sisälämpötilan hetkellistä muutosnopeutta, kun auton lämmityslaite käynnistetään talvipakkasella. Viidentoista minuutin kuluttua käynnistyksestä hetkelliseksi muutosnopeudeksi saatiin

$\frac{\d T}{\d t} ( 15 ) = \num[output-decimal-marker={,}]{1.76} \cdot e^{-\num[output-decimal-marker={,}]{0.055}\cdot 15} = \num[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.7712\dots} \approx \num[output-decimal-marker={,}]{0.77},$

jonka yksikkönä on $$\si[per-mode=fraction]{\degreeCelsius\per\minute}$$. Differentiaalin avulla tulos voidaan tulkita siten, että jos kohdassa $$t = 15$$ ajan arvoa muutetaan hieman. Esimerkiksi arvoon $$15{,}5$$, niin lämpötilan $$T$$ muutos on suunnilleen

$\d T = \frac{\d T}{\d t}( \SI{15}{\minute} ) \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{0.5}{\minute} = \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,},per-mode=fraction]{0.7712\dots}{\degreeCelsius\per\minute} \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{0.5}{\minute} = \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.3856\dots}{\degreeCelsius}$

ja tarkka muutos on

$\Delta T = T( \SI[output-decimal-marker={,}]{15.5}{\minute} ) - T( \SI[output-decimal-marker={,}]{15.0}{\minute} ) = \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{7.3568\dots}{\degreeCelsius} - \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{6.976\dots}{\degreeCelsius} = \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.380\dots}{\degreeCelsius}$

eli $$\Delta T \approx \d T$$. Kyseiset arvot ovat sitä lähempänä toisiaan mitä pienempi on ajan muutos.

Esimerkki 3.4.2

Kuution tilavuus lasketaan kaavalla $$V( s ) = s^{3}$$, missä $$s$$ on kuution särmän pituus. Laske $$V'( \SI[output-decimal-marker={,}]{25.0}{\centi\meter})$$. Mitä tämä kertoo tilavuuden muutoksesta?

Ratkaisu

Hyödynnetään differentiaalia. Lasketaan derivaaatta. Nyt $$V'( s ) = 3s^{2}$$, joten

\begin{align}\begin{aligned}\begin{aligned}\\V'( \SI[output-decimal-marker={,}]{25.0}{\centi\meter} ) &= 3\cdot ( \SI[output-decimal-marker={,}]{25.0}{\centi\meter} )^{2} = \SI{1875}{\centi\meter\squared} .\end{aligned}\end{aligned}\end{align}

Tarkastellaan ensin tilavuuden muutosnopeutta särmän pituuden suhteen kohdassa $$s = \SI[output-decimal-marker={,}]{25.0}{\centi\meter}$$. Luku $$V'( \SI[output-decimal-marker={,}]{25.0}{\centi\meter} ) = \SI{1875}{\centi\meter\squared}$$ kertoo, että särmän muuttuessa $$\SI[output-decimal-marker={,}]{25.0}{\centi\meter}$$:stä hiukan esimerkiksi $$\SI[output-decimal-marker={,}]{25.2}{\centi\meter}$$:in (eli $$\Delta s = \SI[output-decimal-marker={,}]{0.2}{\centi\meter}$$) tilavuuden muutos on likimäärin

$\Delta V \approx V'( \SI[output-decimal-marker={,}]{25.0}{\centi\meter} ) \cdot \Delta s = \SI{1875}{\centi\meter\squared} \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{0.2}{\centi\meter} = \SI{375}{\centi\meter\cubed} .$

Vastaavasti särmän muuttuessa $$\SI[output-decimal-marker={,}]{25.0}{\centi\meter}$$:stä $$\SI[output-decimal-marker={,}]{25.05}{\centi\meter}$$:in, tilavuuden muutos on likimäärin

$\Delta V \approx V'( \SI[output-decimal-marker={,}]{25.0}{\centi\meter} ) \cdot \Delta s= \SI{1875}{\centi\meter\squared} \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{0.05}{\centi\meter} = \SI[output-decimal-marker={,}]{93.75}{\centi\meter\cubed}.$

Tarkat tilavuuden muutokset ovat

$\Delta V = V( \SI[output-decimal-marker={,}]{25.2}{\centi\meter} ) - V( \SI[output-decimal-marker={,}]{25.0}{\centi\meter} ) = \SI[output-decimal-marker={,}]{16003.008}{\centi\meter\cubed} - \SI{15625}{\centi\meter\cubed} = \SI[output-decimal-marker={,}]{378.008}{\centi\meter\cubed}$

ja

$\Delta V = V( \SI[output-decimal-marker={,}]{25.05}{\centi\meter} ) - V( \SI[output-decimal-marker={,}]{25.0}{\centi\meter} ) = \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{15718.937\dots}{\centi\meter\cubed} - \SI{15625}{\centi\meter\cubed} = \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{93.937\dots}{\centi\meter\cubed}.$

Huomataan, että kaava on sitä tarkempi, mitä pienemmästä muutoksesta on kyse.

$\Delta V \approx \d V, \quad\text{kun } \Delta s \approx 0,$

missä $$\Delta V$$ on tarkka muutos ja $$\d V$$ differentiaalinen muutos.

Esimerkki 3.4.3 (Muutosnopeus: toisistaan riippuvat suureet)

Tarkastellaan suoraa ympyrälieriötä, jonka tilavuus saatiin kaavalla $$V = \pi r^2 h$$, missä $$r$$ on pohjaympyrän säde ja $$h$$ on lieriön korkeus. Jos korkeus ja pohjan säde eivät pysykään vakiona vaan muuttuvat ajasta riippuen, niin tällöin myös tilavuus on ajasta riippuvainen. Tilavuuden lauseke voidaan kirjoittaa ajan funktiona seuraavasti

$V( t ) = \pi( r( t ) )^2 h( t ).$

Pohjan säteen ja korkeuden muutosnopeudet eli derivaatat vaikuttavat siten myös tilavuuden muutosnopeuteen. Tilavuuden derivaatan laskemiseen tarvitaan nyt funktion potenssin sekä tulon derivoimissääntöjä

$V'( t ) = 2\pi( r( t ) ) \cdot r'( t ) h( t ) + \pi( r( t ) )^2 \cdot h'( t ).$

Siis tilavuuden hetkellinen muutosnopeus riippuu tarkasteluhetkellä olevista säteen ja korkeuden arvoista sekä säteen ja korkeuden muutosnopeuksista.

Tarkastellaan esimerkkinä tilavuuden muutosnopeutta hetkellä $$t_0$$, jolloin lieriön säde on $$r( t_0 ) = \SI[output-decimal-marker={,}]{5.0}{\centi\meter}$$, korkeus on $$h( t_0 ) = \SI[output-decimal-marker={,}]{12.0}{\centi\meter}$$ ja lieriön säde pienenee nopeudella $$r'( t_0 ) = \SI[per-mode=fraction]{2}{\milli\meter\per\second}$$ ja korkeus kasvaa nopeudella $$h'( t_0 ) = \SI[per-mode=fraction]{5}{\milli\meter\per\second}$$.

Lasketaan tilavuuden muutosnopeus edellä muodostetun lausekkeen avulla sijoittamalla annetut arvot

\begin{split}\begin{aligned} V'( t_0 ) &= 2\pi( r( t_0 ) ) \cdot r'( t_0 )h( t_0 ) + \pi( r( t_0 ) )^2 \cdot h'( t_0 ) \\ &= 2\pi\cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{5.0}{\centi\meter}\cdot \left( \SI[output-decimal-marker={,},per-mode=fraction]{-0.2}{\centi\meter\per\second} \right) \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{12.0}{\centi\meter} + \pi( \SI[output-decimal-marker={,}]{5.0}{\centi\meter} )^2 \cdot \SI[output-decimal-marker={,},per-mode=fraction]{0.5}{\centi\meter\per\second} \\ &= \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,},per-mode=fraction]{-36.128\dots}{\centi\meter\cubed\per\second}. \end{aligned}\end{split}

Siis tilavuus pienenee likimain nopeudella $$\SI[output-decimal-marker={,},per-mode=fraction]{36.1}{\centi\meter\cubed\per\second}$$.

Palautusta lähetetään...