\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Implisiittiderivointi eli derivointi ratkaisemattomassa muodossa

Toisinaan muuttujan \(x\) ja \(y\) välisen riippuvuuden määräävä yhtälö on sellainen, että sen saaminen ratkaistuun muotoon eli eksplisiittimuotoon \(y = y( x )\) (eli \(y\) riippuu muuttujasta \(x\)) on hankalaa.

Esimerkki 3.2.1

Yhtälö

\[x^2 + y^2 = 20\]

on ratkaisematon eli implisiittimuoto. Vastaavasti taas

\[y = \pm \sqrt{20 - x^2}\]

on ratkaistu eli eksplisiittimuoto.

Implisiittisessä derivoinnissa käytetään ihan normaaleja derivointikaavoja pitäen kuitenkin mielessä, että \(y\) riippuu muuttujasta \(x\). Näin ollen muuttujaa \(y\) derivoidessa käytetään yhdistetyn funkiton derivointisääntöä, jossa sisäfunktion derivaatta on \(y'( x )\). Esimerkiksi

\[\frac{\d}{\d x}( y( x ) )^2 = 2\cdot y( x ) y'( x ).\]

Mikäli on selvää, että \(y\) riippuu muuttujasta \(x\), voidaan edellinen kirjoittaa yksinkertaisemmin muotoon

\[\frac{\d}{\d x} ( y^2 ) = 2yy'.\]

Vastaavasti

\[\frac{\d}{\d x}( xy ) = 1\cdot y + xy'.\]

Esimerkki 3.2.2

Määritä ympyrälle \(x^2 + y^2 = 20\) pisteeseen \(( 2, 4 )\) piirretyn tangentin kulmakerroin.

Ratkaisu

Tapa 1 Ratkaistaan kaavasta \(y\)

\[y = \pm \sqrt{20 - x^2}.\]

Koska \(y = 4> 0\), niin

\[y = \sqrt{20 - x^2} = ( 20 - x^2 )^{\frac{1}{2}}.\]

Derivoidaan normaalisti muuttujan \(x\) suhteen

\[\begin{split}\begin{aligned} y'&= \frac{1}{2}( 20 - x^2 )^{- \frac{1}{2}}\cdot ( -2x ) \\ &= - \frac{x}{\sqrt{20 - x^2} } .\end{aligned}\end{split}\]

Tangentin kulmakerroin kohdassa \(x = 2\) on

\[k_T = y'( 2 ) = - \frac{2}{\sqrt{20 - 2^2} } = - \frac{2}{4} = - \frac{1}{2}.\]

Tapa 2 Derivoidaan puolittain ratkaisematonta yhtälöä muuttujan \(x\) suhteen ja otetaan huomioon, että \(y = y( x )\).

\[\begin{split}\begin{aligned} &\frac{\d}{\d x}( x^2 + y^2 ) = \frac{\d}{\d x}( 20 ) \\ \Leftrightarrow \quad &2x + 2y \cdot y ' = 0 \\ \Leftrightarrow \quad &2y \cdot y' = -2x \\ \Leftrightarrow \quad &y' = \frac{-2x}{2y} = - \frac{x}{y} .\end{aligned}\end{split}\]

Tehtävänä oli etsiä käyrän pisteeseen \(( 2, 4 )\) asetetun tangentin kulmakerroin. Näin ollen riittää, että saatiin yhtälö, josta \(y'\) voitiin ratkaista muuttujan \(x\) ja \(y\) suhteen. Tangentin kulmakerroin pisteessä \(( 2, 4 )\) on

\[k_T = y'( 2 ) = - \frac{2}{y( 2 ) } = - \frac{2}{4} = - \frac{1}{2}.\]

Esimerkki 3.2.3

Määritä käyrälle \(x^2 + xy + y^2 = 7\) pisteeseen \(( 1, 2 )\) piirretyn tangentin kulmakerroin.

Ratkaisu

Yhtälö määrittää pisteen \(( 1,2 )\) ympäristössä funktion \(y = y( x )\). Derivoidaan yhtälöä \(x\):n suhteen (muistaen että \(y\) riippuu \(x\):stä!). Toisen termin derivoinnissa tarvitaan tulon derivointisääntöä.

\[\begin{split}\begin{aligned} D_x( x^2 ) + D_x( xy ) + D_x( y^2 ) = D_x( 7 ) &\Rightarrow 2x + y + x\cdot y' + 2y \cdot y' = 0 \\ &\Rightarrow ( x + 2y )y' = -2x - y \\ &\Rightarrow y' = \frac{-2x -y}{x + 2y} = \frac{-2\cdot 1 - 2}{1 + 2\cdot 2} = - \frac{4}{5}. \end{aligned}\end{split}\]

Viimeisessä vaiheesssa sijoitettiin pisteen \(( 1,2 )\) koordinaatit.

Palautusta lähetetään...