\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Differentiaali usean muuttujan funktiolle eli kokonaisdifferentiaali

Muutosnopeuden ja differentiaalin käsite voidaan yleistää myös useamman muuttujan funktioille. Oletetaan, että funktio \(f\) riippuu muuttujista \(x\) ja \(y\). Tällöin muuttujan \(x\) muutoksen vaikutusta tutkitaan derivoimalla funktio muuttujan \(x\) suhteen ja muuttujan \(y\) muutoksen vaikutusta derivaatalla muuttujan \(y\) suhteen.

Huomautus 3.5.1

Huomaa, että jos derivoimme kahden muuttujan funktiota \(f(x,y)\) esimerkiksi muuttujan \(x\) suhteen, niin silloin \(y\) on vakio eli se voidaan mieltää lukuna! Esimerkiksi jos \(f(x,y) = x^2y + 2y\), niin \(\frac{\d }{\d x} f(x,y) = 2xy\) ja \(\frac{\d }{\d x} f( x, y ) = x^2 + 2\).

Kun usean muuttujan funktio derivoidaan jokaisen muuttujan suhteen, niin kaikkien muutosnopeuksien vaikutus voidaan koota seuraavasti. Funktion \(f( x,y )\) arvojen muuttamista, kun \(x\) muuttuu arvosta \(x_0\) arvoon \(x_0 + \Delta x\) ja vastaavasti \(y\) muuttuu arvosta \(y_0\) arvoon \(y_0 + \Delta y\) voidaan arvioida lausekkeella

\[\begin{split}\begin{aligned} \Delta f &= f( x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y ) - f( x_0, y_0 ) \\ &= \frac{\d}{\d x}f( x_0, y_0 ) \cdot \Delta x + \frac{\d}{\d y} f( x_0, y_0 ) \cdot \Delta y .\end{aligned}\end{split}\]

Tässä tapauksessa lauseketta

(1)\[\frac{\d}{\d x} f( x_0, y_0 ) \cdot \Delta x + \frac{\d}{\d y}f( x_0, y_0 ) \cdot \Delta y\]

kutsutaan funktion \(f\) kokonaisdifferentiaaliksi. Tulos on yleistettävissä usean muuttujan funktiolle.

Huomautus 3.5.2

Osittaisderivaatoille esiintyy kirjallisuudessa eri merkintöjä. Esimerkiksi

\[\frac{\d f}{\d x}(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\]

merkintä \(\partial\) luetaan “doo” ja esimerkiksi \(\frac{\partial f}{\partial x}\) “doo f doo x”. Muita kirjoissa tyypillisesti käytettäviä merkintöjä osittaisderivaatoille ovat

\[\begin{split}\begin{aligned} &\frac{\d f}{\d x}(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=f_x(x,y)=f_1(x,y)=D_xf(x,y)=D_1f(x,y),\\[10pt] &\frac{\d f}{\d y}(x,y) = \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)=f_y(x,y)=f_2(x,y)=D_yf(x,y)=D_2f(x,y). \end{aligned}\end{split}\]

Esimerkki 3.5.3

Tarkastellaan suoran ympyrälieriön tilavuuden \(V = \pi r^{2}h\) muutosnopeutta.

../_images/tamk-sylinteri.svg

Selvitetään derivaatta hyödyntäen kumman muuttaminen, pohjalieriön säteen \(r\) vai lieriön korkeuden \(h\) vaikuttaa tilavuuteen enemmän kohdassa, jossa

  1. \(r = \SI[output-decimal-marker={,}]{0.10}{\meter}\) ja \(h=\SI[output-decimal-marker={,}]{0.20}{\meter}\),
  2. \(r = \SI[output-decimal-marker={,}]{0.30}{\meter}\) ja \(h = \SI[output-decimal-marker={,}]{0.10}{\meter}\).
Ratkaisu

Kun halutaan selvittää säteen \(r\) muuttamisen vaikutus tilavuuteen \(V\), lasketaan tilavuuden muutosnopeus eli derivaatta säteen suhteen. Korkeuden \(h\) muuttamisen vaikututusta voidaa puolestaan tutkia derivaatalla muuttujan \(h\) suhteen. Lasketaan kyseiset derivaatat

\[\frac{\d V}{\d r} = \pi \cdot 2r \cdot h = 2\pi rh\qquad \frac{\d V}{\d h} = \pi r^{2} \cdot 1 = \pi r^{2}.\]
  1. Ensimmäisen kohdan lukuarvoilla derivaattojen arvot ovat

    \[\begin{split}\begin{aligned} \frac{\d V}{\d r} &= 2 \pi \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{0.10}{\meter} \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{0.20}{\meter} = \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.125664 \dots}{\meter\squared} \\ \frac{\d V}{\d h} &= \pi( \SI[output-decimal-marker={,}]{0.10}{\meter} )^{2} = \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.031416\dots}{\meter\squared}. \end{aligned}\end{split}\]

    Tuloksista nähdään, että säteen muuttamisella on suurempi vaikutus.

    Tulos voidaan tulkita muun muassa siten, että jos kohdassa \(r = \SI[output-decimal-marker={,}]{0.10}{\meter}\) ja \(h = \SI[output-decimal-marker={,}]{0.20}{\meter}\) sädettä muutetaan hieman esimerkiksi arvoon \(\SI[output-decimal-marker={,}]{0.11}{\meter}\), niin tilavuuden \(V\) muutos on suunnilleen

    \[\Delta V \approx \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.125664 \dots}{\meter\squared} \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{0.01}{\meter} = \SI[output-decimal-marker={,}]{0.0013}{\meter\cubed},\]

    missä \(\SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.125664\dots}{\meter\squared}\) on derivaatan arvo ja \(\SI[output-decimal-marker={,}]{0.01}{\meter}\) on säteen muutos. Jos vastaavan suuruinen muutos tehtäisiin korkeuteen eli se muuttuisi arvoon \(\SI[output-decimal-marker={,}]{0.21}{\meter}\), niin tilavuus muuttuisi suunnilleen

    \[\Delta V \approx \SI[output-decimal-marker={,}]{0.031416}{\meter\squared} \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{0.01}{\meter} = \SI[output-decimal-marker={,}]{0.0003}{\meter\cubed},\]

    missä \(\SI[output-decimal-marker={,}]{0.031416}{\meter\squared}\) on derivaatan arvo.

  2. Vastaavasti toisen kohdan arvoilla derivaatat ovat

    \[\begin{split}\begin{aligned} \frac{\d V}{\d r} &= 2\pi rh = 2\pi \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{0.30}{\meter} \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{0.10}{\meter} = \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.18849\dots}{\meter\squared} \\ \frac{\d V}{\d h} &= \pi r^{2} = \pi( \SI[output-decimal-marker={,}]{0.30}{\meter} )^{2} = \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.28274 \dots}{\meter\squared}, \end{aligned}\end{split}\]

    joten tässä tapauksessa korkeuden muuttaminen muuttaa tilavuutta voimakkaammin, koska derivaatan arvo on suurempi.

Esimerkki 3.5.4

Arvioi kokonaisdifferentiaalin (1) avulla, kuinka paljon suoran ympyrälieriön tilavuuden \(V = \pi r^2h\) arvo muuttuu, kun \(r\) kasvaa arvosta \(\SI[output-decimal-marker={,}]{30.0}{\centi\meter}\) arvoon \(\SI[output-decimal-marker={,}]{30.5}{\centi\meter}\) ja \(h\) pienenee arvosta \(\SI[output-decimal-marker={,}]{10.0}{\centi\meter}\) arvoon \(\SI[output-decimal-marker={,}]{9.9}{\centi\meter}\). Lisäksi vertaa tulosta tarkkaan arvoon.

Ratkaisu

Merkitään alkuperäisiä arvoja kokonaisdifferentiaalin kaavaa mukaillen.

\[r_0 = \SI[output-decimal-marker={,}]{30.0}{\centi\meter}\qquad h_0 = \SI[output-decimal-marker={,}]{10.0}{\centi\meter}.\]

Muutoksiksi saadaan suoraan laskemalla

\[\begin{split}\begin{aligned} \Delta r &= \SI[output-decimal-marker={,}]{30.5}{\centi\meter} - \SI[output-decimal-marker={,}]{30.0}{\centi\meter} = \SI[output-decimal-marker={,}]{0.5}{\centi\meter}, \\ \Delta h &= \SI[output-decimal-marker={,}]{9.9}{\centi\meter} - \SI[output-decimal-marker={,}]{10.0}{\centi\meter} = \SI[output-decimal-marker={,}]{-0.1}{\centi\meter} .\end{aligned}\end{split}\]

Lasketaan tilavuuden derivaatat kummankin suureen suhteen

\[\frac{\d V}{\d r} = \pi \cdot 2r \cdot h = 2\pi rh, \qquad \frac{\d V}{\d h} = \pi r^2 \cdot 1 = \pi r^2.\]

Tällöin kokonaisdifferentiaalilla differentiaaliseksi muutokseksi saadaan

\[\begin{split}\begin{aligned} \d V &= \frac{\d V}{\d r}( r_0, h_0 ) \cdot \Delta r + \frac{\d V}{\d h}( r_0, h_0 ) \cdot \Delta h \\ &= 2 \pi r_0 h_0 \cdot \Delta r + \pi r_0^2\cdot 1 \cdot \Delta h_0\\ &= 2\cdot \pi \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{30.0}{\centi\meter}\cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{10.0}{\centi\meter} \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{0.5}{\centi\meter} + \pi \cdot ( \SI[output-decimal-marker={,}]{30.0}{\centi\meter} )^2 \cdot ( \SI[output-decimal-marker={,}]{-0.1}{\centi\meter} ) \\ &= \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{659.734\dots}{\centi\meter\cubed} .\end{aligned}\end{split}\]

Lasketaan vielä lopuksi tarkka muutos vertailua varten

\[\Delta V = \pi \cdot ( \SI[output-decimal-marker={,}]{30.5}{\centi\meter} )^2 \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{9.9}{\centi\meter} - \pi \cdot ( \SI[output-decimal-marker={,}]{30.0}{\centi\meter} )^{2} \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{10.0}{\centi\meter} = \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{658.085\dots}{\centi\meter\cubed}.\]

Siis \(\Delta V \approx \d V\).

Palautusta lähetetään...