$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$

# Differentiaali usean muuttujan funktiolle eli kokonaisdifferentiaali¶

Muutosnopeuden ja differentiaalin käsite voidaan yleistää myös useamman muuttujan funktioille. Oletetaan, että funktio $$f$$ riippuu muuttujista $$x$$ ja $$y$$. Tällöin muuttujan $$x$$ muutoksen vaikutusta tutkitaan derivoimalla funktio muuttujan $$x$$ suhteen ja muuttujan $$y$$ muutoksen vaikutusta derivaatalla muuttujan $$y$$ suhteen.

Huomautus 3.5.1

Huomaa, että jos derivoimme kahden muuttujan funktiota $$f(x,y)$$ esimerkiksi muuttujan $$x$$ suhteen, niin silloin $$y$$ on vakio eli se voidaan mieltää lukuna! Esimerkiksi jos $$f(x,y) = x^2y + 2y$$, niin $$\frac{\d }{\d x} f(x,y) = 2xy$$ ja $$\frac{\d }{\d x} f( x, y ) = x^2 + 2$$.

Kun usean muuttujan funktio derivoidaan jokaisen muuttujan suhteen, niin kaikkien muutosnopeuksien vaikutus voidaan koota seuraavasti. Funktion $$f( x,y )$$ arvojen muuttamista, kun $$x$$ muuttuu arvosta $$x_0$$ arvoon $$x_0 + \Delta x$$ ja vastaavasti $$y$$ muuttuu arvosta $$y_0$$ arvoon $$y_0 + \Delta y$$ voidaan arvioida lausekkeella

\begin{split}\begin{aligned} \Delta f &= f( x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y ) - f( x_0, y_0 ) \\ &= \frac{\d}{\d x}f( x_0, y_0 ) \cdot \Delta x + \frac{\d}{\d y} f( x_0, y_0 ) \cdot \Delta y .\end{aligned}\end{split}

Tässä tapauksessa lauseketta

(1)$\frac{\d}{\d x} f( x_0, y_0 ) \cdot \Delta x + \frac{\d}{\d y}f( x_0, y_0 ) \cdot \Delta y$

kutsutaan funktion $$f$$ kokonaisdifferentiaaliksi. Tulos on yleistettävissä usean muuttujan funktiolle.

Huomautus 3.5.2

Osittaisderivaatoille esiintyy kirjallisuudessa eri merkintöjä. Esimerkiksi

$\frac{\d f}{\d x}(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}(x,y),$

merkintä $$\partial$$ luetaan “doo” ja esimerkiksi $$\frac{\partial f}{\partial x}$$ “doo f doo x”. Muita kirjoissa tyypillisesti käytettäviä merkintöjä osittaisderivaatoille ovat

\begin{split}\begin{aligned} &\frac{\d f}{\d x}(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=f_x(x,y)=f_1(x,y)=D_xf(x,y)=D_1f(x,y),\\[10pt] &\frac{\d f}{\d y}(x,y) = \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)=f_y(x,y)=f_2(x,y)=D_yf(x,y)=D_2f(x,y). \end{aligned}\end{split}

Esimerkki 3.5.3

Tarkastellaan suoran ympyrälieriön tilavuuden $$V = \pi r^{2}h$$ muutosnopeutta.

Selvitetään derivaatta hyödyntäen kumman muuttaminen, pohjalieriön säteen $$r$$ vai lieriön korkeuden $$h$$ vaikuttaa tilavuuteen enemmän kohdassa, jossa

1. $$r = \SI[output-decimal-marker={,}]{0.10}{\meter}$$ ja $$h=\SI[output-decimal-marker={,}]{0.20}{\meter}$$,
2. $$r = \SI[output-decimal-marker={,}]{0.30}{\meter}$$ ja $$h = \SI[output-decimal-marker={,}]{0.10}{\meter}$$.
Ratkaisu

Kun halutaan selvittää säteen $$r$$ muuttamisen vaikutus tilavuuteen $$V$$, lasketaan tilavuuden muutosnopeus eli derivaatta säteen suhteen. Korkeuden $$h$$ muuttamisen vaikututusta voidaa puolestaan tutkia derivaatalla muuttujan $$h$$ suhteen. Lasketaan kyseiset derivaatat

$\frac{\d V}{\d r} = \pi \cdot 2r \cdot h = 2\pi rh\qquad \frac{\d V}{\d h} = \pi r^{2} \cdot 1 = \pi r^{2}.$
1. Ensimmäisen kohdan lukuarvoilla derivaattojen arvot ovat

\begin{split}\begin{aligned} \frac{\d V}{\d r} &= 2 \pi \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{0.10}{\meter} \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{0.20}{\meter} = \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.125664 \dots}{\meter\squared} \\ \frac{\d V}{\d h} &= \pi( \SI[output-decimal-marker={,}]{0.10}{\meter} )^{2} = \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.031416\dots}{\meter\squared}. \end{aligned}\end{split}

Tuloksista nähdään, että säteen muuttamisella on suurempi vaikutus.

Tulos voidaan tulkita muun muassa siten, että jos kohdassa $$r = \SI[output-decimal-marker={,}]{0.10}{\meter}$$ ja $$h = \SI[output-decimal-marker={,}]{0.20}{\meter}$$ sädettä muutetaan hieman esimerkiksi arvoon $$\SI[output-decimal-marker={,}]{0.11}{\meter}$$, niin tilavuuden $$V$$ muutos on suunnilleen

$\Delta V \approx \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.125664 \dots}{\meter\squared} \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{0.01}{\meter} = \SI[output-decimal-marker={,}]{0.0013}{\meter\cubed},$

missä $$\SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.125664\dots}{\meter\squared}$$ on derivaatan arvo ja $$\SI[output-decimal-marker={,}]{0.01}{\meter}$$ on säteen muutos. Jos vastaavan suuruinen muutos tehtäisiin korkeuteen eli se muuttuisi arvoon $$\SI[output-decimal-marker={,}]{0.21}{\meter}$$, niin tilavuus muuttuisi suunnilleen

$\Delta V \approx \SI[output-decimal-marker={,}]{0.031416}{\meter\squared} \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{0.01}{\meter} = \SI[output-decimal-marker={,}]{0.0003}{\meter\cubed},$

missä $$\SI[output-decimal-marker={,}]{0.031416}{\meter\squared}$$ on derivaatan arvo.

2. Vastaavasti toisen kohdan arvoilla derivaatat ovat

\begin{split}\begin{aligned} \frac{\d V}{\d r} &= 2\pi rh = 2\pi \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{0.30}{\meter} \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{0.10}{\meter} = \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.18849\dots}{\meter\squared} \\ \frac{\d V}{\d h} &= \pi r^{2} = \pi( \SI[output-decimal-marker={,}]{0.30}{\meter} )^{2} = \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.28274 \dots}{\meter\squared}, \end{aligned}\end{split}

joten tässä tapauksessa korkeuden muuttaminen muuttaa tilavuutta voimakkaammin, koska derivaatan arvo on suurempi.

Esimerkki 3.5.4

Arvioi kokonaisdifferentiaalin (1) avulla, kuinka paljon suoran ympyrälieriön tilavuuden $$V = \pi r^2h$$ arvo muuttuu, kun $$r$$ kasvaa arvosta $$\SI[output-decimal-marker={,}]{30.0}{\centi\meter}$$ arvoon $$\SI[output-decimal-marker={,}]{30.5}{\centi\meter}$$ ja $$h$$ pienenee arvosta $$\SI[output-decimal-marker={,}]{10.0}{\centi\meter}$$ arvoon $$\SI[output-decimal-marker={,}]{9.9}{\centi\meter}$$. Lisäksi vertaa tulosta tarkkaan arvoon.

Ratkaisu

Merkitään alkuperäisiä arvoja kokonaisdifferentiaalin kaavaa mukaillen.

$r_0 = \SI[output-decimal-marker={,}]{30.0}{\centi\meter}\qquad h_0 = \SI[output-decimal-marker={,}]{10.0}{\centi\meter}.$

\begin{split}\begin{aligned} \Delta r &= \SI[output-decimal-marker={,}]{30.5}{\centi\meter} - \SI[output-decimal-marker={,}]{30.0}{\centi\meter} = \SI[output-decimal-marker={,}]{0.5}{\centi\meter}, \\ \Delta h &= \SI[output-decimal-marker={,}]{9.9}{\centi\meter} - \SI[output-decimal-marker={,}]{10.0}{\centi\meter} = \SI[output-decimal-marker={,}]{-0.1}{\centi\meter} .\end{aligned}\end{split}

Lasketaan tilavuuden derivaatat kummankin suureen suhteen

$\frac{\d V}{\d r} = \pi \cdot 2r \cdot h = 2\pi rh, \qquad \frac{\d V}{\d h} = \pi r^2 \cdot 1 = \pi r^2.$

\begin{split}\begin{aligned} \d V &= \frac{\d V}{\d r}( r_0, h_0 ) \cdot \Delta r + \frac{\d V}{\d h}( r_0, h_0 ) \cdot \Delta h \\ &= 2 \pi r_0 h_0 \cdot \Delta r + \pi r_0^2\cdot 1 \cdot \Delta h_0\\ &= 2\cdot \pi \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{30.0}{\centi\meter}\cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{10.0}{\centi\meter} \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{0.5}{\centi\meter} + \pi \cdot ( \SI[output-decimal-marker={,}]{30.0}{\centi\meter} )^2 \cdot ( \SI[output-decimal-marker={,}]{-0.1}{\centi\meter} ) \\ &= \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{659.734\dots}{\centi\meter\cubed} .\end{aligned}\end{split}
$\Delta V = \pi \cdot ( \SI[output-decimal-marker={,}]{30.5}{\centi\meter} )^2 \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{9.9}{\centi\meter} - \pi \cdot ( \SI[output-decimal-marker={,}]{30.0}{\centi\meter} )^{2} \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{10.0}{\centi\meter} = \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{658.085\dots}{\centi\meter\cubed}.$
Siis $$\Delta V \approx \d V$$.