\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Käyrän tangentti ja normaali

Derivaatan graafinen tulkinta on käyrälle piirretyn tangentin kulmakerroin. Näin ollen derivaatan avulla voidaan selvittää käyrälle piirretyn tangentin ja toisaalta myös normaalin yhtälö.

Olkoon käyrä \(y = f( x )\). Tällöin pisteeseen \(( a, f( a ))\) piirretyn tangentin yhtälö on

\[y - f( a ) = f'( a )(x - a),\]

missä tangentin kulmakerroin on \(k_T = f'( a )\). Koska normaali on kohtisuorassa tangenttia vasten, niin pätee normaalin kulmakertoimelle

\[k_N \cdot k_T = -1 \quad \Leftrightarrow \quad k_N = - \frac{1}{k_t} \quad \Leftrightarrow \quad k_N = - \frac{1}{f'( a ) }.\]

Tällöin normaalin yhtälö on

\[y - f( a ) = \frac{1}{f'( a ) }(x - a).\]
../_images/tangentti-norm-geom.svg

Esimerkki 3.1.1

Määritä käyrän \(y = 3x^2 + x\) pisteeseen \((-1, 2)\) asetetun tangentin ja normaalin yhtälö.

Ratkaisu

Suoran yhtälön määrittämiseen tarvitaan suoran kulmakerroin ja yksi suoran piste. Tehtävässä on annettu yksi piste, joten nyt täytyy vielä määrittää kyseisen suoran kulmakerroin.

Tangentin kulmakerroin saadaan derivaatan avulla

\[y' = 3\cdot 2x + 1 = 6x + 1 ,\]

joten

\[k_T = y'( -1 ) = 6 \cdot (-1) + 1 = -6 + 1 = -5 .\]

Tangentin yhtälöön sijoittamalla piste ja saatu kulmakerroin saadaan

\[\begin{split}\begin{aligned} &y - 2 = -5( x - ( -1 ) ) \\ \Leftrightarrow \quad &y - 2= -5( x + 1 ) \\ \Leftrightarrow \quad &y - 2 = -5x - 5 \\ \Leftrightarrow \quad &y = -5x - 5 + 2 \\ \Leftrightarrow \quad &y = -5x - 3 .\end{aligned}\end{split}\]

Normaalin kulmakerroin on täten

\[k_N = - \frac{1}{y'( -1 ) } = \frac{1}{5}\]

ja normaalin yhtälö suoraan sijoittamalla

\[\begin{split}\begin{aligned} &y - 2 = \frac{1}{5}( x - ( -1 ) ) \\ \Leftrightarrow \quad &y - 2= \frac{1}{5}( x + 1 ) \\ \Leftrightarrow \quad &y - 2 = \frac{1}{5}x + \frac{1}{5} \\ \Leftrightarrow \quad &y = \frac{1}{5}x + \frac{1}{5} + 2 \\ \Leftrightarrow \quad &y = \frac{1}{5}x + \frac{11}{5} .\end{aligned}\end{split}\]
../_images/esim-tangentti-norm.svg

Siis tangentin yhtälö on \(y = -5x - 3\) ja normaalin yhtälö on \(y = \frac{1}{5}x + \frac{11}{5}\).

Palautusta lähetetään...