1. Alkeisfunktiot »
  2. Hyperboliset funktiot ja niiden käänteisfunktiot
\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]

Hyperboliset funktiot ja niiden käänteisfunktiot

Hyperboliset funktiot ovat yhteydessä trigonometrisiin funktioihin, ja trigonometriasta tutuille sinille, kosinille ja tangentille määritellään tässä osiossa hyperboliset vastineet. Siinä missä trigonometriset funktiot määritellään yksikköympyrän kehäpisteen koordinaateista, hyperboliset funktiot voidaan määritellä yksikköhyperbelillä sijaitsevan pisteen avulla. Kulman sijaan tällöin tarkastellaan alla olevassa kuvassa punaisella merkittyä pinta-alaa. Näin ollen hyperbolisten funktioiden käänteisfunktiot liittävät yksikköhyperbelin pisteisiin vastaavan pinta-alan, minkä vuoksi niitä kutsutaan areafunktioiksi.

../_images/yksikkohyperbeli.svg

Tällä kurssilla hyperboliset funktiot lähinnä esitellään ilman, että niihin perehdytään sen tarkemmin. Määrittelystään johtuen hyperbolisilla funktioilla on hyvin paljon samankaltaisia ominaisuuksia trigonometristen funktioiden kanssa, ja niitä esiintyy erityisesti sovelletussa matematiikassa ja fysiikassa. Esimerkiksi kahdesta pisteestä kiinnitetty vapaasti roikkuva ketju asettuu muotoon, joka voidaan ilmaista hyperbolisen kosinin avulla. Lisäksi käy ilmi, että hyperboliset funktiot voidaan esittää suhteellisen tiiviisti eksponenttifunktioiden \(e^x\) ja \(e^{-x}\) yhdistelminä.

Määritelmä 3.6.1

Hyperbolinen sini \(\sinh\) ja hyperbolinen kosini \(\cosh\) ovat reaalifunktioita, joiden lausekkeet ovat

\[\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\qquad\text{ja}\qquad \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}.\]

Hyperbolinen tangentti \(\tanh\) on näiden suhde

\[\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}.\]
../_images/hyperboliset-fun.svg

Kaikkien hyperbolisten funktioiden määrittelyjoukoksi käy koko reaalilukujen joukko \(\R\). Funktioiden kuvaajat on hahmoteltu kuvaan. Hyperbolisen sinin arvojoukko on \(\R\), hyperbolisen kosinin \([1,\infty)\) ja hyperbolisen tangentin \((-1,1)\).

Esimerkki 3.6.2

Ratkaise yhtälö \(\sinh x=3\).

Piilota/näytä ratkaisu

Hyödynnetään hyperbolisen sinin määritelmää ja lavennetaan lausekkeella \(e^x\).

\[\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \frac{e^{2x} - 1}{2e^{x}} = 3.\]

Koska \(e^{x} \not= 0\), voidaan yhtälön molemmat puolet kertoa nimittäjällä \(2e^x\) ja yhtälö saa muodon \(e^{2x} - 6e^x - 1 = 0\), joka on toisen asteen polynomiyhtälö muuttujanaan \(e^{x}\). Täten

\[e^x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2} = 3 + \sqrt{10},\]

eli \(x=\ln(3+\sqrt{10})\approx1{,}8184\).

Hyperbolisille funktioille on voimassa monia samantapaisia kaavoja kuin trigonometrisille funktioille, kuten

\[\begin{split}\begin{aligned} \cosh^2 x - \sinh^2 x &= \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2 - \left(\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}\right)^2 \\ &= \frac{1}{4}\left(e^{2x} + 2 + e^{-2x} - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})\right) = 1. \end{aligned}\end{split}\]

Ne on helppo johtaa tarvittaessa määritelmiin perustuvalla suoralla laskulla.

Ketjukäyräksi eli katenaariksi nimitetään kahden tukipisteen varaan ripustetun taipuisan ketjun tai köyden muotoa. Seuraavan funktion kuvaaja on ketjukäyrä

\[f(x)=\frac{a}{2}(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}).\]
Missä toisessa muodossa voit esittää tämän funktion?
Missä \(xy\)-tason pisteessä \((x,y)\) yllä annetun funktion \(f\) kuvaajan huippu (usein nimenomaan minimikohta) sijaitsee?

Joskus halutaan, että huippu voi sijaita myös jossain muualla kuin koordinaattiakselilla. Hiukan yleisempi muoto funktiolle, jonka kuvaaja on katenaari, on

\[g(x)=f(x-\alpha)+\beta.\]
Sijoitus \(x-\alpha\) muuttujan \(x\) paikalle tarkoittaa, että funktioon \(f\) verrattuna funktion \(g\) kuvaajan huippu on siirtynyt luvun \(\alpha\) verran. Mihin suuntaan siirtymä tapahtuu, kun \(\alpha > 0\)? (Huomaa sijoituksessa miinusmerkki ennen lukua \(\alpha\).)
Luvun \(\beta\) lisäys tarkoittaa myös, että funktioon \(f\) verrattuna funktion \(g\) kuvaajan huippu on siirtynyt luvun \(\beta\) verran. Mihin suuntaan siirtymä tapahtuu, kun \(\beta > 0\)?

Kuten mistä tahansa funktiosta, myös hyperbolisista funktioista saadaan surjektioita rajoittamalla niiden maalijoukko arvojoukoksi. Hyperbolinen sini ja tangentti ovat aidosti kasvavia funktioita joukossa \(\R\) ja hyperbolinen kosini joukossa \([0,\infty)\), joten näissä joukoissa ne ovat myös injektioita. Täten niille voidaan määritellä käänteisfunktiot.

Määritelmä 3.6.3

Areafunktiot ovat käänteisfunktioita hyperbolisille funktioille, jotka on rajattu bijektioiksi.

\[\begin{split}\begin{aligned} &\sinh : \R \to \R && \arsinh : \R \to \R \\ &\cosh : [0, \infty) \to [1, \infty) && \arcosh : [1, \infty) \to [0, \infty) \\ &\tanh : \R \to (-1, 1) && \artanh : (-1, 1) \to \R \end{aligned}\end{split}\]

Näistä funktioista käytetään myös merkintöjä \(\arsinh = \sinh^{-1}\), \(\arcosh = \cosh^{-1}\) ja \(\artanh = \tanh^{-1}\), joita ei tule sekoittaa potenssiin \(-1\).

Areafunktioille voidaan kehittää myös lausekkeet hyperbolisten funktioiden määritelmien avulla. Tässä voidaan edetä kuten esimerkissä 3.6.2 mutta merkitsemällä symbolisesti \(\sinh x = y\). Areasinin, areakosinin ja areatangentin lausekkeet ovat seuraavanlaiset.

(1)\[\begin{split}\begin{aligned} \arsinh x&=\ln\big(x+\sqrt{x^2+1}\big) && (x\in\R)\\ \arcosh x&=\ln\big(x+\sqrt{x^2-1}\big) && (x\ge1)\\ \artanh x&=\frac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) && (-1<x<1) \end{aligned}\end{split}\]