1. Funktiot »
  2. Käänteisfunktio ja yhdistetty funktio
\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]

Käänteisfunktio ja yhdistetty funktio

Käänteisfunktio

Tämä osio aloitetaan perehtymällä käänteisfunktion käsitteeseen. Funktion määritelmän mukaan funktio liittää jokaiseen määrittelyjoukkonsa alkioon täsmälleen yhden maalijoukkonsa alkion. Käänteisfunktion tapauksessa halutaan kääntää tämä sääntö toiseen suuntaan, eli halutaan löytää funktio, joka liittää maalijoukon jokaiseen alkioon y sellaisen yksikäsitteisen määrittelyjoukon alkion x, että \(f(x)=y\). Aina tämä ei ole mahdollista, mutta jos on, niin kyse on alkuperäisen funktion käänteisfunktiosta.

Esimerkiksi funktion \(f(x)=x+3\) käänteisfunktio on \(f^{-1}(y)=y-3\), sillä

\[f^{-1}(f(x))= f(x) - 3 = x+3 -3 =x.\]

Käänteisfunktio siis palauttaa alkion \(x\) kuvan \(f(x)\) takaisin alkioksi \(x\). Lisäksi huomataan, että \(f(f^{-1}(y))=y\). Nämä havainnot voidaan muotoilla yleiseksi käänteisfunktion määritelmäksi.

Määritelmä 2.3.1

Funktiolla \(f \colon A\to B\) on olemassa käänteisfunktio (inverse function) \(f^{-1} \colon B \to A\) jos ja vain jos jokaista joukon \(B\) alkiota \(y\) vastaa täsmälleen yksi joukon \(A\) alkio \(x\) siten, että \(f(x)=y\). Tällöin merkitään

\[f^{-1} \colon B \to A, \qquad f^{-1}(y)=x.\]

Funktio \(f \colon A \to B\) ja sen käänteisfunktio \(f^{-1} \colon B \to A\) toteuttavat siis ehdot

\[y=f(x)\ \Leftrightarrow\ x=f^{-1}(y)\]

ja

(1)\[f^{-1}(f(x))=x\qquad\text{ja}\qquad f(f^{-1}(y))=y\]

kaikilla joukon \(A\) alkioilla \(x\) ja kaikilla joukon \(B\) alkioilla \(y\).

../_images/kaanteisfunktion-havainnollistus.svg

Käänteisfunktioita pohdittaessa on tärkeää muistaa, että funktioon liittyy sen lausekkeen lisäksi aina määrittelyjoukko ja maalijoukko. Nämä ovatkin usein ratkaisevassa asemassa sen suhteen, onko funktiolla käänteisfunktiota.

Tutkitaan seuraavaksi esimerkkifunktiota \(f: \R \to \R\), \(f(x)=x^2+1\). Huomataan, että esimerkiksi maalijoukon alkio \(2\) saadaan määrittelyjoukon alkion \(1\) kuvana, sillä \(f(1) = 1^2 + 1 = 2\). Toisaalta alkio \(2\) saadaan myös alkion \(-1\) kuvana. Koska \(1 \not= -1\) mutta silti \(f(1) = f(-1) = 2\), voidaan todeta, että funktio \(f\) ei ole injektio. Saman päättelyn voi ilmaista myös niin, että injektiivisyyttä ei ole, koska maalijoukon alkion \(2\) alkukuvajoukko sisältää enemmän kuin yhden alkion: tässä tapauksessa alkiot \(-1\) ja \(1\).

Jos funktiolla on käänteisfunktio, voidaan ajatella, että käänteisfunktio saadaan aikaan alkuperäisestä funktiosta ”suuntaa vaihtamalla”. Toisin sanoen maalijoukko ajatellaan määrittelyjoukkona ja toisinpäin, mutta muuten alkiot yhdistetään samalla tavalla. Tässä esimerkkinä olevan funktion \(f\) suunnanvaihto tuottaa sellaisen alkiot yhdistävän säännön, joka liittää alkion \(2\) kahteen eri alkioon, nimittäin alkioihin \(-1\) ja \(1\). Tällainen sääntö ei voi olla funktio. Näin ollen funktiolla \(f\) ei ole käänteisfunktiota.

Mietitään vielä saman funktion \(f\) maalijoukon alkioon \(-7\) liittyvää alkukuvaa. Funktio \(f\) ei liitä maalijoukon alkioon \(-7\) yhtään määrittelyjoukon alkiota, sillä \(-7\) ei kuulu funktion \(f\) arvojoukkoon. Siis alkion \(-7\) alkukuva on tyhjä joukko, ja tällöin funktio \(f\) ei ole surjektio. Kun taas keskitytään funktion ”suunnanvaihdolla” saatavaan alkioita yhdistävään sääntöön, huomataan, että alkiota \(-7\) ei voi tässä säännössä liittää yhteenkään alkioon. Näin ollen kyseinen sääntö ei tälläkään perusteella voi olla funktio. On siis perusteltu toisella tavalla, että funktiolla \(f\) ei ole käänteisfunktiota.

Nämä havainnot ovat voimassa yleisemminkin. Jotta funktiolla olisi olemassa käänteisfunktio, täytyy funktion olla sekä injektio että surjektio. Toisin sanoen kääntyvän funktion täytyy olla bijektio. Toisaalta jokaisella bijektiolla on käänteisfunktio. Bijektion tapauksessa jokaisella maalijoukon alkiolla on täsmälleen yhden alkion sisältävä alkukuva. Aiemmin mainittiin, että alkukuvajoukkoa ja käänteisfunktion arvoa merkitään samalla merkinnällä \(f^{-1}(y)\). Syy tähän on nyt yksinkertaisesti se, että yhden alkion joukko rinnastetaan käänteisfunktion tapauksessa joukon ainoaan alkioon.

Jos funktiolla \(f\) on käänteisfunktio, saadaan käänteisfunktion lauseke selville niin, että merkitään \(f(x)=y\) ja ratkaistaan yhtälö muuttujan \(x\) suhteen. Tällöin saadaan käänteisfunktion lauseke muuttujan \(y\) suhteen ilmaistuna eli \(x=f^{-1}(y)\). Muista, että samanlainen yhtälönratkaisu voidaan tehdä usein myös sellaisille funktioille, jotka eivät (esimerkiksi määrittely- tai maalijoukon valinnan takia) ole kääntyviä. Älä siis suoraan yhtälönratkaisun jälkeen väitä saaneesi käänteisfunktion lauseketta, jos et voi olla varma, että alkuperäinen funktio on kääntyvä. Kääntyvyyden voi osoittaa muun muassa seuraavalla tavalla.

Esimerkki 2.3.2

Osoita, että funktiolla \(f \colon [0,\infty) \to [1,\infty)\), \(f(x)=x^2+1\) on käänteisfunktio.

Piilota/näytä ratkaisu

Olkoon \(y\in[1,\infty)\). Tällöin

\[\begin{split}\begin{aligned} f(x)=y&\Leftrightarrow x^2+1=y\\ &\Leftrightarrow x^2=y-1\\ &\stackrel{\geq 0}{\Leftrightarrow} x=\sqrt{y-1} \quad\text{tai}\quad x=-\sqrt{y-1} \end{aligned}\end{split}\]

Näistä \(-\sqrt{y - 1}\) ei sisälly funktion \(f\) määrittelyjoukkoon, joten on olemassa täsmälleen yksi sellainen välin \([0, \infty)\) alkio \(x\), että \(f(x)=y\), eli \(f\) on bijektio. Siis käänteisfunktio on

\[f^{-1}\colon[1,\infty)\to[0,\infty),\ f^{-1}(y)=\sqrt{y-1}.\]

Tarkistetaan vielä käänteisfunktion ominaisuudet.

\[\begin{split}\begin{aligned} f(f^{-1}(y))&=(\sqrt{y-1})^2+1=(y-1)+1=y\\ f^{-1}(f(x))&=\sqrt{(x^2+1)-1}=\sqrt{x^2}=|x|\stackrel{x\geq 0}{=}x \end{aligned}\end{split}\]

Aiemmin huomautettiin, että funktiolla \(f(x)=x^2+1\) ei ole käänteisfunktiota, koska se ei ole injektio eikä surjektio. Toisaalta edellisessä esimerkissä saman lausekkeen mukaiselle funktiolle löydettiin käänteisfunktio. Onko tämä ristiriita?

Esimerkissä 2.3.2 käänteisfunktion lauseke onnistutaan löytämään, sillä funktion määrittelyjoukkoa ja maalijoukkoa on rajattu siten, että funktio on bijektio. Yleisesti ottaen funktiosta \(f \colon A\to B\) saadaan aina surjektio, jos sen maalijoukoksi vaihdetaan arvojoukko, eli tarkastellaan funktiota \(f \colon A\to f(A)\). Niinpä maalijoukkoa muuttamalla mistä tahansa injektiosta saadaan bijektio, ja tällöin sillä on käänteisfunktio.

Seuraava tulos yhdistää reaalifunktion ja sen käänteisfunktion kuvaajat geometrisesti.

Lause 2.3.3

Jos reaalifunktiolla \(f\) on käänteisfunktio \(f^{-1}\), niin funktioiden \(f\) ja \(f^{-1}\) kuvaajat \(G_f\) ja \(G_{f^{-1}}\) ovat peilikuvia suoran \(y=x\) suhteen.

Piilota/näytä todistus

Pisteen \((x,y)\) peilikuva suoran \(y=x\) suhteen on \((y,x)\). Riittää siis osoittaa, että \((x,y)\in G_f\) jos ja vain jos \((y,x)\in G_{f^{-1}}\). Todistetaan väite kahdessa osassa.

”\(\Rightarrow\)” Jos \((x,y)\in G_f\), niin \(y=f(x)\) ja siten \(x=f^{-1}(y)\). Täten \((y,x)=(y,f^{-1}(y))\in G_{f^{-1}}\).

”\(\Leftarrow\)” Käänteisfunktion käänteisfunktio \((f^{-1})^{-1} = f\), joten väite seuraa edellisestä kohdasta.

Onko seuraavilla kuvauksilla olemassa käänteiskuvausta? Valitse kuhunkin kohtaan sopiva vaihtoehto. Kiinnitä huomiota kuvausten lähtö- ja maalijoukkoihin! Kuvaajan piirtäminen saattaa helpottaa miettimistä.

\(f \colon \Z \to \Z\), \(f(x) = 3-5x\)
\(g \colon \R \to \R,\) \(g(x) = 3-5x\)
\(h \colon \N \to \N, h(x) = \vert x - 2 \vert\)

Yhdistetty funktio

Funktioita yhdistämällä voidaan muodostaa uusia funktioita. Kahden funktion \(f\) ja \(g\) yhdistäminen onnistuu, jos funktio \(g\) on määritelty funktion \(f\) koko maalijoukossa. Tällöin funktio \(f\) kuvaa alkion \(x\) alkioksi \(f(x)\), joka edelleen voidaan kuvata funktion \(g\) avulla alkioksi \(g(f(x))\). Usein erilaiset funktiot voidaan tulkita toisten funktioiden yhdisteiksi, joten määritellään seuraavaksi funktioiden \(f\) ja \(g\) yhdistetty funktio.

Määritelmä 2.3.4

Jos \(f \colon A\to B\) ja \(g \colon B\to C\) ovat funktioita, niin yhdistetty funktio (composite function) \(g\circ f \colon A\to C\) määritellään asettamalla

\[(g\circ f)(x)=g(f(x)).\]

Funktiota \(f\) sanotaan sisäfunktioksi ja funktiota \(g\) ulkofunktioksi. Merkintä \(g\circ f\) luetaan yksinkertaisesti ”g pallo f”.

../_images/yhdistetty-funktio-havainnollistus.svg

Kuvan mukaisesti yhdistetty funktio ikään kuin kuljettaa määrittelyjoukon \(A\) alkion \(x\) joukon \(B\) alkion \(f(x)\) kautta lopulliselle kuvalle \(g(f(x))\) maalijoukossa \(C\).

Esimerkki 2.3.5

  1. Olkoot \(f\) ja \(g\) funktioita säännöillä \(f(x)=x^3+3\) ja \(g(x)=\sqrt{x-1}\). Näistä voidaan muodostaa yhdistetyt funktiot sijoittamalla sisäfunktion lauseke ulkofunktiossa muuttujan \(x\) paikalle

    \[\begin{split}\begin{aligned} (f\circ g)(x)&=f(\sqrt{x-1})=(\sqrt{x-1})^3+3=(x-1)^{3/2}+3\\ (g\circ f)(x)&=g(x^3+3)=\sqrt{(x^3+3)-1}=\sqrt{x^3+2}. \end{aligned}\end{split}\]

    Koska ulkofunktio \(f\) on määritelty kaikilla \(x\in\R\), yhdistetyn funktion \(f \circ g\) määrittelyjoukko määräytyy sisäfunktion \(g\) määrittelyjoukosta, eli \(x\geq 1\).

    Koska sisäfunktio \(f\) on nyt kaikkialla määritelty, yhdistetyn funktion \(g \circ f\) määrittelyjoukko on se joukko, jolla sisäfunktion arvot \(f(x)\) ovat ulkofunktion \(g\) määrittelyjoukossa. Siis vaaditaan, että \(f(x)=x^3+3 \geq 1\), eli \(x \geq -\sqrt[3]{2}\).

  2. Olkoot \(f\) ja \(g\) funktioita säännöillä \(f(x)=\dfrac{2}{x}\) ja \(g(x)=\dfrac{x}{1-x}\). Nyt

    \[(f\circ g)(x)=f(g(x))=\frac{2}{\frac{x}{1-x}}=\frac{2(1-x)}{x}.\]

    Jotta sisäfunktio \(g(x)\) olisi määritelty, on oltava \(x\ne1\). Toisaalta ulkofunktion määrittely vaatii, että \(g(x)\ne0\), eli \(x\ne0\). Yhdistetyn funktion \(f\circ g\) määrittelyjoukko on siis \(\R\setminus\{0,1\}\). Samalla tavoin yhdistetyn funktion

    \[(g\circ f)(x)=g(f(x))=\frac{\frac2x}{1-\frac2x}=\frac{2}{x-2}\]

    määrittelyjoukoksi saadaan \(\R\setminus\{0,2\}\).

Mietitäänpä vielä edellisen esimerkin kohdan 2 yhdistettyä funktiota \(g \circ f\).

Miten funktion \(g \circ f\) lausekkeen lopullisessa muodossa näkyy se, että funktioon \(g \circ f\) ei saa sijoittaa arvoa \(0\)?
Miksi funktioon \(g \circ f\) ei saa sijoittaa arvoa \(0\)?
Voisiko ilman funktion \(g \circ f\) lausekkeen muodostamista päätellä, että lukua \(2\) ei voi sijoittaa funktioon \(g \circ f\)?
Yhdistetyn funktion määrittelyjoukko on

Joukon \(A\) identtinen kuvaus on funktio \(\id_A\colon A \to A\), jolle \(\id_A(x) = x\) kaikilla \(x \in A\). Näin ollen funktion \(f\colon A \to B\) ja sen käänteisfunktion \(f^{-1}\colon B \to A\) toteuttamat ehdot \(f^{-1}(f(x)) = x\) kaikilla \(x \in A\) ja \(f(f^{-1}(y)) = y\) kaikilla \(y \in B\) voidaan ilmaista vastaavasti yhdisteinä

\[f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A\qquad\text{ja}\qquad f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B.\]

Seuraavassa taulukossa on annettuna muutamia funktioiden \(f\) ja \(g\) arvoja. Molemmat funktiot ovat kääntyviä eli niillä on käänteisfunktiot.

\[\begin{split}\begin{array}{c|ccccc} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\\hline f(x) & 0 & 2 & -1 & -2 & 1 \\ g(x) & 1 & -2 & 2 & 0 & -1 \end{array}\end{split}\]

Vastaa kysymyksiin taulukon perusteella. Anna vastaukset kokonaislukuna aina kun mahdollista, ja muulloin desimaalilukuna (aina tarkkana arvona). Käytä desimaalierottimena pistettä.

Mitä on \((f \circ g)(-1)\)?
Mitä on \((g \circ f)(-1)\)?
Mitä on \((f \circ f)(-1)\)?
Mitä on \(\dfrac{1}{f(1)}\)?
Mitä on \(f^{-1}(1)\)?
Mitä on \((f^{-1} \circ g^{-1})(2)\)?