$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$

Joukkojen samuus ja joukko-operaatiot¶

Tarkastellaan ensin kuinka voimme tutkia joukkojen osajoukkoutta tai samuutta. Ensinnäkin, joukko $A$ on joukon $B$ osajoukko täsmälleen silloin, kun jokainen joukon $A$ alkio kuuluu myös joukkoon $B$ . Siis $A\subseteq B$ täsmälleen silloin, kun pätee ” $x\in A\Rightarrow x\in B$ ”. Tämän vuoksi osoitettaessa, että $A$ on joukon $B$ osajoukko, voidaan joukosta $A$ valita mielivaltainen alkio ja osoittaa, että se kuuluu myös joukkoon $B$ . Havainnollistetaan tätä seuraavalla esimerkillä.

Esimerkki 1.3.1

Olkoot joukot

$\begin{split}\begin{aligned} A&=\{n\in\N : \text{luvun }n\text{ kaksi viimeistä numeroa ovat 24}\}\qquad\text{ja}\\ B&=\{n\in\N : n\text{ on jaollinen luvulla 4}\}. \end{aligned}\end{split}$

Osoita, että $A \subseteq B$ .

Piilota/näytä todistus

Oletetaan, että $n \in A$ ja pyritään osoittamaan, että $n \in B$ . Oletuksen nojalla luonnollisen luvun $n$ kaksi viimeistä numeroa (kymmenjärjestelmässä) ovat 24, joten

$n = 100k + 24$

jollakin $k = 0, 1, 2, \ldots$ Nyt tässä esityksessä voidaan ottaa $4$ yhteiseksi tekijäksi, jolloin $n = 4(25k + 6)$ . Luku $25k + 6$ on kokonaisluku, sillä $25$ , $k$ ja $6$ ovat kokonaislukuja, ja täten $4$ on luvun $n$ tekijä. Siis $n \in B$ , ja näin on osoitettu, että $A \subseteq B$ .

Voidaan myös todeta, että $A=B$ täsmälleen silloin, kun $A\subseteq B$ ja $B\subseteq A$ . Usein on varsin suoraviivaista osoittaa, että joukko on toisen osajoukko. Tämän vuoksi joukkojen samuus osoitetaankin usein kahdessa osassa todistamalla erikseen osajoukkoudet $A\subseteq B$ ja $B\subseteq A$ . Demonstroidaan tätä yksinkertaisella esimerkillä. Lisäksi tätä ajatusta käytetään Lauseen 1.3.6 todistuksessa.

Esimerkki 1.3.2

Tarkastellaan joukkoja $A=\{1,2,3\}$ ja $B=\{n\in \N\ :\ 0<n<4\}$ . Osoitetaan, että $A=B$ .

Piilota/näytä ratkaisu

Todetaan ensin, että $A\subseteq B$ . Jos $n=1$ , $n=2$ tai $n=3$ , niin selvästi $n\in\N$ ja $0<n<4$ , eli jos $x\in A$ , niin $x\in B$ . Tämä tarkoittaa sitä, että $A\subseteq B$ .

Seuraavaksi osoitetaan, että $B\subseteq A$ . Valitaan mielivaltainen joukon $B$ alkio $n$ . Nyt tiedetään, että $n\in \N$ ja $0<n<4$ . Avoimella välillä $(0,4)$ on täsmälleen kolme luonnollista lukua ja ne ovat $1$ , $2$ ja $3$ . Täten $n\in\{1,2,3\}=A$ . Siis $B\subseteq A$ .

Koska $A\subseteq B$ ja $B\subseteq A$ , niin on oltava $A=B$ .

Tutustutaan seuraavaksi joukko-operaatioihin. Näiden avulla voidaan esimerkiksi esittää erilaisia joukkoja hyvinkin kompaktissa muodossa. Joukko-operaatioiden tulkintaan ja havainnollistamiseen tutustutaan matemaattisen määritelmän jälkeen tarkemmin.

Määritelmä 1.3.3

Joukkojen $A$ ja $B$ yhdiste (union) $A\cup B$ , leikkaus (intersection) $A\cap B$ ja erotus $A\setminus B$ määritellään asettamalla

$\begin{split}\begin{aligned} A\cup B&=\{x : x\in A\lor x\in B\},\\ A\cap B&=\{x : x\in A\land x\in B\},\\ A\setminus B&=\{x : x\in A\land x\not\in B\}. \end{aligned}\end{split}$

Joukot $A$ ja $B$ ovat erillisiä eli pistevieraita (disjoint), jos joukoilla ei ole yhteisiä alkioita, eli $A\cap B=\varnothing$ . Jos $A \subset E$ , niin joukon $A$ komplementti (complement) $\overline{A}$ perusjoukon $E$ suhteen on

$\overline{A}=E \setminus A=\{x\in E : x\not\in A\}.$

Joukkojen $A$ ja $B$ yhdiste $A\cup B$ sisältää siis alkiot, jotka ovat joukossa $A$ tai joukossa $B$ . Yhdisteeseen kuuluva alkio voi siten myös sisältyä kumpaankin joukkoon. Joukkojen $A$ ja $B$ leikkaus $A\cap B$ puolestaan sisältää vain ne alkiot, jotka sisältyvät samanaikaisesti sekä joukkoon $A$ että joukkoon $B$ . Joukkojen $A$ ja $B$ erotukseen $A\setminus B$ kuuluvat ne joukon $A$ alkiot, jotka eivät kuulu joukkoon $B$ . Siispä joukon $A$ komplementtiin $\overline{A}$ sisältyvät joukon $A$ sisältämän perusjoukon $E$ alkiot, jotka eivät kuulu joukkoon $A$ .

Edellä määriteltyjä joukko-operaatioita voidaan havainnollistaa Vennin kaavioiden avulla. Vennin kaavioissa joukkoja esitetään tyypillisesti ympyröillä, jolloin kunkin ympyrän sisäpuoli edustaa yhden joukon alkioita. Esimerkiksi kahden joukon leikkaukseen kuuluu tämän tulkinnan mukaisesti kaavion se osa, joka jää molempien ympyröiden sisään eli kuuluu molempiin joukkoihin. Alla on esitetty joukko-operaatiot Vennin kaavioiden eli Venn-diagrammien avulla joukoille $A$ ja $B$ sekä perusjoukolle $E$ .

Esimerkki 1.3.4

Jos $A=\{0,2,3,4\}$ ja $B=\{1,2\}$ , niin

$\begin{split}\begin{aligned} &A\cup B=\{0,1,2,3,4\} && A\setminus B=\{0,3,4\}\\ &A\cap B=\{2\} && A\setminus\Z=\varnothing. \end{aligned}\end{split}$
Jos $A=(1,3]$ ja $B=(2,5)$ , niin

$\begin{split}\begin{aligned} &A\cup B=(1,5) && A\setminus B=(1,2]\\ &A\cap B=(2,3] && \R\setminus A=(-\infty,1]\cup(3,\infty). \end{aligned}\end{split}$

Joukko-operaatiot voivat liittyä toisiinsa monin tavoin, ja sama joukko voidaan esittää usealla eri tavalla annettujen joukkojen laskutoimituksen tuloksena. Näin saadaan joukkojen laskutoimituksille laskusääntöjä, joiden avulla voidaan esimerkiksi sieventää laskutoimituksiin liittyviä lausekkeita (esimerkki 1.3.8).

Lause 1.3.5

$A\setminus B=A\cap \overline{B}$ .

Piilota/näytä todistus

Vakuuttaudu ensin tuloksesta Vennin kaavion avulla. Joukko-operaatioiden määritelmiin perustuva todistus voidaan muotoilla seuraavasti.

$\begin{split}\begin{aligned} x\in A\setminus B &\Leftrightarrow x\in A\land x\not\in B&&\text{erotuksen määritelmä}\\ &\Leftrightarrow x\in A\land x\in \overline{B}&&\text{komplementin määritelmä}\\ &\Leftrightarrow x\in A\cap \overline{B}&&\text{leikkauksen määritelmä} \end{aligned}\end{split}$

Yllä olevat ekvivalenssit perustelevat sen, että alkio $x$ kuuluu joukkoon $A \setminus B$ täsmälleen silloin, kun se kuuluu joukkoon $A\cap\overline{B}$ , joten kyseiset joukot ovat samat.

Lause 1.3.6

Olkoot $A$ , $B$ ja $C$ joukkoja. Tällöin seuraavat yhtäsuuruudet ovat voimassa.

$\begin{split}\begin{array}{rlll} 1. & \overline{\overline{A}} = A &\qquad& \text{kaksoiskomplementtilaki} \\ 2. & A\cup B=B\cup A \quad\text{ja}\quad A\cap B=B\cap A && \text{vaihdantalait} \\ 3. & A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C \quad\text{ja} && \text{liitäntälait} \\ & A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C && \\ 4. & A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C) \quad\text{ja} && \text{osittelulait} \\ & A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C) && \\ 5. & \overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B} \quad\text{ja}\quad \overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B} && \text{de Morganin lait} \end{array}\end{split}$

Piilota/näytä todistus

Todistetaan esimerkin vuoksi osittelulaki $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$ . Muiden kohtien todistukset ovat samankaltaisia. Todistetaan joukkojen samuus osoittamalla osajoukkoudet

$A\cap(B\cup C)\subseteq (A\cap B)\cup(A\cap C) \qquad \text{ja} \qquad (A\cap B)\cup(A\cap C)\subseteq A\cap(B\cup C).$

Ensinnäkin olkoon $x\in A\cap(B\cup C)$ mielivaltaisesti valittu. Leikkauksen määritelmän mukaisesti $x\in A$ ja $x\in B\cup C$ . Siis yhdisteen määritelmän mukaisesti sen lisäksi, että $x\in A$ , täytyy olla $x\in B$ tai $x\in C$ . Jos $x\in B$ , niin $x\in A$ ja $x\in B$ , eli $x\in A\cap B$ . Edelleen $x\in (A\cap B)\cup(A\cap C)$ , koska ainakin toinen ehdoista $x\in (A\cap B)$ tai $x\in (A\cap C)$ toteutuu. Jos taas $x\in C$ , niin $x\in A$ ja $x\in C$ , eli $x\in A\cap C$ , ja edelleen $x\in (A\cap B)\cup(A\cap C)$ . Siispä joka tapauksessa $x\in(A\cap B)\cup(A\cap C)$ . Täten $A\cap(B\cup C)\subseteq (A\cap B)\cup(A\cap C)$ .

Olkoon nyt $x\in (A\cap B)\cup(A\cap C)$ mielivaltaisesti valittu. Tällöin yhdisteen määritelmän nojalla $x\in A\cap B$ tai $x\in A\cap C$ . Jos $x\in A\cap B$ , niin $x\in A$ ja $x\in B$ . Koska $x\in B$ , niin $x\in B\cup C$ . Siis $x\in A$ ja $x\in B\cup C$ , eli $x\in A\cap(B\cup C)$ . Jos taas $x\in A\cap C$ , niin $x\in A$ ja $x\in C$ . Koska $x\in C$ , niin $x\in B\cup C$ . Siis $x\in A$ ja $x\in B\cup C$ , eli $x\in A\cap(B\cup C)$ . Jälleen joka tapauksessa $x\in A\cap(B\cup C)$ ja näin ollen $(A\cap B)\cup(A\cap C)\subseteq A\cap(B\cup C)$ .

Joukkoihin $A \cap (B \cup C)$ ja $(A\cap B)\cup(A\cap C)$ liittyvät Vennin kaaviot voidaan piirtää kuten alla.

Huomautus 1.3.7

Useamman kuin kahden joukon yhdiste ja leikkaus voidaan merkitä ilman sulkuja. Tämä on perusteltua liitäntälakien

$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) = A \cup B \cup C \qquad\text{ja}\qquad (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) = A \cap B \cap C$

vuoksi. Huomaa myös, että yhdisten ja leikkauksen määritelmien perusteella voimme kirjoittaa $A\cup B=B\cup A$ ja $A\cap B=B\cap A$ , eli yllä olevissa lausekkeissa voidaan vaihtaa myös joukkojen järjestys vapaasti. Esimerkiksi

$A \cup B \cup C = C \cup B \cup A$

Esimerkki 1.3.8

Ilmaise joukot

$A \cup (\overline{A} \cap B) \qquad \text{ja} \qquad (A\setminus B)\cup(A\cap B)\cup(B\setminus A)$

mahdollisimman yksinkertaisessa muodossa.

Piilota/näytä ratkaisu

Ensimmäisen joukon tapauksessa sovelletaan osittelulakia, jolloin

$A \cup (\overline{A} \cap B) = (A \cup \overline{A}) \cap (A \cup B) = E \cap (A \cup B) = A \cup B,$

missä $A \cup \overline{A} = E$ on perusjoukko, jonka suhteen komplementti määritellään. Koska perusjoukko sisältää kaikki mahdolliset alkiot, leikkaus sen kanssa ei muuta käsiteltävää joukkoa.

Toista joukkoa varten muistetaan, että $A \setminus B = A \cap \overline{B}$ ja sovelletaan osittelulakia kahdesti.

$\begin{split}\begin{aligned} (A \setminus B)\cup(A\cap B)\cup(B\cap \overline{A}) &=((A\cap \overline{B})\cup(A\cap B))\cup(B\cap \overline{A})\\ &=(A\cap(\overline{B}\cup B))\cup(B\cap \overline{A})\\ &=A\cup(B\cap \overline{A})\\ &=(A\cup B)\cap(A\cup \overline{A})\\ &=A\cup B \end{aligned}\end{split}$

Joukon yhdiste komplementtinsa kanssa on koko perusjoukko, ja minkä tahansa joukon $A$ ja perusjoukon leikkaus on yksinkertaisesti joukko $A$ itse. Tätä tietoa on hyödynnetty kolmannen yhtäsuuruuden kohdalla.