\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Reaaliluvuista ja itseisarvoyhtälöistä¶

Tässä osioissa perehdytään tarkemmin itseisarvoon sekä itseiarvoyhtälöihin ja -epäyhtälöihin. Lukiostakin ovat tuttuja jo reaaliluvut ja niiden laskutoimitukset \(+\) ja \(\cdot\), reaalilukujen algebralliset ominaisuudet ja niiden järjestys. Kerrataan ne kuitenkin tässä antamalla ne aksioomina, eli oletetaan yksinkertaisesti niiden olevan voimassa. Itseasiassa voidaan osoittaa, että reaalilukujen joukon on toteutettava seuraavat aksioomat

kunta-aksioomat eli joukon \(\R\) algebralliset ominaisuudet,
järjestysaksioomat,
täydellisyysaksiooma (sivuutetaan).

Määritelmä 1.4.1

Seuraavat kunta-aksioomat 1–7 kertovat reaalilukujen algebralliset ominaisuudet.

\(\forall x, y \in \R\colon x + y = y + x, xy = yx\). (vaihdantalait)
\(\forall x, y, z \in \R\colon \left( x + y \right) + z = x + \left( y + z \right), \left( xy \right)z = x \left( yz \right)\). (liitäntälait)
\(\forall x, y ,z \in \R\colon x\left( y + z \right) = xy + xz\). (osittelulaki)
\(\exists 0\colon \forall x\colon x + 0 = x\). (nolla-alkio)
\(\exists 1 \in \R\colon \forall x \in \R\colon x \cdot 1 = x\). (ykkösalkio)
\(\forall x \in \R\colon \exists \left( -x \right) \in \R\colon x + \left( -x \right) = 0\). (vasta-alkio)
\(\forall x \in \R\setminus\{ 0 \}\colon \exists x^{-1} \in \R\colon x \cdot x^{-1} = 1\). (käänteisalkio)

Reaalilukujen aksioomeista saa johdettua useita reaalilukujen ominaisuuksia, jotka yleensä otamme itsestäänselvyyksinä. Esimerkiksi tunnetusti reaalilukujen nolla-alkio ja ykkösalkio ovat yksikäsitteisiä. Osoitetaan tämä esimerkkinä siitä, kuinka kunta-aksioomeista seuraavia ominaisuuksia voidaan todistaa.

Lause 1.4.2

Reaalilukujen joukon \(\R\) nolla-alkio ja ykkösalkio ovat yksikäsitteisiä.

Huomaa, että tämän lauseen todistuksessa esim. merkintä \(0'\) ei suinkaan tarkoita vakiofunktion \(0\) derivaattaa, vaan sillä merkitään mitä tahansa sellaista reaalilukua, jolle on voimassa nolla-alkioon liittyvä ominaisuus. Todistuksessa osoitetaan, että vain alkio \(0\) täyttää tämän ominaisuuden. Tällaisen pilkkumerkinnän käyttö on aika yleistä matemaattisissa todistuksissa.

Piilota/näytä todistus

Olkoot \(0', 1' \in \R\) siten, että \(x + 0' = x\) ja \(x \cdot 1' = x\) kaikilla \(x \in \R\). Ensin valitsemalla \(x = 0\) huomataan, että \(0 + 0' = 0\) ja aksiooman mukaan \(0' + 0 = 0'\), joten vaihdantalain mukaan \(0' + 0 = 0 + 0'\) eli \(0' = 0\). Jos taas valitaan \(x = 1\), niin vastaavasti saadaan, että \(1\cdot 1' = 1\) ja \(1' \cdot 1 = 1'\). Tällöin jälleen soveltamalla vaihdantalakia saadaan \(1 = 1 \cdot 1' = 1' \cdot 1 = 1'\).

Siis nolla- ja ykkösalkio ovat yksikäsitteisiä.

Algebrallisten ominaisuuksien avulla saadaan myös määriteltyä seuraavat tunnetut operaatiot, joista potenssiin tullaan palaamaan myöhemmin alkeisfunktion tapauksessa.

erotus \(x - y = x + \left( -y \right)\).
osamäärä \(\frac{x}{y} = x \cdot y^{-1}\).
potenssi \(x^{n} = x \cdot x \cdot \cdots \cdot x\).

Määritelmä 1.4.3

Seuraavat järjestysaksioomat 1–4 kertovat reaalilukujen järjestysrelaation \(<\) ominaisuudet. Reaalilukujen joukossa \(\R\) ovat voimassa seuraavat järjestysaksioomat.

Kaikilla luvuilla \(x, y \in \R\) pätee tasan yksi ehdoista \(x < y\), \(y < x\) ja \(x = y\) ns. trikotomiaehto.
\(\forall x, y, z \in \R\colon x < y \Rightarrow x + z < y + z\).
\(\forall x, y ,z \in \R\colon x < y \land y < z \Rightarrow x < z\).
\(\forall x, y, c \in \R\colon x < y \land c > 0 \Rightarrow cx < cy\).

Näistä saadaan helposti pääteltyä seuraavat ominaisuudet joiden todistaminen sivuutetaan. Tämän kurssin kannalta oleellista on siis lähinnä tietää, että tällaiset ominaisuudet ovat olemassa. Ne ovatkin usein sellaisia, että niitä käytämme edes ajattelematta niiden olevan seurausta joistain muista ominaisuuksista.

Lause 1.4.4

Seuraavat väitteet ovat voimassa.

\(\forall x, y, c \in \R\colon x < y \land c < 0 \Rightarrow cy < cx\).
\(\forall x \in \R\colon x >0 \Rightarrow x^{-1} > 0\).
\(\forall x, y \in \R\colon 0 < x < y \Rightarrow 0 < y^{-1} < x^{-1}\).
\(\forall x \in \R\setminus\{0\} \colon x = \left( x^{-1} \right)^{-1}\).
\(\forall x, y \in \R\colon x > 0 \land y > 0 \Rightarrow xy > 0\).
\(\forall x,y,z,q \in \R: x,y,z,q > 0 \land x > y \land z > q \Rightarrow xz > yq \land \frac{x}{q} > \frac{y}{z}\).

Yhteenvetona reaalilukujen ominaisuuksiin liittyen: Käytännössä kaikki reaalilukujen tavalliset ominaisuudet joita lukiossakin on käytetty voidaan johtaa lähtien aksioomista liikkeelle. Tällä kurssilla voidaan ne olettaa tunnetuiksi tai triviaaleiksi (eli yksinkertaisiksi) tapauksiksi eikä niihin välttämättä tarvitse erikseen viitata.

Seuraavaksi määritellään itseisarvo ja siihen liittyvät ominaisuudet.

Määritelmä 1.4.5

Reaaliluvun \(x\) itseisarvo (absolute value) määritellään seuraavasti

\[\begin{split}\abs{x} = \begin{cases} x & \text{jos } x \ge 0 \\ -x & \text{jos } x < 0. \end{cases}\end{split}\]

Huomautus 1.4.6

Kaikilla \(x \in \R\) pätee \(\abs{x} \ge 0\) ja \(\abs{x} = 0\) täsmälleen silloin kun \(x = 0\). Itseisarvo voitaisiin myös määritellä potenssin ja neliöjuuren avulla \(\abs{x} = \sqrt{x^{2} }\). Yleisesti ottaen itseisarvo voidaan ajatella reaaliluvun etäisyytenä nollasta. Tästä nähdään, että itse asiassa jos \(x,y \in \R\), niin silloin \(\abs{x-y}\) kuvaa lukujen etäisyyttä toisiinsa nähden. Nimittäin

\[\begin{split}\abs{x -y} = \begin{cases} x - y &\text{jos } x \ge y \\ y - x &\text{jos } y \ge x. \end{cases}\end{split}\]

Jos lisäksi \(d \in \R_{+}\), niin silloin

\[\abs{x - y} \le d \ \text{jos ja vain jos } \ y - d \le x \le y + d.\]

Toisin sanoen luvun \(x\) etäisyys luvusta \(y\) on pienempi tai yhtäsuuri kuin \(d\).

Lause 1.4.7

Olkoot \(x,y \in \R\). Itseisarvo toteuttaa seuraavat ominaisuudet.

\(\abs{-x} = \abs{x}\).
\(\abs{xy} = \abs{x} \abs{y}\) ja \(\left|\dfrac{x}{y}\right| = \dfrac{\abs{x}}{\abs{y}}\).

Ominaisuuksien todistaminen sivuutetaan.

Esimerkki 1.4.8

Ratkaise \(\abs{2x -12} < 4\) ja \(\left| \frac{4 - 2x}{3} \right| \le 3\).

Piilota/näytä ratkaisu

Ensimmäisestä saadaan

\[\begin{split}\begin{aligned} \abs{2x -12} < 4 &\Leftrightarrow 12 - 4 < 2x < 12 + 4 \\ &\Leftrightarrow 8 < 2x < 16 \\ &\Leftrightarrow 4 < x < 8 \end{aligned}\end{split}\]

ja toiselle saadaan ratkaisu

\[\begin{split}\begin{aligned} \left| \frac{4 - 2x}{3} \right| \le 3 &\Leftrightarrow \frac{\abs{4 - 2x} }{\abs{3} } \le 3 \\ &\Leftrightarrow \frac{\abs{4 - 2x} }{3} \le 3 \\ &\Leftrightarrow \abs{4 - 2x} \le 9 \\ &\Leftrightarrow -4 - 9 \le -2x \le -4 + 9 \\ &\Leftrightarrow -13 \le -2x \le 5 \\ &\Leftrightarrow \frac{-5}{2} \le x \le \frac{13}{2} .\end{aligned}\end{split}\]

Ensimmäinen epäyhtälö oltaisiin voitu myös ratkaista geometrisesti. Nimittäin

\[\abs{2x -12} < 4 \Leftrightarrow \abs{x -6} < 2.\]

Tämä tarkoittaa, että lukujen \(x\) ja \(6\) etäisyys on aidosti vähemmän kuin \(2\), joka ilmenee suoraan kuvasta.

Seuraava lause on tärkeä ymmärtää ja hallita, sillä se on erittäin hyödyllinen työkalu.

Lause 1.4.9 (Kolmioepäyhtälö)

Olkoot \(x,y \in \R\). Tällöin \(\abs{x \pm y} \le \abs{x} + \abs{y}\).

Piilota/näytä todistus

Itseisarvon määritelmän mukaan \(x = \abs{x}\) tai \(x = - \abs{x}\), joten

\[-\abs{x} \leq x \leq \abs{x}\]

ja vastaavasti

\[-\abs{y} \leq y \leq \abs{y} .\]

Laskemalla nämä epäyhtälöt puolittain yhteen saadaan

\[-(\abs{x} + \abs{y}) \leq x + y \leq \abs{x} + \abs{y},\]

joten

\[\abs{x + y} \leq \abs{x} + \abs{y} .\]

Yllä olevan avulla saadaan, että

\[\abs{x-y} \leq \abs{x + (-y)} \leq \abs{x} + \abs{-y} \leq \abs{x} + \abs{y}.\]

Siis

\[\abs{x \pm y} \leq \abs{x} + \abs{y}.\]

Lause 1.4.10 (Käänteinen kolmioepäyhtälö)

Olkoot \(x, y \in \R\). Tällöin \(\abs{\abs{x} - \abs{y} } \le \abs{x \pm y}\).

Piilota/näytä todistus

Kolmioepäyhtälön mukaan saadaan

\[\abs{x} = \abs{\left( x + y \right) - y} \le \abs{x + y} + \abs{y}\]

\[\abs{y} = \abs{\left( x + y \right) -x} \le \abs{x + y} + \abs{x},\]

josta edelleen

\[\begin{split}\begin{aligned} \abs{x} - \abs{y} &\le \abs{x + y} \\ -\left( \abs{x} - \abs{y} \right) &\le \abs{x + y}. \end{aligned}\end{split}\]

Siis itseisarvon määritelmän nojalla

\[\abs{\abs{x} - \abs{y} } \le \abs{x + y}.\qedhere\]

Lause 1.4.11

Olkoot \(x, y \in \R\). Tällöin \(\abs{x} < \abs{y}\) jos ja vain jos \(x^{2} < y^{2}\).

Piilota/näytä todistus

Jos \(\abs{x} < \abs{y}\), niin \(\abs{x}^{2} < \abs{y}^{2}\) lauseen 1.4.4 nojalla. Siis \(x^{2}< y^{2}\). Vastaavasti saadaan kontrapositiolla. Jos \(\abs{x} \ge \abs{y}\), niin \(\abs{x}^{2} \ge \abs{y}^{2}\), joten \(x^{2} \ge y^{2}\). Siis \(\abs{x} < \abs{y}\) täsmälleen silloin kun \(x^{2} < y^{2}\).

Esimerkki 1.4.12

Ratkaise \(\left| \dfrac{x - 1}{x + 1} \right| < 1\).

Piilota/näytä ratkaisu

Edellistä lausetta voidaan käyttää tehtävän ratkaisemiseen. Siis

\[\begin{split}\begin{aligned} \left( \frac{x -1}{x + 1} \right)^{2} < 1^{2} &\Leftrightarrow \frac{\left( x -1 \right)^{2}}{\left( x + 1 \right)^{2}} < 1 \\ &\Leftrightarrow \left( x -1 \right)^{2} < \left( x + 1 \right)^{2} \\ &\Leftrightarrow x^{2} - 2x + 1 < x^{2} + 2x + 1 \\ &\Leftrightarrow 0 < 4x \\ &\Leftrightarrow 0 < x .\end{aligned}\end{split}\]