\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]

Vektoreiden yhteys funktioihin

Tässä luvussa perehdytään asiaan, jota harvemmin käsitellään lukiossa. Usean muuttujan funktion nimikin jo viittaa siihen, että funktion arvo riippuu useammasta muuttujasta. Tällöin funktion syötteenä on vektori, joka sisältää muuttujien saamat arvot. Usean muuttujan funktioiden käsitteiden tunteminen on yleissivistävää, sillä niille on esimerkiksi paljon sovelluksia fysiikassa. Moni suurehan riippuu useammasta tekijästä.

Tällä opintojaksolla keskitytään pääosin tasoon ja kolmiulotteiseen avaruuteen liittyviin funktioihin. Tärkeintä on, että opiskelija saa hieman tuntumaa usean muuttujan funktioihin ja pystyy suoriutumaan yksinkertaisista laskuista. Samoihin asioihin palataan opintojaksolla Usean muuttujan funktiot.

Vektoreista

Kerrataan lyhyesti vektorien ominaisuuksia. Lukiossa käsitellään vektoreita avaruuksissa \(\R^{2}\) ja \(\R^3\), eli tasossa ja kolmiulotteisessa avaruudessa. Intuitiivisesti samat tutut vektorien ominaisuudet voidaan määritellä myös avaruuksille \(\R^{n}\) eli euklidisille avaruuksille, joiden ulottuvuus on \(n \in \N\).

Määritelmä 7.1.1

Olkoon \(n \in \N\). Tällöin

\[\R^n=\{\,(x_1,\ldots,x_n) \mid x_i\in\R\,\},\]

missä vektori \(\bx=(x_1,\ldots,x_n)\) on \(n\):n reaaliluvun jono. Reaalilukuja \(x_i\) sanotaan vektorin \(\bx\) komponenteiksi.

Vektorien summa ja skalaarilla kertominen suoritetaan komponenteittain. Siis jos \(\bx = (x_1,\dots,x_n), \by = (y_1,\dots,y_n) \in \R^n\) ja \(k \in \R\), niin

\[\bx + \by = (x_1+y_1,\dots,x_n+y_n) \quad\text{ja}\quad k \bx = (kx_1,\dots,kx_n).\]

Vektorien yhteenlasku on vaihdannainen. Lisäksi yhteenlasku ja skalaarilla kertominen ovat liitännäisiä ja toteuttavat osittelulain. Nollavektorin \(\bzero = (0,\dots,0)\) lisääminen vektoriin \(\bx\) tuottaa aina vektorin \(\bx\) itsensä. Samoin reaaliluvulla \(1\) kerrottaessa vektori ei muutu.

Määritelmä 7.1.2

Vektorin \(\bx = (x_1,\dots,x_n) \in \R^n\) pituus on

\[\| \bx \| = \sqrt{ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \cdots + x_{n}^{2} }.\]

Vektoria jonka pituus on \(1\) kutsutaan yksikkövektoriksi. Kahden pisteen \(\bx\) ja \(\by\) välinen etäisyys on niiden välisen erotuksen pituus, eli \(\|\bx-\by\|\).

Määritelmä 7.1.3

Vektorien \(\bx = (x_1,\dots,x_n)\) ja \(\by = (y_1,\dots,y_n) \in \R^n\) pistetulo on

\[\bx \cdot \by = x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n.\]

Määritelmä 7.1.4

Sanomme, että vektorit \(\bx, \by \in \R^{n}\) ovat kohtisuorassa toisiaan vasten, mikäli

\[\bx \cdot \by = 0.\]

Seuraavassa kuvassa \(\bx\) esiintyy kolmessa roolissa: se on piste avaruudessa \(\R^n\), pisteen paikkavektori ja toisaalta siirtymävektori.

../_images/vektoreista.svg

Huomautus 7.1.5

Tässä luvussa käytetään vektoreille merkintojä

\[\bx=(x_1,\ldots,x_n) =x_1\be_1+\cdots+x_n\be_n,\]

missä vektorit \(\be_i\) ovat niin sanottuja standardikantavektoreita, joissa indeksiä \(i\) vastaava komponentti on \(1\) ja muut nollia. Esimerkiksi \(\be_1 = \left( 1, 0, \ldots, 0 \right)\) ja \(\be_2 = \left( 0, 1, 0, \ldots, 0 \right)\). Avaruudessa \(\R^{2}\) käytetään myös merkintöjä \(\bi = (1, 0)\) ja \(\bj =(0,1)\) ja avaruudessa \(\R^{3}\) merkintöjä \(\bi = (1,0,0)\), \(\bj = (0,1,0)\) ja \(\bk = (0, 0, 1)\).

Vastaa seuraaviin kysymyksiin.

Mikä on vektorin \(\bx = (1,2,3)\) pituus?
Mikä on vektoreiden \((1,2,3)\) ja \((-2,4,-1)\) pistetulo?
Mikä seuraavista vektoreista on kohtisuorassa vektoria \((a,b)\) vastaan?

Funktioiden termistöä

Usean muuttujan funktiot ovat tyyppiä \(f\colon\R^n\to\R^m\). Funktion \(f\) sanotaan olevan

  • yhden muuttujan reaaliarvoinen funktio (reaalifunktio), jos \(n=m=1\),
  • yhden muuttujan funktio, jos \(n=1\),
  • usean muuttujan funktio, jos \(n>1\),
  • reaaliarvoinen funktio, jos \(m=1\), ja
  • vektoriarvoinen funktio, jos \(m>1\).

Pääosin tarkastelemme tällä opintojaksolla reaaliarvoisia funktioita \(\R^2 \to \R\) ja \(\R^3 \to \R\).

Esimerkki 7.1.6

  1. Esimerkiksi \(f(x)=1-x^2\) on yhden muuttujan reaaliarvoinen funktio. Sen määrittelyjoukko on \(\R\) ja maalijoukko \(\R\). Funktio \(f\) onkin tyyppiä \(\R\to\R\).
  2. Funktio \(f\colon\R\to\R^2\), \(f(x)=(x,\,2x+1)\) on yhden muuttujan vektoriarvoinen funktio.
  3. Funktio \(f\colon\R^2\to\R\), \(f(x,y)=x^2+y-1\) on kahden muuttujan reaaliarvoinen funktio.
  4. Funktio \(f\colon\R^2\to\R^3\), \(f(x,y)=(x^2,\, xy-1,\,3y)\) on kahden muuttujan vektoriarvoinen funktio.

Yksinkertainen ja hyödyllinen vektoriarvoinen funktio on parametrisoitu käyrä, jossa avaruuden \(\R^n\) vektoriin \(\bx\) liitetään jokin parametrin arvo, ja tätä parametria merkitään usein kirjaimella \(t\). Toisin sanoen vektori \(\bx\) riippuu parametrista \(t\), eli vektorin komponentit riippuvat samasta parametrista. Voidaan siis merkitä \(\bx (t) = (x_1(t), x_2(t), \ldots, x_n(t))\).

Määritelmä 7.1.7

Tarkastellaan reaalilukuvälillä \([a,b] \subset \R\) määriteltyä yhden muuttujan vektoriarvoista funktiota

\[\br\colon[a,b]\to\R^n,\quad\br(t)=(x_1(t),x_2(t),\ldots,x_n(t)).\]

Funktioita \(x_i\colon[a,b]\to\R\) kutsutaan funktion \(\br\) koordinaattifunktioksi tai komponenttifunktioiksi. Jos funktio \(\br(t)\) on jatkuva (eli kaikki koordinaattifunktiot ovat jatkuvia), sitä kutsutaan parametrisoiduksi käyräksi (parametric curve). Pistettä \(\br(a)\) kutsutaan käyrän alkupisteeksi ja pistettä \(\br(b)\) loppupisteeksi.

Esimerkki 7.1.8

Seuraava kuva esittää käyrää \(\br(t)=(t^2,t^3-3t)\), \(-2\le t\le2\). Parametria \(t\) voidaan ajatella aikana ja käyrää reittinä, jota pitkin jokin kappale kulkee ajan \(t\) edetessä.

\[\begin{split}\begin{array}{r|ccccccccc} t & -2 & -\frac{3}{2} & -1 & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 1 & \frac{3}{2} & 2 \\\hline \br(t) & (4, -2) & \left(\frac{9}{4}, \frac{9}{8}\right) & (1, 2) & \left(\frac{1}{4}, \frac{11}{8}\right) & (0, 0) & \left(\frac{1}{4}, -\frac{11}{8}\right) & (1, -2) & \left(\frac{9}{4}, -\frac{9}{8}\right) & (4, 2) \end{array}\end{split}\]
../_images/kayran-piirtaminen.svg

Hetkellä \(t\) kappale kulkee käyrän tangenttivektorin suuntaan. Tangenttivektori on funktion \(\br\) derivaatta, joka saadaan derivoimalla kaikki komponenttifunktiot. Kuvan käyrälle tangenttivektorit ovat muotoa \(\br'(t) = (2t, 3t^2-3)\).

Huomautus 7.1.9

Edellisen esimerkin parametrisoidun käyrän kuvaaja ei esitä minkään reaalifunktion \(y = f(x)\) kuvaajaa. Tämä johtuu siitä, että funktion määritelmän mukaisesti funktion tulee liittää jokaiseen määrittelyjoukkonsa alkioon yksikäsitteinen maalijoukon alkio. Nyt käyrän kuvaajasta heräisi esimerkiksi kysymys, miten funktion arvo \(f(1)\) tulisi määritellä.

Parametrisoitu käyrä puolestaan toteuttaa funktion määritelmän, sillä se liittää jokaiseen parametrin \(t\) arvoon yksikäsitteisen pisteen \((x(t), y(t)) = (t^2, t^3-3t)\). Kuten luvussa ?? havaitaan, tämä funktio ei välttämättä ole injektio, eli kaksi parametrin \(t\) eri arvoa voivat kuvautua joksikin samaksi avaruuden \(\R^2\) pisteeksi. Mieti, mitä tämä tarkoittaa käyrän kuvaajan kannalta.

Tarkastellaan parametrisoitua käyrää

\[\br (t) = ( \cos(t), \sin(t) ), \quad t \in [ \frac{\pi}{2}, 2\pi ].\]
Mikä on käyrän alkupiste?
Mikä on käyrän loppupiste?
Millä parametrin arvolla ollaan pisteessä \(\displaystyle\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)?
Mikä on käyrän derivaatta?
Palautusta lähetetään...