$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$

# Merkintöjä¶

Esitellään seuraavaksi joitakin matemaattisia merkintöjä, joiden merkitys on matemaattisissa teksteissä kutakuinkin vakiintunut. Tavoitteena on pystyä itse käyttämään näitä merkintöjä ja toisaalta tulkitsemaan näiden merkintöjen avulla kirjoitettuja lauseita arkikielellä. Tässä luvussa esitellään merkinnöistä lähinnä logiikan merkintöjä sekä kootaan joitakin tärkeitä merkintöjä, joita tarvitaan myöhemmin.

Matemaattisissa erilaisten merkintöjen käyttäminen on välttämätöntä, koska niiden avulla voidaan ilmaista monimutkaisiakin lauserakenteita kompaktissa muodossa ja ilman niitä tekstistä tulisi kapulakielistä ja vaikeaselkoista. Esimerkiksi (älä pelästy, vaikka esimerkki ei vielä täysin aukea) funktion jatkuvuus voidaan määritellä arkikielisellä lauseella

Jokaista nollaa suurempaa lukua $$\varepsilon$$ kohti löytyy sellainen nollaa suurempi $$\delta$$, että mikäli reaaliluvun $$x$$ etäisyys luvusta $$x_0$$ on pienempi kuin $$\delta$$ ja suurempi kuin nolla, niin funktion $$f$$ arvojen $$f(x)$$ ja $$f(x_0)$$ välinen etäisyys on pienempi kuin $$\varepsilon$$.

tai matemaattisten merkintöjen avulla lyhyesti muodossa

$\forall \varepsilon>0: \exists \delta>0: 0<|x-x_0|<\delta\Longrightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.$

Yllä käytetyt symbolit $$\varepsilon$$ ja $$\delta$$ ovat kreikkalaisia aakkosia. Kreikkalaisia aakkosia käytetään paljon matemaattisissa merkinnöissä, ja niitä voi kerrata liitteenä olevasta taulukosta.

## Joukkoihin liittyvät merkinnät¶

Käsitellään ensiksi joukkoihin liittyviä merkintöjä. Matematiikassa käytetään joskus filosofian termistöstä lainattua sanaa olio, kun tarkoitetaan jotain (yleensä yksilöimätöntä) matemaattista käsitettä. Monessa matemaattisessa yhteydessä tarkasteltavana oliona on esimerkiksi lukuja tai vektoreita sisältävä joukko. Joukkoa merkitään aaltosulkein $$\{\cdot\}$$ ja tietty joukko voidaan määritellä luettelemalla sen alkiot, kuten

$\{2,4,6,8\}\qquad\text{tai}\qquad\{2,4,6,\ldots\},$

missä jälkimmäinen ymmärretään päättymättömäksi listaksi parillisia luonnollisia lukuja. Huomaa kuitenkin, että on äärettömän paljon muitakin joukkoja, joiden kolme pienintä alkiota ovat 2, 4 ja 6. Siispä kolme pistettä sisältävää joukkomerkintää kannattaa käyttää vain silloin, kun erehtymisen vaaraa ei ole. Parempi vaihtoehto on ilmaista joukkoon kuuluminen ehdon avulla. Joukkosulkeiden sisällä on aluksi kuvaus siitä, millä merkinnällä jälkeenpäin tulevassa ehdossa määriteltävän joukon alkiota esitetään (usein myös kerrotaan lyhyesti, minkä tyyppinen alkio on). Kaksoispisteen tai pystyviivan jälkeen seuraa tarkempi ehto, jonka kaikki joukkoon kuuluvat alkiot toteuttavat. Esimerkiksi

$\{x \text{ on aakkonen} : x \text{ on suomen kielen vokaali} \}$

tarkoittaa joukkoa {a, e, i, o, u, y, ä, ö}. Joukon alkioita listatessa toistoilla ja järjestyksellä ei ole merkitystä. Esimerkiksi $$\{1,2,3\}$$ on sama joukko kuin $$\{3,2,2,1,1,1\}$$.

Huomautus 1.2.1

Joukko-oppia pitemmälle opiskelleet saattavat huomata, että tässä esitetty intuitiivinen joukon luonnehdinta on epätäsmällinen ja johtaa esimerkiksi Russelin paradoksiin. Käytännössä se on kuitenkin usein riittävä, eikä tällä kurssilla tarvita yksityiskohtaisempaa aksioomiin perustuvaa määritelmää.

Joukkoja merkitään usein isoilla kirjaimilla $$A,B,C,\ldots$$ ja niiden alkioita pienillä kirjaimilla $$a,b,c,\ldots$$ Joukkoihin ja niiden alkioihin liittyy seuraavia merkintöjä.

1. Jos alkiot $$x$$ ja $$y$$ ovat samat, kirjoitetaan $$x = y$$.
2. Jos alkiot $$x$$ ja $$y$$ eivät ole samat, kirjoitetaan $$x \not= y$$.
3. Jos $$x$$ on joukon $$A$$ alkio, kirjoitetaan $$x \in A$$.
4. Jos $$x$$ ei ole joukon $$A$$ alkio, kirjoitetaan $$x \not\in A$$.
5. Jos kaikki joukon $$A$$ alkiot ovat myös joukon $$B$$ alkioita, kirjoitetaan $$A \subseteq B$$ ja sanotaan, että $$A$$ on joukon $$B$$ osajoukko.
6. Jos kaikki joukon $$A$$ alkiot eivät ole joukon $$B$$ alkioita, kirjoitetaan $$A \not\subseteq B$$.
7. Jos joukoissa $$A$$ ja $$B$$ on täsmälleen samat alkiot, kirjoitetaan $$A = B$$.
8. Merkintä $$\varnothing = \emptyset = \{\}$$ tarkoittaa tyhjää joukkoa, jossa ei ole yhtään alkiota.

Joukkoa, joka ei ole tyhjä joukko $$\varnothing$$, sanotaan epätyhjäksi. Lisäksi joukko on äärellinen, jos sen jäsenten lukumäärä on äärellinen. Muutoin joukko on ääretön.

Huomautus 1.2.2

1. Intuition mukaisesti tyhjä joukko on kaikkien joukkojen osajoukko, eli $$\varnothing \subseteq A$$ ja joukko on itsensä osajoukko, eli $$A \subseteq A$$.
2. Jos $$A$$ on joukon $$B$$ osajoukko, mutta $$A\neq B$$, niin voidaan myös merkitä $$A \subset B$$. Tällöin sanotaan, että $$A$$ on joukon $$B$$ aito osajoukko.

Esimerkki 1.2.3

Jos $$A=\{1,3,5\}$$, niin voidaan kirjoittaa

\begin{split}\begin{aligned} &1\in A\quad &&\{1\}\subset A\quad && \{1,2,3\}\not\subseteq A\quad && \{3,1,1,5,3\}=A\\ &2\not\in A\quad &&\{1,5\}\subset A\quad && \{1,3,5\}\subseteq A\quad && \{1,2,3\}\not= A \end{aligned}\end{split}

Luonnollisella kielellä ilmaistuna esimerkiksi $$\{1,2,3\}\not\subseteq A$$ tarkoittaa, että joukko $$\{1,2,3\}$$ ei ole joukon $$A$$ osajoukko. Tämä johtuu siitä, että osajoukon kaikkien alkioiden pitää kuulua osajoukon sisältämään joukkoon. Nyt $$2\not\in A$$ eli alkio $$2$$ ei kuulu joukkoon $$A$$.

Merkintä $$\{1\}$$ tarkoittaa puolestaan joukkoa, joka sisältää alkion $$1$$. Näitä kahta asiaa ei sovi sekoittaa. Koska $$1$$ kuuluu myös joukkoon $$A$$ ja $$\{1\}\not=A$$, voidaan sanoa, että $$\{1\}$$ on joukon $$A$$ aito osajoukko. Matemaattisesti merkitään siis $$\{1\}\subset A$$.

Lukualueet luonnollisista luvuista kompleksilukuihin ovat myös joukkoja. Reaalilukujen täsmällinen määritelmä on sen verran monimutkainen, että se sivuutetaan. Kompleksilukuihin palataan tarkemmin luvussa 8.

(1)\begin{split}\begin{aligned} \N&=\{1,2,3,\ldots\}&&\text{luonnolliset luvut}\\ \Z&=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}&&\text{kokonaisluvut}\\ \Q&=\left\{\frac{m}{n}: m\in\Z \text{ ja } n\in\N\right\}&&\text{rationaaliluvut}\\ \R&&&\text{reaaliluvut}\\ \C&=\{x + \iu y : x \in \R \text{ ja } y \in \R\}&&\text{kompleksiluvut} \end{aligned}\end{split}

Tässä kohtaa on tehty valinta, että $$0$$ ei kuulu luonnollisiin lukuihin. Tästä ei kuitenkaan ole yhtenäistä sopimusta, vaan joissain teksteissä $$0$$ luokitellaan luonnollisten lukujen alle. Käytännössä tämä pitää kunkin tekstin yhteydessä erikseen tarkistaa. Yllä oleville lukujoukoille voidaan kirjoittaa osajoukkoketju

$\N\subset\Z\subset\Q\subset\R\subset\C.$

Lisäksi positiivisille ja negatiivisille kokonaisluvuille käytetään yleisesti merkintöjä $$\Z_+=\{1,2,3,\ldots\}$$ ja $$\Z_-=\{-1,-2,-3,\ldots\}$$. Vastaavalla tavalla $$\R_+$$, $$\R_-$$, $$\Q_+$$ ja $$\Q_-$$ viittaavat positiivisiin ja negatiivisiin reaali- ja rationaalilukuihin (sovitaan, että nolla jää näiden joukkojen ulkopuolelle).

## Laskutoimitukset, järjestysrelaatio ja niihin liittyvät merkinnät¶

Yllä mainittuihin lukualueisiin liittyy erilaisia laskutoimituksia, jotka ovat käytännön kannalta yhtä tärkeitä kuin luvut itse. Järjestysrelaatio on hyödyllinen työkalu, sillä se mahdollistaa kahden luvun suuruuden vertailun. Kun laskutoimitukset ja järjestysrelaatio määritellään reaaliluvuille, tulevat ne määriteltyä samalla rationaaliluvuille ja kokonaisluvuille, sillä nämä ovat reaalilukujen osajoukkoja. Samaan tapaan reaalilukujen osajoukot perivät myös kaikki laskutoimitusten ominaisuudet. Reaaliluvuille määritellyt laskutoimitukset voidaan lisäksi laajentaa kompleksiluvuille. Järjestysrelaatio sen sijaan on määritelty vain reaaliluvuille, sillä epämuodollisesti ilmaistuna ei ole luontevaa tapaa järjestää kompleksilukuja suuruusjärjestykseen.

Reaalilukujen laskutoimitukset ovat lukiosta tutut yhteenlasku $$+$$ ja kertolasku $$\cdot\,$$, jotka toimivat tismalleen samaan tapaan kuin lukiossakin. Siksi näiden laskutoimitusten algebralliset ominaisuudet oletetaan tunnetuiksi. Esimerkki tunnetuksi oletetusta ominaisuudesta on osittelulaki, jonka mukaan kaikille reaaliluvuille $$x$$, $$y$$ ja $$z$$ on voimassa

$x(y+z)=xy+xz.$

Täsmällisesti näitä todeksi oletettuja ominaisuuksia voidaan koota niin kutsutuiksi *kunta-aksioomiksi*, joista reaaliluvuille tuttuja laskusääntöjä voidaan johtaa.

Kunta-aksioomien lisäksi tarvitaan myös *järjestysaksioomia*, jotta reaalilukuja voidaan verrata keskenään järjestysrelaatiolla $$<$$. Esimerkiksi yhden järjestysaksiooman mukaan jos reaaliluvuille $$x$$, $$y$$ ja $$c$$ on voimassa, että $$x<y$$ ja $$c>0$$, niin silloin $$cx<cy$$. Järjestysaksioomien avulla voidaan täsmällisesti todistaa reaalilukujen tuttuja ominaisuuksia, jotka saattavat aluksi vaikuttaa niin ilmeisiltä, ettei tarvetta niiden todistamiselle edes tule ajatelleeksi.

Huomautus 1.2.4

Seuraavat tulokset ovat voimassa ja ne ovat hyödyllisiä termien arvioimisessa.

• Jos reaaliluvuille $$x$$, $$y$$ ja $$c$$ on voimassa $$x < y$$ ja $$c < 0$$, niin $$cy < cx$$.
• Jos reaaliluvuille $$x$$ ja $$y$$ on voimassa $$0 < x < y$$, niin $$0 < \frac{1}{y} < \frac{1}{x}$$.
• Jos positiivisille reaaliluvuille $$x$$, $$y$$, $$z$$ ja $$q$$ on voimassa $$x > y$$ ja $$z > q$$, niin $$xz > yq$$ ja $$\frac{x}{q} > \frac{y}{z}$$.

Yhteenvetona reaalilukujen ominaisuuksiin liittyen: Käytännössä kaikki reaalilukujen tavalliset ominaisuudet joita lukiossakin on käytetty voidaan johtaa lähtien aksioomista liikkeelle. Tällä kurssilla voidaan ne olettaa tunnetuiksi tai triviaaleiksi eli itsestäänselviksi tapauksiksi eikä niitä tarvitse erikseen perustella. Reaalilukujen yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskuissa käytetään tavallista merkintätapaa ja luvun potenssia merkitään tuttuun tapaan

$x^n = \underbrace{x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}_{n\text{ kpl}},$

missä $$n$$ on positiivinen kokonaisluku.

Järjestysrelaatioita $$<$$ ja $$\leq$$ käyttämällä voidaan ilmaista reaalilukuvälejä. Koska välit ovat jatkon kannalta oleellisia, niillä on omat kompaktit merkinnät. Jos $$a\in\R$$, $$b\in\R$$ ja $$a<b$$, niin määritellään rajoitetut välit

\begin{split}\begin{aligned} (a,b)&=\{x\in\R:\ a<x<b\}&&\text{avoin väli}\\ [a,b]&=\{x\in\R:\ a\le x\le b\}&&\text{suljettu väli}\\ (a,b]&=\{x\in\R:\ a< x\le b\}&&\text{puoliavoin väli}\\ [a,b)&=\{x\in\R:\ a\le x< b\}&&\text{puoliavoin väli} \end{aligned}\end{split}

ja rajoittamattomat välit

\begin{split}\begin{aligned} (a,\infty)&=\{x\in\R:\ x>a\}&&\text{avoin väli}\\ [a,\infty)&=\{x\in\R:\ x\ge a\}&&\text{suljettu väli}\\ (-\infty,b)&=\{x\in\R:\ x< b\}&&\text{avoin väli}\\ (-\infty,b]&=\{x\in\R:\ x\le b\}&&\text{suljettu väli} \end{aligned}\end{split}

Samassa hengessä kirjoitetaan $$(-\infty,\infty)=\R$$.

Esimerkki 1.2.5

1. $$\{n : n = 2k - 1 \text{ ja } k \in \N\} = \{2k - 1 : k \in \N\} = \{1, 3, 5, \ldots\}$$
2. $$\{2k - 1 : k \in \N \text{ ja } k \leq 50\} = \{2k - 1 : k = 1, \ldots, 50\} = \{1, 3, 5, \ldots, 99\}$$
3. $$\{x \in \R : x^2 - 8x + 15 = 0\} = \{3, 5\}$$
4. $$\{x \in \R : x^2 - 8x + 15 < 0\} = (3, 5)$$
5. $$\{x \in \R : x^2 + 1 = 0\} = \varnothing$$
6. $$\{x \in \C : x^2 + 1 = 0\} = \{-i, i\}$$ (tämän perustelut selviävät luvussa ??)

Todistetaan, että neljällä jaolliset luvut ovat kahdella jaollisia lukuja. Muotoillaan tehtävä ensin seuraavasti. Olkoon $$A$$ parillisten lukujen joukko ja $$B$$ neljällä jaollisten lukujen joukko. Osoita, että $$B \subseteq A$$. Osajoukoksi todistaminen etenee aina tietyn mallin mukaan. Rakennetaan tässä tehtävässä todistus pala palalta.

Todistuksen alussa pitää ilmoittaa, että käsittelemme mielivaltaista alkiota siitä joukosta, jota olemme todistamassa osajoukoksi toiselle joukolle. Mielivaltaisella tarkoitetaan sitä, että alkio on mahdollisimman yleinen, eli siihen ei kohdistu lisäehtoja. Miten se ilmoitetaan?
Mihin lopputulokseen pitää päätyä, että voidaan olla varmoja siitä, että kaikki neljällä jaolliset alkiot (joita edellisessä kohdassa otettu mielivaltainen alkio edustaa) ovat myös parillisia alkioita?
Ensimmäisessä kohdassa tehtiin alkiota $$x$$ koskeva oletus. Miten tämä oletus voidaan muotoilla uudelleen siten, että ilmaistaan jaollisuus halutulla luvulla?
Miten nyt alkio $$x$$ voidaan esittää?

Koska viimeisen kohdan muotoiset alkiot $$x$$ ovat parillisia (muista, että sulkuihin kirjoitetun alkion on oltava kokonaisluku, jotta $$x$$ olisi parillinen), niin päädytään toisen kohdan johtopäätökseen. Niinpä mikä tahansa neljällä jaollinen luku on nyt osoitettu parilliseksi luvuksi.

Sinulle on todennäköisesti ilman todistustakin päivänselvää, että neljällä jaolliset luvut ovat parillisia. Tämän tehtävän onkin tarkoitus olla yksi ensimmäisistä näkemistäsi esimerkeistä sille, millaisella päättelyllä matematiikassa asioita todistetaan. Todistuksista enemmän luvussa Todistusmenetelmiä.

Joukoista on hyötyä kokonaislukujen jaollisuuden pohtimisessa. Esimerkiksi parillisten, eli kahdella jaollisten lukujen joukko voidaan määritellä niin, että sen jokainen alkio on muotoa $$2 \cdot \text{kokonaisluku}$$. Täten

$A = \{n \in \Z : n = 2k \text{ jollekin } k \in \Z\}$

on parillisten kokonaislukujen joukko. Tässä on oleellista, että $$k$$ kuuluu joukkoon $$\Z$$, eli että $$k$$ on kokonaisluku, jotta $$2k$$ varmasti olisi parillinen luku. Vastaavasti parittomien lukujen joukko on

$B = \{n \in \Z : n = 2k + 1 \text{ jollekin } k \in \Z\},$

eli ne ovat muotoa $$\text{parillinen luku} + 1$$.

Täydennä näiden esimerkkien perusteella seuraavien väitteiden tyhjät kohdat. Vastaa kohdat kenttiin järjestyksessä, eli kirjoita ensimmäisen väitteen tyhjään kohtaan sopiva lauseke ensimmäiseen tekstikenttään, toisen väitteen toiseen ja kolmannen väitteen kolmanteen.

1. Kolmella jaollisten lukujen joukko $$C = \{n \in \Z : \underline{\phantom{n = 3k}} \text{ jollekin } k \in \Z\}$$.

2. Ne luvut, jotka eivät ole jaollisia kolmella, voidaan ajatella muodostettavan samaan tyyliin kuin parittomat luvut yllä, eli lisäämällä kolmella jaolliseen lukuun jokin kokonaisluku. Nyt ei tosin riitä yhden kokonaisluvun lisääminen, vaan tarvitaan kaksi eri lukua.

Kolmella jaottomien lukujen joukko on $$D = \{n \in \Z : \underline{\phantom{n = 3k + 1} \lor \phantom{n = 3k + 2}} \text{ jollekin } k \in \Z\}$$. Anna vastauksena kaksi yhtälöä ’tai’-konnektiivilla yhdistettynä. Voit kirjoittaa symbolin $$\lor$$ komennolla \/ tai or. Symbolin $$\lor$$ jälkeen aloitettava vastauksen osa alkaa myös merkein n =.

3. Oletetaan, että $$a, b \in \Z$$. Tällöin luku $$4a + 6b$$ on parillinen, sillä se voidaan esittää muodossa $$2c$$, missä $$c = \underline{\phantom{2a + 3b}} \in \Z$$.

## Summamerkintä ja summalausekkeiden ominaisuuksia¶

Useissa eri yhteyksissä tulee vastaan tilanne, jossa täytyy käsitellä useiden alkioiden yhteenlaskua. Esimerkiksi kurssilla Differentiaali- ja integraalilaskenta käydään tarkemmin läpi määrätyn integraalin määritelmää sekä erilaisia sarjoja. Tällaisissa tilanteissa voidaan usein käyttää summamerkintää selkeyttämään tilannetta.

Määritelmä 1.2.6

Oletetaan, että $$n \in \N$$ ja että $$a_{1},a_{2},a_{3}, \ldots a_{n} \in \R$$. Summalle $$a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$$ määritellään summamerkintä eli lyhyemmin summa asettamalla

$\sum_{i=1}^n \ a_i = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n.$

Se luetaan ”summa $$a_i$$, jossa $$i$$ käy 1:stä $$n$$:ään”.

Summamerkintä voidaan määritellä seuraavasti:

\begin{split}\begin{aligned} \sum_{i=1}^1 \ a_i &= a_1, \\ \sum_{i=1}^{n+1} \ a_i &= \left(\sum_{i=1}^{n} \ a_i \right) + a_{n+1}, \mbox{ kun } n \ge 2. \end{aligned}\end{split}

Summaoperaattorin $$\sum$$ vaikutusalueeksi sovitaan sitä välittömästi seuraava termi, jolloin summamerkinnän sisälle tarkoitettu lauseke päättyy silloin, kun vastaan tulee plus- tai miinusmerkki. Jos taas summa on tarkoitus ottaa plusmerkin sisältävästä lausekkeesta, laitetaan lauseke sulkuihin summausoperaattorin jälkeen. Jälkimmäisen kaavan voi siis kirjoittaa yhtäpitävässä muodossa seuraavasti.

$\sum_{i=1}^{n+1} \ a_i = \sum_{i=1}^{n} \ a_i + a_{n+1}$

Huomaa, että myös indeksöintiä voi tarvittaessa muuttaa.

$\sum_{i=3}^{n+2} a_{i-2} = \sum_{k=1}^{n} a_{k}$

Esimerkki 1.2.7

Tutkitaan ensimmäisten positiivisten kokonaislukujen neliöiden summaa. Kirjoitetaan muutama ensimmäisistä summista.

\begin{split}\begin{aligned} \sum_{i=1}^1 i^2 &= 1^2 = 1, & \sum_{i=1}^{2} i^2 &= \displaystyle \sum_{i=1}^{1} \ i^2 + 2^2 = 1 + 2^2 = 5, \\ \sum_{i=1}^{3} i^2 &= \displaystyle \sum_{i=1}^{2} \ i^2 + 3^2 = 5 + 3^2 = 14, & \sum_{i=1}^{4} i^{2} &= 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} = 1 + 4 + 9 + 16 = 30. \end{aligned}\end{split}

Tälle on olemassa myös yleinen summakaava

$\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{1}{6}n\left( n + 1 \right) \left( 2n + 1 \right),$

missä $$n \in \N$$. Tämä voidaan osoittaa induktiolla, joka esitellään myöhemmin tässä luvussa matemaattisten todistamisen perusteiden yhteydessä.

Todistetaan seuraavaksi summan lineaarisuus.

Lause 1.2.8

Oletetaan, että $$n \in \N$$ ja että $$a, b_1, b_2, \ldots, b_n, c_1, c_2, \ldots, c_n \in \R$$. Tällöin summamerkintä on suljettu

1. skalaarilla kertomisen suhteen

$\sum_{i=1}^{n} ab_{i} = a\sum_{i=1}^{n} b_{i},$

$\sum_{i=1}^{n} \left( b_{i} + c_{i} \right) = \sum_{i=1}^{n} b_{i} + \sum_{i=1}^{n} c_{i}.$
Piilota/näytä todistus

Suoraan yhteen- ja kertolaskujen ominaisuuksien mukaisesti

$\sum_{i=1}^{n} ab_{i}=ab_1+ab_2+\cdots+ab_n=a(b_1+b_2+\cdots+b_n)=a\sum_{i=1}^{n} b_{i}.$

Vastaavasti

\begin{split}\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} \left( b_{i} + c_{i} \right) & = (b_1+c_1)+(b_2+c_2)+\cdots+(b_n+c_n)\\ & =(b_1+b_2+\cdots+b_n)+(c_1+c_2+\cdots+c_n)\\ &= \sum_{i=1}^{n} b_{i} + \sum_{i=1}^{n} c_{i}. \end{aligned}\end{split}

Esimerkki 1.2.9

Oletetaan, että $$n \in \N$$ ja että $$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, a_{n+1} \in \R$$. Osoita, että

$\sum_{i=1}^{n} (a_i - a_{i+1}) = a_1 - a_{n+1}.$

Tämä on niin sanotun teleskooppisarjan osasumma.

Piilota/näytä ratkaisu

\begin{split}\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} (a_i - a_{i+1}) & =(a_1-a_2)+(a_2-a_3)+(a_3-a_4)+\cdots+(a_{n-1}-a_n)+(a_n-a_{n-1})\\ & = a_1+(-a_2+a_2)+(-a_3+a_3)+\cdots+(-a_n+a_n)-a_{n+1}\\ & = a_1+0+0+\cdots+0-a_{n+1}\\ & = a_1 - a_{n+1}. \end{aligned}\end{split}

Huomautus 1.2.10

Joskus summamerkinnässä voi indeksin ala- ja yläraja olla sellaiset, ettei ole mitään summattavaa tai kerrottavaa. Yleinen sopimus on, että tällainen tyhjä summa on $$0$$. Erityisesti siis $$\sum_{i=1}^0 \ a_i = 0$$.

## Logiikan merkinnät¶

Ensimmäisenä tutustutaan joihinkin lauselogiikan ja predikaattilogiikan merkintöihin. Tarkoitus ei ole tutustua matemaattiseen logiikkaan tai sen merkintöihin tarkemmin vaan ottaa tarpeelliset merkinnät käyttöön ”lyhennemerkintöinä” ja esitellä niiden intuitiiviset tulkinnat. Tarkemmin logiikkaan ja tässä luvussa esiteltyihin merkintöihin tutustutaan kurssilla Diskreetti matematiikka.

Lauselogiikan merkinnöillä (näitä kutsutaan konnektiiveiksi) $$\land$$, $$\lor$$ ja $$\neg$$ on seuraavat intuitiiviset tulkinnat:

$\begin{split}\begin{array}{c|l|c} \text{Merkintä} & \text{Nimi} & \text{Merkitys} \\ \hline \land & \text{konjunktio} & \text{''ja''}\\ \lor & \text{disjuktio} & \text{''tai''}\\ \neg & \text{negaatio} & \text{''ei''} \end{array}\end{split}$

Tässä monisteessä näitä merkintöjä käytetään erityisesti, kun esitetään ehtoja, joita joukon elementtien täytyy toteuttaa. Jos siis $$p$$ ja $$q$$ ovat väittämiä, niin

• $$p\land q$$ tarkoittaa, että $$p$$ ja $$q$$ ovat molemmat totta.
• $$p\lor q$$ tarkoittaa, että $$p$$ tai $$q$$ tai molemmat ovat totta.
• $$\neg p$$ tarkoittaa, että $$p$$ ei ole totta.

Huomautus 1.2.11

Matematiikassa sanalla tai on yllä oleva merkitys, ellei toisin mainita. Siis $$p\lor q$$ tarkoittaa aina, että vähintään toinen väittämistä $$p$$ ja $$q$$ on voimassa. Arkikielessä on lisäksi toinenkin tulkinta, nimittäin $$p\lor q$$ voisi tarkoittaa, että toinen väittämistä $$p$$ ja $$q$$ on voimassa, mutta ei molemmat. Lauseet ”liittymislahjaksi saat repun tai puseron” ja ”opiskelemaan pääsee, jos kirjoittaa laudaturin matematiikasta tai saa yli kymmenen pistettä pääsykokeesta” havainnollistavat tätä eroa.

Esimerkki 1.2.12

Mikä on seuraavien lausekkeiden tulkinta?

1. $$(x\in\N)\land(x>5)$$
2. $$(x<5)\lor (x>5)$$
3. $$\neg(x=5)$$
Piilota/näytä ratkaisu
1. Lauseke sanoo, että $$x$$ on luonnollinen luku ja $$x>5$$, eli $$x$$ on aidosti lukua viisi suurempi luonnollinen luku.
2. Lauseke sanoo, että $$x<5$$ tai $$x>5$$. Tämän voi tulkita myös siten, että $$x$$ on jokin viitosesta eroava luku.
3. Lauseke sanoo, että ei ole niin, että $$x=5$$. Siis tulkinta on, että $$x$$ on jokin viitosesta eroava luku, eli sama tulkinta kuin edellisellä lausekkeella.

Huomautus 1.2.13

Monimutkaisemmissa lausekkeissa tarvitaan usein sulkuja ilmaisemaan missä järjestyksessä konnektiiveja tulkitaan. Sulkeet toimivat kuten laskutoimituksia sisältävissä lausekkeissa, eli sulkeiden sisällä olevat lausekkeen osat tulkitaan ensin. Lisäksi sovitaan, että $$\neg$$ tulkitaan ennen konnektiiveja $$\land$$ ja $$\lor$$ (vrt. yhteen- ja kertolaskun laskujärjestys) ja muuten tulkinta tehdään vasemmalta oikealle. Tulkintajärjestyksellä on yleensä suuri vaikutus lausekkeen merkitykseen. Esimerkiksi

$\neg (x>6)\land (x>5)$

tarkoittaa, että $$x$$ ei ole suurempaa kuin $$6$$, mutta on aidosti suurempaa kuin $$5$$. Siis $$5<x\leq 6$$. Toisaalta

$\neg ((x>6)\land (x>5))$

tarkoittaa, että ei ole niin, että $$x>6$$ ja $$x>5$$. Koska molemmat ehdoista $$x>5$$ ja $$x>6$$ ovat voimassa yhtä aikaa, kun $$x>6$$, niin lauseke $$\neg ((x>6)\land (x>5))$$ tarkoittaa, että $$x\leq 6$$.

Merkinnöillä $$\Rightarrow$$ ja $$\Leftrightarrow$$ ilmaistaan kahden ehdon tai väittämän välisiä seuraussuhteita. Jos $$p$$ ja $$q$$ ovat väittämiä, niin meillä on seuraavat tulkinnat:

(2)$\begin{split}\begin{array}{c|l|l} \text{Merkintä} & \text{Nimi} & \text{Merkitys} \\ \hline p \Rightarrow q & \text{looginen seuraus} & \text{''jos } p \text{ on totta, niin } q \text{ on totta''}\\ p \Leftrightarrow q & \text{looginen ekvivalenssi} & \text{''} p \text{ on totta täsmälleen silloin, kun } q \text{ on totta''} \end{array}\end{split}$

Huomaa, että mikäli väite $$p$$ on väärä, niin tiedon $$p\Rightarrow q$$ perusteella ei voida sanoa mitään väitteen $$q$$ totuudesta. Demonstroidaan tätä ja loogisen ekvivalenssin tulkintaa seuraavalla esimerkillä.

Esimerkki 1.2.14

Voidaan kirjoittaa $$x>4\Rightarrow x>0$$, sillä jos tiedetään, että $$x$$ on nelosta suurempi luku, niin $$x$$ on myös nollaa suurempaa. Tässä esimerkissä $$x>4$$ ei ole voimassa, jos $$x=3$$ tai $$x=-3$$. Oikean puolen väittämä taas on totta arvolla $$x=3$$, mutta epätosi arvolla $$x=-3$$. Siis mikäli loogisen seurauksen vasen puoli ei päde, niin emme voi välttämättä sanoa mitään varmaa ilmaisun oikean puolen väittämän totuudesta.

Matemaattisissa teksteissä looginen ekvivalenssi $$p\Leftrightarrow q$$ kirjoitetetaan usein luonnollisella kielellä myös muodossa $$p$$ on totta, jos ja vain jos $$q$$ on totta. Looginen ekvivalenssi $$p\Leftrightarrow q$$ voidaan kirjoittaa myös muodossa

(3)$(p\Rightarrow q)\land (q\Rightarrow p).$

Siis kaksi väitettä ovat loogisesti ekvivalentit, mikäli ne ovat toistensa loogisia seurauksia. Tätä kutsutaan ekvivalenssilaiksi ja sen takia haluttaessa osoittaa, että kaksi väitettä ovat loogisesti ekvivalentit, jaetaan todistus usein kahden loogisen seurauksen todistukseksi. Demonstroidaan loogisen ekvivalenssin tulkintaa ja tässä esitettyjä huomioita seuraavalla esimerkillä.

Esimerkki 1.2.15

Emme voi kirjoittaa, että $$x>4\Leftrightarrow x>0$$, koska Esimerkin 1.2.14 perusteella $$x>4$$ ei välttämättä seuraa siitä, että $$x>0$$. Seuraava lause sen sijaan on tosi

$(x\in\N \land x>4) \Leftrightarrow (x\in\N\land x\geq 5).$

Vaikka tämä voi tuntua itsestään selvältä, niin perustellaan tämä vielä kahdessa osassa. Ensinnäkin, jos väittämä $$x\in\N \land x>4$$ on voimassa, niin $$x$$ on luonnollinen luku, joka on aidosti neljää suurempi. Koska pienin luonnollinen luku, joka on aidosti suurempaa kuin $$4$$ on $$5$$, niin $$x\in\N\land x\geq 5$$ on voimassa mikäli $$x\in\N \land x>4$$ on voimassa. Siis $$(x\in\N \land x>4)\Rightarrow (x\in\N\land x\geq 5)$$.

Jos taas $$x\in\N\land x\geq 5$$, niin luonnollinen luku $$x$$ on viisi tai suurempaa. Siis se varmasti on luonnollinen luku, joka on suurempi kuin neljä, eli $$x\in\N\land x>4$$ on voimassa mikäli $$x\in\N \land x\geq 5$$ on voimassa, eli $$(x\in\N \land x\geq 5)\Rightarrow (x\in\N\land x>4)$$.

Koska on huomattu, että

$((x\in\N \land x>4)\Rightarrow (x\in\N\land x\geq 5))\land ((x\in\N \land x\geq 5)\Rightarrow (x\in\N\land x>4)),$

niin voidaan todeta, että $$(x\in\N \land x\geq 5)\Leftrightarrow (x\in\N\land x>4)$$.

Lopuksi tutustutaan vielä predikaattilogiikan kvanttoreihin $$\exists$$ ja $$\forall$$, joiden avulla voidaan ilmaista onko jokin alkio olemassa tai onko jokin ominaisuus voimassa kaikilla alkioilla. Jos $$P(x)$$ on jokin alkiosta $$x$$ riippuva väite, esim. $$x>5$$ tai $$x\in A$$, niin meillä on kvanttoreille seuraavat tulkinnat

(4)$\begin{split}\begin{array}{c|l} \text{Merkintä} & \text{Merkitys} \\ \hline \forall x : P(x) & \text{''} P(x) \text{ on totta kaikilla } x \text{''}\\ \exists x : P(x) & \text{''on olemassa jokin alkio } x \text{, jolla } P(x) \text{ on voimassa''} \end{array}\end{split}$

Jos $$x$$ valitaan erityisesti joukosta $$A$$, voidaan merkitä myös $$\forall x \in A : P(x)$$ ja $$\exists x \in A : P(x)$$.

Esimerkki 1.2.16

Ovatko seuraavat väittämät tosia?

1. $$\forall x \in \R : x < 3$$
2. $$\exists x \in \R : x < 3$$
3. $$\forall x \in \N : x \geq -7$$
Piilota/näytä ratkaisu
1. Tässä väitetään, että jokainen reaaliluku on pienempi kuin $$3$$. Kuitenkin $$4 \in \R$$ ja $$4 \geq 3$$, joten lause on epätosi.
2. Väitetään, että on olemassa sellainen reaaliluku $$x$$, että $$x < 3$$. Luku $$2 \in \R$$ ja $$2 < 3$$, joten lause on tosi.
3. Väitetään, että jokainen luonnollinen luku on vähintään yhtä suuri kuin $$-7$$. Pienin luonnollinen luku on $$1 \geq -7$$, joten lause on tosi.

Samassa lauseessa voi esiintyä useampia kvanttoreita, jolloin niiden merkitykset luetaan peräkkäin. Peräkkäisiä kvanttoreita käyttäen saadaan ilmaistua monimutkaisia väittämiä täsmällisesti, kun taas ilman kvanttoreita lauseista voisi tulla pitkiä ja vaikeaselkoisia. Useita kvanttoreita sisältävien väittämien totuusarvojen tutkiminen voi olla hankalaa.

Esimerkki 1.2.17

1. Väite $$\forall x \in \R \ \exists n \in \N : n > x$$ tarkoittaa ilmausta ”jokaista reaalilukua $$x$$ kohti löydetään sellainen luonnollinen luku $$n$$, että $$n > x$$”. Väite on tosi.
2. Väite $$\exists n \in \N \ \forall x \in \R : n > x$$ tarkoittaa ilmausta ”on olemassa sellainen luonnollinen luku $$n$$, että $$n > x$$ jokaiselle reaaliluvulle $$x$$”. Väite on epätosi.

Edellisen esimerkin nojalla kvanttorien järjestystä ei saa vaihtaa. Kvanttoreiden avulla ilmaistujen lauseiden tulkinta helpottuu, kun ne ilmaistaan luonnollisella kielellä. Siksi on suositeltavaa, että tällaisten lauseiden yhteydessä ne ilmaistaan luonnollisella kielellä ennen niiden käsittelyn jatkamista.

Yhdistä selkokielinen ja matemaattisilla merkeillä kirjoitettu väite, sekä päättele jokaisen väitteen totuusarvo. Anna vastauksesi kirjoittamalla kaksi lukua seuraavien väitteiden kohdalle: ensimmäiseksi väitettä vastaavan lauseen numero ja toiseksi lauseen totuusarvo (tosi = 1, epätosi = 0). Voit selkeyden vuoksi erottaa luvut toisistaan välilyönnillä. Jos siis esimerkiksi uskot, että ensimmäisen kohdan väite vastaa lausetta 1 ja että väite on tosi, vastaa ensimmäiseen kohtaan 11.

Lauseet:

1. $$\forall x \in \Z: \forall y \in \Z: xy < x$$
2. $$\exists x \in \Z: \forall y \in \Z: xy < x$$
3. $$\forall x \in \Z: \exists y \in \Z: xy < x$$
4. $$\exists x \in \Z: \exists y \in \Z: xy < x$$

Saat palautteena merkinnän, joka kertoo vastauksesi oikeat osat.

On olemassa kaksi kokonaislukua, joiden tulo on pienempi kuin niistä ensimmäiseksi kertojaksi valittu luku.
Voidaan löytää kokonaisluku, jonka tulo minkä tahansa kokonaisluvun kanssa on löydettyä lukua pienempi.
Mille tahansa kahdelle kokonaisluvulle pätee, että niiden tulo on pienempi kuin niistä ensimmäiseksi kertojaksi valittu luku.
Miten tahansa valittua kokonaislukua vastaa jokin kokonaisluku, jolla ensimmäistä lukua kertomalla tulo on pienempi kuin ensimmäinen luku.

Hyvä esimerkki luonnollisen kielen hyödyntämisestä on se, miten kvanttorit ja negaatio toimivat yhdessä järkeenkäyvällä tavalla.

Lause 1.2.18

Loogiset ekvivalenssit $$\neg(\forall x : P(x)) \Leftrightarrow \exists x : \neg P(x)$$ ja $$\neg (\exists x : P(x)) \Leftrightarrow \forall x : \neg P(x)$$ ovat voimassa.

Piilota/näytä todistus
Perustellaan tulos luonnollisen kielen avulla. Jos on mahdollista löytää alkio $$x$$, jolla väite $$P(x)$$ ei ole voimassa, eli $$\exists x : \neg P(x)$$, niin silloin väite $$P(x)$$ ei voi olla tosi kaikilla mahdollisilla alkioilla $$x$$, eli $$\neg (\forall x : P(x))$$. Vastaavasti jos kaikista mahdollisista alkioista $$x$$ tiedetään, että niillä väite $$P(x)$$ ei ole voimassa, eli $$\forall x : \neg P(x)$$, niin ei voida löytää sellaista alkiota $$x$$, jolla väite $$P(x)$$ olisi voimassa. Siispä $$\neg(\exists x : P(x))$$.

Lauseen 1.2.18 voi ilmaista luonnollisella kielellä niin, että kvanttorin kanssa esitetyn lausekkeen negaatio on lauseke, jossa kvanttori on vaihdettu (kvanttori $$\forall$$ korvataan kvanttorilla $$\exists$$ tai toisinpäin) ja kvanttorin jälkeisestä lausekkeesta otettu negaatio. Lisäksi jos ei löydy sellaista alkiota $$x$$, jolla väite $$P(x)$$ olisi tosi, eli $$\neg(\exists x : P(x))$$, lyhennetään tämä joskus merkinnäksi $$\nexists x : P(x)$$.

Esimerkki 1.2.19

1. Lause $$\exists x \in \R : x^2 < 0$$ on tunnetusti epätosi, joten sen negaation olisi oltava tosi. Muodostetaan lauseen negaatio vaihtosäännön avulla.

$\neg(\exists x \in \R : x^2 < 0) \Leftrightarrow \forall x \in \R : \neg(x^2 < 0) \Leftrightarrow \forall x \in \R : x^2 \geq 0$

Nähdään, että negaatio on todellakin tosi.

2. Muodostetaan esimerkin 1.2.17 epätoden lauseen negaatio.

\begin{split}\begin{aligned} \lnot(\exists n\in\N\ \forall x\in\R : n>x) &\Leftrightarrow \forall n\in\N\ \lnot(\forall x\in\R : n>x)\\ &\Leftrightarrow \forall n\in\N\ \exists x\in\R : \lnot(n>x)\\ &\Leftrightarrow \forall n\in\N\ \exists x\in\R : n\le x. \end{aligned}\end{split}

Tämä väite on puolestaan tosi.

Määritellään atomilauseet seuraavasti

$p : \, \text{tänään on kuuma päivä} \qquad\qquad q : \, \text{ulkona sataa} \qquad\qquad r : \, \text{menen ulos}.$

Mitä seuraavat lauselogiikan lauseet tarkoittavat?

$$(\neg p \wedge \neg q) \Rightarrow r$$
$$r \Leftrightarrow (p \vee q)$$
Palautusta lähetetään...