\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]

Raja-arvon täsmällisempi tarkastelu

Määritelmä 4.2.3 ei riitä työkaluksi matemaattiseen päättelyyn. On tarpeen määritellä täsmällisemmin, mitä tarkoitetaan sillä, että funktion \(f\) arvot \(f(x)\) lähestyvät lukua \(L\) muuttujan \(x\) lähestyessä lukua \(a\).

Määritelmä 4.5.1

Olkoon reaalifunktio \(f\) määritelty jossakin pisteen \(a\) punkteeratussa ympäristössä. Funktiolla \(f\) on raja-arvo (limit) \(L\in\R\) pisteessä \(a\), jos jokaista \(\varepsilon>0\) kohti löydetään sellainen \(\delta>0\), että \(|f(x)-L|<\varepsilon\) aina, kun \(0<|x-a|<\delta\), eli

\[\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0 : 0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon.\]

Tällöin merkitään

\[L=\lim_{x\to a}f(x)\qquad\text{tai}\qquad f(x)\to L\text{, kun }x\to a.\]

Huomautuksen 1.4.2 mukaisesti \(|x-y|\) tarkoittaa lukujen \(x\) ja \(y\) etäisyyttä. Huomaa, että määritelmän ehdossa esiintyvän epäyhtälöketjun \(0<|x-a|<\delta\) vasen puolikas eli \(0<|x-a|\) viittaa siihen, että \(x \not= a\). Pisteessä \(a\) etsittävän raja-arvon kannalta ei siis ole väliä, mikä funktion arvo \(f(a)\) on pisteessä \(a\) tai onko funktio \(f\) edes määritelty kyseisessä pisteessä.

Pohditaan sitten määritelmän ehdon muita osia. Ehdon pitää olla voimassa jokaiselle positiiviselle reaaliluvulle \(\varepsilon\). Luku \(\varepsilon\) esiintyy ehdossa lukujen \(f(x)\) ja \(L\) välisen etäisyyden \(|f(x)-L|\) ylärajana. Vastaavasti luku \(\delta\) on ehdossa yläraja lukujen \(x\) ja \(a\) etäisyydelle \(|x-a|\). Ehto sanoo, että valittiinpa \(\varepsilon > 0\) kuinka hyvänsä (oleellisesti: kuinka läheltä nollaa hyvänsä), niin voimme löytää jonkin sellaisen valitusta luvusta \(\varepsilon\) riippuvan positiivisen luvun \(\delta\), että kun piste \(x\) on korkeintaan luvun \(\delta\) etäisyydellä pisteestä \(a\), säilyy funktion arvo \(f(x)\) korkeintaan luvun \(\varepsilon\) etäisyydellä luvusta \(L\). Kun tätä varsin monimutkaista ehtoa pohtii tarkemmin, niin huomaa, että se käytännössä muotoilee matemaattisen täsmällisesti intuitiivisen luonnehdinnan raja-arvolle, eli funktion arvo \(f(x)\) saadaan kuinka lähelle arvoa \(L\) tahansa, kun muuttuja \(x\) on riittävän lähellä pistettä \(a\).

Selvennetään vielä määritelmän lukujen \(\varepsilon\) ja \(\delta\) suhdetta toisiinsa kuvan avulla. Alla olevassa kuvassa valittua lukua \(\varepsilon\) vastaa sellainen luku \(\delta\), että kun \(x\) on välillä \((a-\delta, a+\delta)\), säilyvät funktion kuvaajalle punaisella merkityt arvot \(f(x)\) välillä \((L-\varepsilon, L+\varepsilon)\). Koska funktion arvolla pisteessä \(a\) ei ole raja-arvon kannalta väliä, sen poissaoloa tarkastelusta esitetään valkoiseksi jätetyllä pisteellä.

../_images/epsilon-delta-havainnollistus.svg

Ehdon pitää määritelmän mukaisesti toimia jokaiselle positiiviselle luvulle \(\varepsilon\). Voit miettiä tai jopa itsellesi piirtää, mitä kuvassa muuttuu, jos luvun \(\varepsilon\) sijasta olisikin valittu pienempi luku, esimerkiksi \(\frac{\varepsilon}{2}\). Jotta funktion \(f\) raja-arvo olisi \(L\), täytyisi pystyä löytämään jokin \(\delta_1\), jotta väli \((L-\frac{\varepsilon}{2}, L+\frac{\varepsilon}{2})\) sisältäisi kaikki ne funktion arvot \(f(x)\), joilla \(x \in (a-\delta_1, a+\delta_1)\).

Määritelmää voisi siis ajatella eräänlaisena kahden pelaajan pelinä. Pelaajat kamppailevat siitä onko funktiolla \(f\) raja-arvo \(L\) kun muuttuja \(x\) lähestyy lukua \(a\). Aloittava pelaaja \(E\) ”epäilijä” valitsee aina luvun \(\varepsilon\) ja toinen pelaaja \(U\) ”uskoja” luvun \(\delta\). Pelaaja \(E\) voittaa mikäli pelaaja \(U\) ei pysty valitsemaan raja-arvon määritelmän mukaista muuttujaa \(\delta\). Pelaaja \(U\) voittaa mikäli hänellä on voittostrategia löytää aina määritelmän ehdon täyttävä muuttuja \(\delta\).

Määritelmän käytön yhteydessä käytetään usein sanotaan, että \(\varepsilon\) valitaan mielivaltaisesti tai saadaan mielivaltaisen pieneksi. Tällä käytännössä tarkoitetaan, että käsitellään kaikkia ja erityisesti pieniä luvun \(\varepsilon\) arvoja kerralla. Lukujen \(\varepsilon\) ja \(\delta\) yhteys esitetään yleensä niin, että ajatellaan luvun \(\delta\) olevan muuttujaan \(\varepsilon\) liittyvä funktio ja sanotaan, että luku \(\delta\) valitaan jollain tavalla, esimerkiksi ”valitaan \(\delta = \sqrt{\varepsilon}\)”.

Esimerkki 4.5.2

Osoita, että \(\lim\limits_{x \to -2}f(x) = 1\), kun \(f(x) = 3x + 7\).

Piilota/näytä ratkaisu

Olkoon \(\varepsilon > 0\) mielivaltainen. Tavoitteena on löytää sellainen \(\delta > 0\), että olettamalla \(0 < |x - (-2)| < \delta\) saadaan perusteltua rajaus \(|f(x) - 1| < \varepsilon\). Pyritään kirjoittamaan lauseketta \(|f(x) - 1|\) sellaiseen muotoon, että siinä esiintyy lauseke \(|x - (-2)| = |x + 2|\).

\[|3x + 7 - 1| = |3x + 6| = |3(x + 2)| = 3|x + 2|\]

Valitaan \(\delta = \frac{\varepsilon}{3} > 0\) ja oletetaan, että \(0 < |x + 2| < \delta\). Tällöin edellisen nojalla

\[|f(x) - 1| = 3|x + 2| < 3\delta = 3 \cdot \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon,\]

mikä todistaa väitteen.

Esimerkki 4.5.3

Osoita, että \(\lim\limits_{x \to 1}f(x) = -3\), kun \(f(x) = x^2 + 3x - 7\).

Piilota/näytä ratkaisu

Olkoon \(\varepsilon > 0\) mielivaltainen. Yritetään jälleen löytää sellainen \(\delta > 0\), että olettamalla \(0 < |x - 1| < \delta\) saadaan perusteltua ehto \(|f(x) + 3| < \varepsilon\). Pyritään jälleen tuomaan \(|x - 1|\) näkyviin lausekkeessa \(|f(x) + 3|\).

\[|x^2 + 3x - 7 + 3| = |x^2 + 3x - 4| = |(x - 1)(x + 4)| = |x - 1||x + 4|\]

Raja-arvoa tutkittaessa riittää käsitellä jotakin pisteen sisältävää väliä, ja tämän vuoksi luvulle \(\delta\) voidaan asettaa ylärajaksi esimerkiksi \(1\). Jos tiedetään, että \(\delta \leq 1\), niin rajauksen \(|x-1|<\delta\) jälkeen on oltava \(0 < x < 2\). Mutta tämän vuoksi \(4 < |x + 4| < 6\), eli

\[4|x - 1| < |x - 1||x + 4| < 6|x - 1|.\]

Valitaan \(\delta = \min\left\{\frac{\varepsilon}{6}, 1\right\}\) ja oletetaan, että \(0 < |x - 1| < \delta\). Tällöin

\[|f(x) + 3| = |x - 1||x + 4| < 6|x - 1| < 6\delta \leq 6 \cdot \frac{\varepsilon}{6} = \varepsilon,\]

mikä todistaa väitteen.

Osoitetaan raja-arvon määritelmän mukaisesti, että

\[\lim_{x \to 4} 8x-20 = 12.\]

Varsinainen todistus alkaa siinä vaiheessa, kun ilmoitetaan, millä tavalla \(\delta\) riipuu luvusta \(\varepsilon\), mutta sitä ennen täytyy tietää, mikä näiden lukujen yhteys on. Lähdetään liikkeelle siitä, että esitetään määritelmän merkintöjä käyttäen \(|f(x)-L|\) sellaisessa muodossa, jossa esiintyy \(|x-a|\).

Mikä seuraavista laskuista liittyy nyt käsillä olevan tehtävän luvun \(\delta\) selvittämiseen?
Miten aloitetaan todistus? Olkoon \(\varepsilon>0\). Valitaan
Mitä todistus sisältää seuraavaksi? Lisäksi oletetaan, että \(x\) kuuluu punkteerattuun ympäristöön
Mikä edellisen kysymyksen esityksessä viittaa punkteeraukseen? Se, että tässä etäisyysfunktion tarkastelussa
Tällöin pätee
Mikä on yllä olevan todistuksen perusajatus? Todistuksessa näytetään, että korkeintaan \(\delta\):n etäisyydellä raja-arvopisteestä \(4\) on vain sellaisia lukuja \(x\), joilla funktion arvo \(f(x)\) on väitetystä raja-arvosta \(12\) korkeintaan etäisyydellä \(\varepsilon\),

Nyt raja-arvojen laskusäännöt voidaan todistaa nojautuen raja-arvon täsmälliseen määritelmään. Todistetaan näistä esimerkiksi yhdistetyn funktion raja-arvo. Koska \(\varepsilon\)\(\delta\)-todistustekniikka on haastava aihe, voit ottaa todistuksen seuraamisen matemaattisena haasteena.

Esimerkki 4.5.4

Osoita, että jos \(\lim\limits_{x\to a}g(x)=M\) ja \(\lim\limits_{x\to M}f(x)=f(M)\), niin \(\lim\limits_{x\to a}f(g(x))=f(M)\).

Piilota/näytä ratkaisu

Olkoon \(\varepsilon>0\). Tavoitteena on löytää sellainen luku \(\delta > 0\), että

\[\abs{f(g(x))-f(M)} < \varepsilon \qquad \text{aina, kun} \qquad 0<\abs{x-a} <\delta.\]

Merkitään selkeyden vuoksi ulkofunktion \(f\) muuttujaa kirjaimella \(y\).

Koska raja-arvon \(f(M)\) oletetaan olevan olemassa, on raja-arvon määritelmän perusteella olemassa sellainen \(\delta_1>0\), jolle

(1)\[ \abs{f(y) - f(M)} < \varepsilon \qquad \text{aina, kun} \qquad 0 < \abs{y - M} < \delta_1.\]

Vastaavasti raja-arvon \(M\) oletetun olemassaolon vuoksi voidaan löytää jokin \(\delta_2 > 0\), jolle

\[\abs{g(x) - M} < \delta_1 \qquad \text{aina, kun} \qquad 0 < \abs{x - a} < \delta_2.\]

Yllä olevalla rivillä on käytetty luvun \(\varepsilon\) sijaan lukua \(\delta_1\), sillä määritelmän ehdon pitää olla voimassa kaikilla nollaa suuremmilla luvuilla, siis myös luvulla \(\delta_1\).

Valitsemalla \(\delta = \delta_2\) saadaan aikaan se, että kun \(0 < \abs{x-a} < \delta\), niin \(\abs{g(x) - M} < \delta_1\). Merkitään \(y=g(x)\). Määritelmän yhteydessä kerrottiin, että ehdossa \(0<|y-M|<\delta_1\) raja-arvon selvittämisen kannalta oleellista on se, että myös epäyhtälöketjun vasen puolikas on voimassa. Tarkastetaan kuitenkin varmuuden vuoksi, mitä tapahtuu, jos \(|y-M|=0\) eli \(y=M\). Sellaisissa pisteissä \(x\), joissa \(y=g(x)=M\), on voimassa

\[\abs{f(g(x))-f(M)} = \abs{f(M)-f(M)} = 0 < \varepsilon.\]

Kaikissa muissa pisteissä, eli silloin kun \(0<|g(x)-M|=|y-M|<\delta_1\), tiedetään kohdan (??) perusteella, että

\[\abs{f(g(x)) - f(M)} = \abs{f(y)-f(M)} < \varepsilon.\]

Siispä kummassakin tapauksessa oletuksesta \(0 < \abs{x-a} < \delta\) seuraa se, että

\[\abs{f(g(x)) - f(M)} < \varepsilon.\]

Näin ollen raja-arvon määritelmän mukaisesti \(\lim\limits_{x\to a}f(g(x))=f(M)\).

Raja-arvon määritelmällä voidaan myös osoittaa, ettei raja-arvoa ole olemassa.

Esimerkki 4.5.5

Osoita, että raja-arvoa \(\lim\limits_{x\to 0} \sin\frac{1}{x}\) ei ole olemassa.

Piilota/näytä ratkaisu

Tehdään vastaoletus, jonka mukaan \(\lim\limits_{x\to 0} \sin\frac{1}{x}\) on olemassa. Merkitään tätä raja-arvoa luvulla \(L\), ja osoitetaan, että tämä oletus johtaa väistämättä ristiriitaan.

Raja-arvon määritelmän mukainen ehto raja-arvon \(L\) olemassaololle koskee kaikkia positiivisia reaalilukuja \(\varepsilon\). Näin ollen luku \(L\) ei olekaan raja-arvo, jos löydetään jokin luku \(\varepsilon > 0\), jolle määritelmän mukaista lukua \(\delta > 0\) ei ole olemassa. Täytyy siis löytää sellainen luku \(\varepsilon > 0\), että millä tahansa luvulla \(\delta > 0\) löytyy jokin luku \(x_0\), jolla on voimassa

\[0 < |x_0-0| = |x_0| < \delta, \qquad \text{mutta silti} \qquad \left|\sin\frac{1}{x_0} - L\right| \geq \varepsilon.\]

On tärkeää huomata, että funktion \(\sin\frac{1}{x}\) kuvaaja heilahtelee voimakkaasti arvojen \(1\) ja \(-1\) välillä, kun \(x \to 0\). Tämän havainnon perusteella voidaan raja-arvon määritelmässä valita \(\varepsilon = 1\) riippumatta siitä, mikä raja-arvo \(L\) on. Olkoon jatkossa \(\delta\) jokin mielivaltainen positiivinen luku.

Nyt joko \(L \geq 0\) tai \(L < 0\). Oletetaan ensin, että \(L \geq 0\). Määritetään seuraavaksi, millä muuttujan \(x\) arvoilla \(\sin\frac{1}{x} = -1\).

\[\sin\frac{1}{x_0} = -1 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \frac{1}{x_0} = \frac{3\pi}{2}+2\pi n \qquad \Longleftrightarrow \qquad x_0 = \frac{1}{\frac{3\pi}{2}+2\pi n},\]

missä \(n\) on jokin kokonaisluku. Jotta vielä \(0< |x_0| < \delta\), pitää olla \(n > \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\pi\delta}+\frac{3}{2}\right)\).

Tällöin vaikka \(0< |x_0| < \delta\), saadaankin

\[\left|\sin\frac{1}{x_0} - L\right| = |-1-L| = |1+L| = 1+L \geq 1 = \varepsilon,\]

eli raja-arvon määritelmän ehto ei toteudu millään positiivisella reaaliluvulla \(\delta\). Näin ollen luku \(L\) ei ole funktion \(\sin\frac{1}{x}\) raja-arvo. Siispä välttämättä \(L < 0\), ja tämä tapaus jätetään lukijalle pohdittavaksi. Vastaavasti voidaan osoittaa, että tällöinkään luku \(L\) ei toteuta raja-arvon määritelmää. Tämä puolestaan on ristiriidassa vastaoletuksen kanssa, eli alkuperäinen väite on tosi.

Palautusta lähetetään...