\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]
Motivointia
Monien sovellusten matemaattisissa malleissa päädytään yhtälöihin, joissa esiintyy suureiden muutosnopeuksia toisten suureiden suhteen. Tällaisia yhtälöitä kutsutaan differentiaaliyhtälöiksi. Havainnollistetaan differentiaaliyhtälöillä mallintamista seuraavilla yksinkertaisilla ongelmilla.
Esimerkki 7.1.1
Sijoitetaan kappale vakiolämpöiseen lämpökylpyyn, jonka lämpötila on \(T_0\). Merkitään kappaleen lämpötilaa \(T(t)\) hetkellä \(t\), eli oletetaan kappaleen sisäiset lämpötilaerot aina tasoittuneiksi. Lämpö virtaa kuumasta kylmään ja lämpötilan muutosnopeus \(T'(t)\) on suoraan verrannollinen kappaleen ja ympäristön väliseen lämpötilaeroon \(T(t)-T_0\), eli
(1)\[ T'(t)=-k(T(t)-T_0),\]
missä \(k>0\) on verrannollisuuskerroin. Kerroin \(-k\) on välttämättä negatiivinen, koska kappaleen ollessa ympäristöä lämpimämpi \(T(t)-T_0>0\) ja lämpötila \(T(t)\) vähenee ja siten derivaatta \(T'(t)\) on negatiivinen. Päinvastaisessa tilanteessa on oltava \(T(t)-T_0<0\) ja \(T'(t)>0\).
Jos vakiot \(k\) ja \(T_0\) tunnetaan, niin ratkaise funktio
\(T(t)\).
Suoraviivaisesti liikkuvaan kappaleeseen vaikuttaa vakiosuuruinen työntövoima \(F_0\) ja vauhdista \(v\) riippuva vastusvoima \(-kv^2\), missä \(k>0\) on vakio. Kappaleeseen vaikuttava kokonaisvoima on \(F_0-kv^2\), joten Newtonin lain mukaan \(F_0-kv^2=ma\), missä \(m\) on massa ja \(a\) on kiihtyvyys. Merkitään kappaleen paikkaa \(x(t)\) hetkellä \(t\). Koska \(x'(t)=v(t)\) ja \(x''(t)=v'(t)=a(t)\), niin
\[F_0-kx'(t)^2=mx''(t).\]
Jos vakiot \(F_0\), \(k\) ja \(m\) tunnetaan, niin ratkaise funktio \(x(t)\).
Ydinsisältö