\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\]

Integroimistekniikkaa

Yksinkertaisimmissa tapauksissa paras keino integraalifunktion selvittämiseksi on “arvata” tai selvittää kokeilemalla, minkä funktion derivaatta integroitava funktio on. Lähtökohdaksi voidaan ottaa muutama peruskaava, jotka johdetaan suoraan derivointikaavoista. Liitetaulukossa on esitetty laajempi kokoelma samaan tapaan perusteltavia kaavoja.

Integraalifunktiota määritettäessä on syytä selvittää väli \(I\), jolla tulos on voimassa (vertaa esimerkkiin 1.2.6). Välejä voi olla useampiakin, jolloin tulos on voimassa kullakin välillä erikseen.

Yleensä funktiosta ei kuitenkaan näe suoraan, kuinka se olisi integroitava. Tällöin seuraavat integroimismenetelmät saattavat auttaa. Menetelmästä riippumatta integroinnin tulos kannattaa aina tarkastaa derivoimalla!

Osittaisintegrointi

Tulon derivoimissäännnön mukaan

\[D(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),\]

joten

\[f'(x)g(x)=D(f(x)g(x))-f(x)g'(x).\]

Integroimalla puolittain saadaan osittaisintegrointikaava (integration by parts), jota voi yrittää käyttää, kun integroitavana on tulo, jonka tekijöistä toinen osataan integroida ja toinen derivoida

(1)\[\int f'(x)g(x)\,\d x=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,\d x.\]

Huomautus 1.3.1

Integraalifunktioita koskevissa yhtälöissä, kuten osittaisintegroinnin yhtälössä on muistettava, että laskettaessa puolittain jotkin integraalifunktiot yhtälö pätee vain vakiota vaille. Esimerkiksi yhtälöstä \(1=1\) ei seuraa puolittain integroimalla, että \(x=x+7\), vaikka sekä \(F(x)=x\) että \(G(x)=x+7\) ovat funktion \(1\) integraalifunktioita.

Esimerkki 1.3.2

Laske \(\displaystyle\int xe^{-x}\,\d x\).

Ratkaisu

Valitaan \(f'(x)=e^{-x}\) ja \(g(x)=x\), jolloin \(f(x)=\int e^{-x}\,\d x=-e^{-x}\). Integroimisvakio voidaan valita nollaksi, sillä osittaisintegroinnin kaava on voimassa kaikille funktion \(f'(x)\) integraalifunktioille \(f(x)\). Lisäksi \(g'(x)=1\) ja nyt

\[\int xe^{-x}\,\d x=-xe^{-x}+\int e^{-x}\,\d x=-(x+1)e^{-x}+C.\qedhere\]
Osittaisintegrointia käytetään, kun

Esimerkki 1.3.3

Laske \(\displaystyle\int x^2e^x\,\d x\).

Ratkaisu

Sovelletaan osittaisintegrointia kahdesti niin, että päästään ensin eroon tekijästä \(x^2\) ja sitten tekijästä \(x\). Nyt

\[\begin{split}\begin{aligned} &\int x^2e^x\,\d x&& \begin{cases} f'(x)=e^x,& f(x)=e^x\\ g(x)=x^2,& g'(x)=2x \end{cases}\\ &=x^2e^x-2\int xe^x\,\d x&& \begin{cases} f'(x)=e^x,& f(x)=e^x\\ g(x)=x,& g'(x)=1 \end{cases}\\ &=x^2e^x-2\left(xe^x-\int e^x\,\d x\right)\\ &=(x^2-2x+2)e^x+C. \end{aligned}\end{split}\]

Esimerkki 1.3.4

Laske \(\displaystyle\int e^x\sin x\,\d x\).

Ratkaisu

Sovelletaan taas ensin osittaisintegrointia kahdesti. Tällä kertaa

\[\begin{split}\begin{aligned} &\int e^x\sin x\,\d x&& \begin{cases} f'(x)=e^x,& f(x)=e^x\\ g(x)=\sin x,& g'(x)=\cos x \end{cases}\\ &=e^x\sin x-\int e^x\cos x\,\d x&& \begin{cases} f'(x)=e^x,& f(x)=e^x\\ g(x)=\cos x,& g'(x)=-\sin x \end{cases}\\ &=e^x\sin x-\left(e^x\cos x+\int e^x\sin x\,\d x\right). \end{aligned}\end{split}\]

On saatu yhtälö, jonka molemmilla puolilla esiintyy kysytty integraali. Ratkaisemalla yhtälö tämän integraalin suhteen, saadaan

\[\int e^x\sin x\,\d x=\frac12e^x(\sin x-\cos x)+C.\qedhere\]

Osittaisintegroinnin onnistuminen on suuresti kiinni siitä, kuinka funktiot \(f\) ja \(g\) valitaan. Väärä järjestys voi johtaa ojasta allikkoon ja monesti oikea tapa selviääkin vasta kokeilujen jälkeen.

Integrointi sijoituksen avulla

Olkoon \(F\) funktion \(f\) integraalifunktio. Yhdistetyn funktion derivointisäännöstä

\[DF(g(x))=f(g(x))g'(x)\]

saadaan integrointikaava

(2)\[\int f(g(x))g'(x)\,\d x=F(g(x))+C.\]

Erityisesti

(3)\[\begin{split}\begin{aligned} &\int g'(x)e^{g(x)}\,\d x=e^{g(x)}+C,\\ &\int g'(x)(g(x))^a\,\d x=\frac{1}{a+1}(g(x))^{a+1}+C&&(a\ne-1),\\ &\int\frac{g'(x)}{g(x)}\,\d x=\ln|g(x)|+C&&(g(x)\ne0). \end{aligned}\end{split}\]

Esimerkki 1.3.5

Kaavan (3)

  1. ensimmäisen rivin mukaan

    \[\int x^2e^{4x^3}\,\d x=\frac{1}{12}\int12x^2e^{4x^3}\,\d x=\frac{1}{12}e^{4x^3}+C,\]
  2. keskimmäisen rivin mukaan

    \[\int(9x-7)^4\,\d x=\frac19\int9(9x-7)^4\,\d x=\frac19\cdot\frac15(9x-7)^5+C=\frac{1}{45}(9x-7)^5+C,\]
  3. alimman rivin mukaan

    \[\int\tan x\,\d x=\int\frac{\sin x}{\cos x}\,\d x=-\int\frac{-\sin x}{\cos x}\,\d x=-\ln\left|\cos x\right|+C.\]

Integrointi sijoituksen avulla kannattaa ajatella muuttujanvaihtona \(u=g(x)\) integraaliin. Tällöin kaava (2) tulee muotoon

\[\int f(g(x))g'(x)\,\d x=F(u)=\int f(u)\, \d u.\]

Nähdään, että differentiaalille \(\d u=g'(x)\d x\). Menetelmä voidaan systematisoida seuraavasti:

  1. Sijoita integroitavaan funktioon \(u=g(x)\) siten, että \(f(u)\) on lausuttu pelkästään uuden muuttujan \(u\) avulla.

  2. Laske differentiaali (formaalisti)

    \[\frac{\d u}{\d x}=g'(x)\ \Rightarrow\ \d u=g'(x)\d x\]

    ja sijoita integraaliin.

  3. Laske integraali \(\int f(u)\, \d u=F(u)\).

  4. Sijoita \(u=g(x)\) integraalifunktioon \(F\), koska haluamme lausua lopputuloksen alkuperäisen muuttujan \(x\) avulla.

Seuraavat esimerkit valaisevat edellä kuvattua menetelmää.

Kun integroitavan funktion jokaisen muuttujan \(x\) tilalle sijoitetaan muuttujasta \(u\) riippuva lauseke \(x(u)\), on kyseessä

Esimerkki 1.3.6

Laske \(\displaystyle\int e^{2x + 3}\,\d x\).

Ratkaisu

Sijoitetaan \(u=2x+3\). Tällöin

\[\frac{\d u}{\d x}=2 \Rightarrow \d x=\frac{1}{2}\,\d u.\]

Niinpä

\[\int e^{2x+3}\,\d x=\frac{1}{2}\int e^u\,\d u =\frac{1}{2}e^u+C=\frac{1}{2}e^{2x+3}+C.\qedhere\]

Esimerkki 1.3.7

Laske \(\displaystyle\int t^4\sqrt[3]{3-5t^5}\,\d t\).

Ratkaisu

Sijoitetaan \(u=3-5t^5\), jolloin

\[\frac{\d u}{\d t}=-25t^4 \Rightarrow t^4\,\d t=-\frac{1}{25}\d u.\]

Siten

\[\int t^4\sqrt[3]{3-5t^5}\,\d t =-\frac{1}{25}\int u^{1/3}\,\d u =-\frac{1}{25}\cdot\frac{3}{4}u^{4/3}+C=-\frac{3}{100}(3-5t^5)^{4/3}+C.\qedhere\]

Kaksi edellistä esimerkkiä oltaisiin voitu integroida myös suoraan kaavoja (3) käyttäen. Aina sopiva sijoitus ei ole yhtä ilmeinen.

Esimerkki 1.3.8

Laske \(\displaystyle\int\frac{x}{x^4+1}\,\d x\).

Ratkaisu

Sijoitetaan \(u=x^2\). Nyt

\[\frac{\d u}{\d x}=2x \Rightarrow x\,\d x=\frac{\d u}{2},\]

joten

\[\int\frac{x}{x^4+1}\,\d x=\frac12\int\frac{\d u}{u^2+1} =\frac12\arctan u+C=\frac12\arctan(x^2)+C.\qedhere\]
Palautusta lähetetään...