\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\]

Epäoleellinen integraali

Edellä integraali määriteltiin vain rajoitetulla välillä \([a,b]\) määritellylle rajoitetulle (yleensä paloittain jatkuvalle) fuktiolle. Yleistämme nyt tätä määritelmää myös tapauksiin, joissa

  1. integroimisväli on rajoittamaton (\(a=-\infty\) tai \(b=\infty\)), tai
  2. funktio ei ole rajoitettu.

Näitä integraaleja kutsutaan yhteisesti epäoleellisiksi (improper).

Rajoittamaton integroimisväli

../_images/integrointiepaoleellinenalku.svg

Määritelmä 2.3.1

Olkoon \(f\) jatkuva välillä \([a,\infty)\). Määritellään

\[\int_a^\infty f(x)\,\d x=\lim_{c\to\infty}\int_a^c f(x)\,\d x.\]

Vastaavasti jos \(f\) on jatkuva välillä \((-\infty,a]\), määritellään

\[\int_{-\infty}^a f(x)\,\d x=\lim_{c\to-\infty}\int_c^a f(x)\,\d x.\]

Mikäli raja-arvo on (äärellisenä) olemassa, kyseinen epäoleellinen integraali suppenee (converges), muulloin hajaantuu (diverges).

Lause 2.3.2

Olkoon \(a>0\) ja \(p\) reaaliluku. Tällöin epäoleellinen integraali

\[\int_a^\infty\frac{\d x}{x^p}\]

suppenee jos ja vain jos \(p > 1\).

Todistus

Olkoon \(c>a\). Oletetaan ensin, että \(p\ne1\). Tällöin

\[\begin{split}\int_a^c\frac{\d x}{x^p} =\frac{1}{1-p}\sij{a}{c}\frac{1}{x^{p-1}} =\frac{1}{1-p}\left(\frac{1}{c^{p-1}}-\frac{1}{a^{p-1}}\right) \to\begin{cases} \frac{a^{1-p}}{p-1},&\text{kun }p>1\\ \infty,&\text{kun }p<1, \end{cases} \qquad\text{kun } c \to \infty.\end{split}\]

Tapauksessa \(p=1\)

\[\int_a^c\frac{\d x}{x} =\sij{a}{c}\ln x=\ln c-\ln a\to\infty,\qquad\text{kun } c \to \infty.\qedhere\]

Potenssifunktioiden integroituvuudessa välillä \([a,\infty)\) funktio \(\frac{1}{x}\) on siis rajatapaus. Vertaa tulosta funktioiden kuvaajiin.

../_images/integraaliepaoleellinen2.svg

Hajaantuvan integraalin arvo ei välttämättä ole \(\infty\) tai \(-\infty\).

Esimerkki 2.3.3

Esimerkiksi

\[\int_0^c\cos x\,\d x=\sij{0}{c}\sin x=\sin c,\]

jolla ei ole raja-arvoa, kun \(c\to\infty\). Niinpä esimerkiksi

\[\int_0^\infty\cos x\,\d x\]

hajaantuu.

Rajoittamaton funktio

../_images/integraaliepaoleellinen3.svg

Määritelmä 2.3.4

Olkoon \(f\) jatkuva, mutta rajoittamaton välillä \([a,b)\). Määritellään

\[\int_a^b f(x)\,\d x=\lim_{c\to b-}\int_a^c f(x)\,\d x.\]

Vastaavasti jos \(f\) on jatkuva, mutta rajoittamaton välillä \((a,b]\), määritellään

\[\int_a^b f(x)\,\d x=\lim_{c\to a+}\int_c^b f(x)\,\d x.\]

Mikäli raja-arvo on (äärellisenä) olemassa, kyseinen epäoleellinen integraali suppenee, muulloin hajaantuu.

Yllä määriteltyä epäoleellista integraalia kutsutaan myös integraaliksi yli puoliavoimen välin \((a,b]\).

Rajoittamaton integroimisväli tarkoittaa, että

Lause 2.3.5

Olkoon \(a>0\) ja \(p\in\R\). Tällöin epäoleellinen integraali

\[\int_0^a\frac{dx}{x^p}\]

suppenee jos ja vain jos \(p < 1\).

Todistus
Samaan tapaan kuin lause 2.3.2 rajoittamattomalle välille.

Esimerkki 2.3.6

Suppeneeko vai hajaantuuko \(\displaystyle\int_1^2\frac{\d x}{(x-2)^2}\)?

Ratkaisu

Integroitava funktio

\[\frac{1}{(x-2)^2}\to\infty,\]

kun \(x\to 2-\), joten kyseessä on epäoleellinen integraali ja

\[\begin{split}\begin{aligned} \int_1^2\frac{\d x}{(x-2)^2} &=\lim_{c\to2-}\int_1^c\frac{\d x}{(x-2)^2} =\lim_{c\to2-}\sij{1}{c}-\frac{1}{x-2}\\ &=\lim_{c\to2-}\left(-\frac{1}{c-2}-1\right)=\infty. \end{aligned}\end{split}\]

Integraali siis hajaantuu.

Integroimisvälin jako osiin

Jos integroimisväli on \((-\infty,\infty)\), tai on useampia pisteitä, joiden ympäristöissä \(f\) on rajoittamaton, on integroimisväli jaettava osiin siten, että saadaan epäoleelliset integraalit \(I_1,I_2,\ldots,I_n\), joissa on vain joko määritelmän mukainen rajoittamattoman välin tai rajoittamattoman funktion tapaus. Määritellään, että funktion \(f\) integraali \(I\) suppenee, jos jokainen \(I_i\) suppenee. Tällöin asetetaan

\[I=I_1+I_2+\cdots+I_n.\]

Havainnollisteaan tilannetta seuraavien esimerkkien avulla.

Esimerkki 2.3.7

Tutki epäoleellisten integraalien

  1. \(\displaystyle\int_0^\infty\frac{\d x}{x^2}\),
  2. \(\displaystyle\int_{-1}^1\frac{\d x}{x^{1/3}}\),
  3. \(\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{\d x}{1+x^2}\)

suppenemista, ja laske arvo suppenevassa tapauksessa.

Ratkaisu
  1. Integroitava funktio \(\frac{1}{x^2}\to\infty\), kun \(x\to0+\), joten kyseessä on epäoleellinen integraali, joka voidaan jakaa osiin

    \[\int_0^\infty\frac{\d x}{x^2}=\int_0^1\frac{\d x}{x^2}+\int_1^\infty\frac{\d x}{x^2}.\]

    Muotoa \(\frac{1}{x^p}\) olevien funktioiden epäoleellisten integraalien suppenemistuloksen mukaan ensimmäinen näistä integraaleista hajaantuu, joten kysytty integraali myös hajaantuu.

  2. Integroitava funktio \(\frac{1}{x^{1/3}}\to\pm\infty\), kun \(x\to0\pm\), joten kyseessä on epäoleellinen integraali, joka voidaan jakaa osiin

    \[\begin{split}\begin{aligned} \int_{-1}^1\frac{\d x}{x^{1/3}}&=\int_{-1}^0\frac{\d x}{x^{1/3}}+\int_0^1\frac{\d x}{x^{1/3}} =\lim_{c\to0-}\int_{-1}^c\frac{\d x}{x^{1/3}}+\lim_{c\to0+}\int_c^1\frac{\d x}{x^{1/3}}\\ &=\lim_{c\to0-}\sij{-1}{c}\frac32x^{2/3}+\lim_{c\to0+}\sij{c}{1}\frac32x^{2/3} =-\frac32+\frac32=0. \end{aligned}\end{split}\]
  3. Integroitava funktio toteuttaa ehdon \(0<\frac{1}{1 + x^2}\le1\) aina, kun \(x \in \R\) joten se on rajoitettu. Integroimisväli puolestaan on molemmista päistä rajoittamaton, joten integroimisväli täytyy jakaa kahteen osaan. Jaetaan esimerkiksi pisteen \(0\) kohdalta ja saadaan

    \[\begin{split}\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty\frac{\d x}{1+x^2} &=\int_{-\infty}^0\frac{\d x}{1+x^2}+\int_0^\infty\frac{\d x}{1+x^2}\\ &=\lim_{c\to-\infty}\int_c^0\frac{\d x}{1+x^2}+\lim_{c\to\infty}\int_0^c\frac{\d x}{1+x^2}\\ &=\lim_{c\to-\infty}\sij{c}{0}\arctan x+\lim_{c\to\infty}\sij{0}{c}\arctan x\\ &=\Big(0-\Big(-\frac{\pi}{2}\Big)\Big)+\Big(\frac{\pi}{2}-0\Big) =\pi. \end{aligned}\end{split}\]

Huomautus 2.3.8

Analyysin peruslauseessa oletus funktion jatkuvuudesta koko suljetulla ja rajoitetulla välillä on oleellinen. Esimerkiksi huolimattomasti voisimme laskea

\[\int_{-1}^1\frac{\d x}{x^2}\stackrel{\text{!}}{=}-\sij{-1}{1}\frac{1}{x}=-(1+1)=-2.\]

Tämän laskun tulos on selvästi virheellinen jo siksi, että integroitava funktio on positiivinen kaikilla \(x\ne0\).

Seuraavia vertailuperiaatteita voidaan käyttää epäoleellisen integraalin suppenevuuden tai hajaantuvuuden tutkimiseen.

Lause 2.3.9 (Vertailuperiaate)

Olkoon \(-\infty\le a<b\le\infty\) ja oletetaan, että jatkuville funktioille \(f(x)\) ja \(g(x)\) pätee \(0\le f(x)\le g(x)\) aina, kun \(f(x)\) ja \(g(x)\) on määritelty. Tällöin

  1. jos \(\displaystyle\int_a^b g(x)\,\d x\) suppenee, niin \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\d x\) suppenee,
  2. jos \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\d x\) hajaantuu, niin \(\displaystyle\int_a^b g(x)\,\d x\) hajaantuu.

Kohtaa 1 kutsutaan majoranttiperiaatteeksi ja kohtaa 2 minoranttiperiaatteeksi.

Todistus

Todistetaan tilanne 1., kun \(-\infty<a<\infty\) ja \(b=\infty\). Oletuksen nojalla

\[0\le f(x)\le g(x).\]

Lauseen 1.5.4 kohdan (iv) mukaan

\[0\le \int_a^c f(x)\, \d x\le \int_a^c g(x)\, \d x\]

jokaisella \(c\in [a,\infty)\). Kun \(c\to\infty\), niin

\[0\le \int_a^\infty f(x)\, \d x\le \int_a^\infty g(x)\, \d x<\infty,\]

mistä tulos seuraa. Muut kohdat todistetaan samalla tavalla.

Mikä periaate soveltuu epäoleellisen integraalin suppenemisen osoittamiseen?
Tiedetään, että \(0 \le f(x) \le g(x)\). Mitä minoranttiperiaatteen nojalla voidaan päätellä, jos \(\int_{a}^{b} f(x)\,\d x\) hajaantuu?

Esimerkki 2.3.10

Tutki epäoleellisten integraalien

  1. \(\displaystyle\int_1^\infty\frac{\d x}{\sqrt{x+x^3}}\)
  2. \(\displaystyle\int_0^\infty\frac{\d x}{1+\sqrt{x}}\)

suppenemista.

Ratkaisu
  1. Integraali suppenee, sillä

    \[0\le\frac{1}{\sqrt{x+x^3}}\le\frac{1}{\sqrt{x^3}}=\frac{1}{x^{3/2}},\]

    kun \(x\ge1\) ja \(\displaystyle\int_1^\infty\frac{\d x}{x^{3/2}}\) suppenee majoranttiperiaatteen nojalla. Usein tällainen arvio kirjoitetaan lyhyesti

    \[0\le\int_1^\infty\frac{\d x}{\sqrt{x+x^3}}\le\int_1^\infty\frac{\d x}{\sqrt{x^3}}=\int_1^\infty\frac{\d x}{x^{3/2}}<\infty.\]
  2. Koska \(1+\sqrt{x}\le\sqrt{x}+\sqrt{x}=2\sqrt{x}\), kun \(x\ge1\), niin voidaan arvioida

    \[\int_0^\infty\frac{\d x}{1+\sqrt{x}} \ge\int_1^\infty\frac{\d x}{1+\sqrt{x}} \ge\frac12\int_1^\infty\frac{\d x}{\sqrt{x}}=\infty.\]

    Integraali siis hajaantuu minoranttiperiaatteen nojalla.

Palautusta lähetetään...