$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}$

Kompleksiluvut¶

Tässä liitteessä kerrataan kompleksilukujen perusteita siltä osin, mitä monisteessa on tarvetta.

Kompleksiluvut $$z\in\mathbb{C}$$ ovat siis lukuja

$z=x+iy,$

missä $$i^2=-1$$. Symbolia $$i$$ kutsutaan imaginaariyksiköksi. Kompleksiluvut muodostavat kunnan, eli niillä laskeminen ei eroa reaalilukujen algebrallisista ominaisuuksista muuten kuin edellä olevan imaginaariyksikön neliön negatiivisuuden osalta.

Huomautus 7.2.1

Kompleksilukujen olemassaolo tulee helposti todistettua reaalisten $$2\times 2$$-reaalimatriisien avulla määrittelemällä

$\begin{split}1=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\ \text{ ja }\ i=\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}.\end{split}$

On helppoa todeta, että $$i^2=-1$$, joka antaa realisaation lukusysteemille, jossa luvut ovat siis muotoa $$z=x1+yi$$.

Kompleksiluvut voidaan vektoriavaruusmielessä samaistaa tason $$\mathbb{R}^2$$ pisteiden $$(x,y)$$ kanssa samaistamalla

$z=x+iy\ \leftrightarrow\ \mathbf{x}=(x,y).$

Luvun $$x$$- ja $$y$$-koordinaattia kutsutaan nimillä reaali- ja imaginääriosa, ja merkitään

$\text{Re}(z)=x\ \text{ ja }\ \text{Im}(z)=y.$

Kompleksiluvun $$z=x+iy$$ konjugaatti määritellään asettamalla

$\overline{z}=x-iy.$

Geometrisesti konjugointi tarkoittaa tason $$y$$-komponentin peilaamista $$x$$-akselin suhteen. Lukuja $$z$$ ja $$\overline{z}$$ kutsutaan liittoluvuiksi. Konjugaatin avulla määritellään kompleksiluvun normi tai moduuli asettamalla

$|z|^2=\overline{z}z=z\overline{z},$

josta laskemalla $$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$.

Kompleksiluku kompleksitasolla vastaa siis tason pistettä. Olkoon $$\theta$$ tämän pisteen ja origon muodostaman vektorin sekä $$x$$-akselin välinen kulma. Tällöin reaali- ja imaginääriosa voidaan antaa muodossa

$\begin{split}\begin{cases} x = |z|\cos(\theta),\\ y = |z|\sin(\theta), \end{cases}\end{split}$

ja vastaava kompleksiluku puolestaan

$z=|z|\big(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\big).$

Trigonometristen termien muodostama osuus on tapana lausua avulla muodossa

$e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta),$

jota kutsutaan Eulerin kaavaksi.

Huomautus 7.2.2

Eulerin kaavan todistus on suoraviivainen lasku, kunhan kompleksiluvulle $$z\in\mathbb{C}$$ määritellään eksponenttifunktio asettamalla

$e^z=\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}.$

Tässä monisteessa esitetty sarjateoria siirtyy kompleksitermisille sarjoille sellaisenaan korvaamalla itseisarvot kompleksilukujen moduleilla. Kompleksilukujen kuntarakenteesta (tarkemmin sanottuna tulon vaihdannaisuudesta) johtuen kompleksiargumenttinen eksponenttifunktio noudattaa normaaleja potenssien laskusääntöjä, kuten $$e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$$.

Usein on tapana merkitä $$r=|z|$$, jolloin Eulerin kaava antaa kompleksiluvulle $$z\in\mathbb{C}$$ napakoordinaattiesityken

$z=re^{i\theta}.$

Napakoordinaattiesitys antaa mahdollisuuden laskea kompleksiluvun potensseja muodossa

$z^n=r^ne^{in\theta},$

jota kutsutaan de Moivren kaavaksi.

Palautusta lähetetään...