\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\]

Kompleksiluvut

Tässä liitteessä kerrataan kompleksilukujen perusteita siltä osin, mitä monisteessa on tarvetta.

Kompleksiluvut \(z\in\mathbb{C}\) ovat siis lukuja

\[z=x+iy,\]

missä \(i^2=-1\). Symbolia \(i\) kutsutaan imaginaariyksiköksi. Kompleksiluvut muodostavat kunnan, eli niillä laskeminen ei eroa reaalilukujen algebrallisista ominaisuuksista muuten kuin edellä olevan imaginaariyksikön neliön negatiivisuuden osalta.

Huomautus 7.2.1

Kompleksilukujen olemassaolo tulee helposti todistettua reaalisten \(2\times 2\)-reaalimatriisien avulla määrittelemällä

\[\begin{split}1=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\ \text{ ja }\ i=\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}.\end{split}\]

On helppoa todeta, että \(i^2=-1\), joka antaa realisaation lukusysteemille, jossa luvut ovat siis muotoa \(z=x1+yi\).

Kompleksiluvut voidaan vektoriavaruusmielessä samaistaa tason \(\mathbb{R}^2\) pisteiden \((x,y)\) kanssa samaistamalla

\[z=x+iy\ \leftrightarrow\ \mathbf{x}=(x,y).\]

Luvun \(x\)- ja \(y\)-koordinaattia kutsutaan nimillä reaali- ja imaginääriosa, ja merkitään

\[\text{Re}(z)=x\ \text{ ja }\ \text{Im}(z)=y.\]

Kompleksiluvun \(z=x+iy\) konjugaatti määritellään asettamalla

\[\overline{z}=x-iy.\]

Geometrisesti konjugointi tarkoittaa tason \(y\)-komponentin peilaamista \(x\)-akselin suhteen. Lukuja \(z\) ja \(\overline{z}\) kutsutaan liittoluvuiksi. Konjugaatin avulla määritellään kompleksiluvun normi tai moduuli asettamalla

\[|z|^2=\overline{z}z=z\overline{z},\]

josta laskemalla \(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\).

Kompleksiluku kompleksitasolla vastaa siis tason pistettä. Olkoon \(\theta\) tämän pisteen ja origon muodostaman vektorin sekä \(x\)-akselin välinen kulma. Tällöin reaali- ja imaginääriosa voidaan antaa muodossa

\[\begin{split}\begin{cases} x = |z|\cos(\theta),\\ y = |z|\sin(\theta), \end{cases}\end{split}\]

ja vastaava kompleksiluku puolestaan

\[z=|z|\big(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\big).\]

Trigonometristen termien muodostama osuus on tapana lausua avulla muodossa

\[e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta),\]

jota kutsutaan Eulerin kaavaksi.

Huomautus 7.2.2

Eulerin kaavan todistus on suoraviivainen lasku, kunhan kompleksiluvulle \(z\in\mathbb{C}\) määritellään eksponenttifunktio asettamalla

\[e^z=\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}.\]

Tässä monisteessa esitetty sarjateoria siirtyy kompleksitermisille sarjoille sellaisenaan korvaamalla itseisarvot kompleksilukujen moduleilla. Kompleksilukujen kuntarakenteesta (tarkemmin sanottuna tulon vaihdannaisuudesta) johtuen kompleksiargumenttinen eksponenttifunktio noudattaa normaaleja potenssien laskusääntöjä, kuten \(e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2}\).

Usein on tapana merkitä \(r=|z|\), jolloin Eulerin kaava antaa kompleksiluvulle \(z\in\mathbb{C}\) napakoordinaattiesityken

\[z=re^{i\theta}.\]

Napakoordinaattiesitys antaa mahdollisuuden laskea kompleksiluvun potensseja muodossa

\[z^n=r^ne^{in\theta},\]

jota kutsutaan de Moivren kaavaksi.

Palautusta lähetetään...