\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\]

Summaus

Kerrataan summausta ja summausmerkintää. Jos \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) ovat reaalilukuja, niin merkitään

\[\sum_{i=1}^na_i=a_1+a_2+\cdots+a_n.\]

Esimerkiksi

\[\sum_{i=1}^{5}i^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=1+4+9+16+25=55.\]

Summausindeksin nimi voidaan valita vapaasti, joskin yleensä käytetään kirjainta \(i\), \(j\), \(k\), \(l\), \(m\) tai \(n\). Indeksointi voidaan aloittaa muustakin indeksistä kuin \(1\). Esimerkiksi edellinen summa voidaan kirjoittaa

\[\sum_{i=1}^5i^2=\sum_{k=1}^5k^2=\sum_{j=2}^6(j-1)^2=\sum_{j=0}^4(j+1)^2.\]

Jos termeillä on yhteinen tekijä \(c\), niin voidaan laskea

\[\sum_{i=1}^nca_i =(ca_1)+(ca_2)+\cdots+(ca_n) =c(a_1+a_2+\cdots+a_n) =c\sum_{i=1}^na_i\]

eli

\[\sum_{i=1}^nca_i=c\sum_{i=1}^na_i.\]

Samaan tapaan saadaan

\[\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)=\sum_{i=1}^na_i+\sum_{i=1}^nb_i.\]

Esimerkiksi

\[\sum_{i=1}^5(7i^2-4i) =7\sum_{i=1}^5i^2-4\sum_{i=1}^5i =7\cdot55-4\cdot15=325.\]

Tärkeä erikoistapaus on vakiotermin \(c\) summa

\[\sum_{i=1}^nc=\underbrace{c+c+\cdots+c}_{n\text{ kappaletta}}=nc.\]

Erityisesti

\[\sum_{i=1}^n1=n.\]

Merkin vaihtelu saadaan aikaan luvun \(-1\) potensseilla, sillä

\[\begin{split}(-1)^i = \begin{cases} -1,&\text{kun } i \text{ on pariton}\\ 1,&\text{kun } i \text{ on parillinen.} \end{cases}\end{split}\]

Esimerkiksi

\[\sum_{i=1}^5(-1)^ii=-1+2-3+4-5=-3\]

ja

\[\sum_{i=1}^5\frac{(-1)^{i+1}}{i^2}=1-\frac14+\frac19-\frac{1}{16}+\frac{1}{25}=\frac{821}{979}.\]
Palautusta lähetetään...