\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\]

Lukujono

Määritelmä 5.2.1

Jos jokaista luonnollista lukua \(n\) vastaa reaaliluku \(a_n\), niin päättymätöntä järjestettyä luetteloa

\[(a_1,a_2,a_3,\ldots)=(a_n)_{n=1}^\infty\]

kutsutaan lukujonoksi (sequence). Luvut \(a_n\) ovat lukujonon termejä (term) tai alkioita. Indeksointi voidaan aloittaa mistä tahansa kokonaisluvusta.

Esimerkki 5.2.2

  1. \((2n)_{n=0}^\infty=(0,2,4,6,\ldots)\)
  2. \((2n-1)_{n=1}^\infty=(1,3,5,7,\ldots)\)
  3. \(\big((-1)^n2^n\big)_{n=1}^\infty=(-2,4,-8,16,-32,\ldots)\)
  4. \(\left(\dfrac{1}{3^n}\right)_{n=0}^\infty=\left(1,\dfrac13,\dfrac19,\dfrac{1}{27},\ldots\right)\)

Joskus lukujonon termeille ei anneta (tai ei voida antaa) edellisen esimerkin mukaista kaavaa.

Esimerkki 5.2.3

  1. Kasvavaan järjestykseen asetetut alkuluvut muodostavat jonon

    \[(2,3,5,7,11,13,\ldots).\]
  2. Määrittely \(a_1=1\) ja \(a_n=2a_{n-1}+3\), kun \(n>1\), tuottaa lukujonon

    \[(1,5,13,29,61,\ldots).\]
  3. Määrittely \(a_1=a_2=1\) ja \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\), kun \(n>2\), tuottaa niin sanotun Fibonaccin jonon

    \[(1,1,2,3,5,8,13,21,\ldots).\]

Kohdissa 2 ja 3 on kyse rekursiivisesti (induktiivisesti) määritellystä lukujonosta, joka asetetaan määräämällä, kuinka kukin termi riippuu edellisestä tai edellisistä termeistä.

Lukujono \((a_n)_{n=1}^\infty\) voidaan samastaa funktion \(f : \N\to\R\), \(f(n)=a_n\), kanssa. Esimerkiksi lukujonoa

\[\left(\frac{(-1)^n}{n}+1\right)_{n=1}^\infty\]

vastaa funktio

\[f : \N\to\R,\qquad f(n)=\frac{(-1)^n}{n}+1.\]

Lukujonoa \((a_n)\) voidaan havainnollistaa geometrisesti piirtämällä sitä vastaavan funktion \(f(n)\) kuvaaja.

../_images/sarjateorialukujononfunktio.svg

Huomautus 5.2.4

Joskus lukujono esitellään listaamalla muutama ensimmäinen termi, esimerkiksi

\[(1,2,3,\ldots).\]

Esityksessä on ideana, että termeistä lukija pystyy näkemään “säännön”, jonka mukaan jono jatkuu säännöllisesti. Edellä oleva jono jatkuu luonnollisesti

\[(1,2,3,4,5,6,7,8,....)\]

ja siis

\[(1,2,3,\ldots)=(n)_{n=1}^\infty.\]

Esimerkki 5.2.5

Lukujonon alkupään termien mukaan annetun jonon yleistä termiä voi olla joskus vaikea hahmottaa. Tällöin voi turvautua esimerkiksi Wolfram Alphan apuun. Tarkastellaan lukujonoa

\[(2,3,5,6,8,9,...),\]

missä jonosta puuttuu siis luonnollisten lukujen joka kolmas jäsen. Tällä perusteella osaamme kirjoittaa lukujonoa edelleen miten pitkälle tahansa. Etsitään yleinen termin Wolfram Alphalla syöttämällä vain lukujonon alku komentoriville:

2,3,5,6,8,9

Ohjelma tulostaa ehdotuksen lukujonen jatkolle

\[(2,3,5,6,8,9,11,12,14,15,17,18....),\]

joka halutunlainen. Lisäksi se antaa yleisen termin

\[a_n=\frac{1}{4}(6n+1-(-1)^n).\]

Lasketaan alkupään termejä

\[\begin{split}\begin{aligned} a_1&=2,\\ a_2&=3,\\ a_3&=5,\\ a_4&=6, \end{aligned}\end{split}\]

ja varmistutaan että kyseessä on oikea lukujono ja siitä, että indeksointi lähtee arvosta \(n=1\). Näin ollen lukujono on

\[(2,3,5,6,8,9,...)=(\frac{1}{4}(6n+1-(-1)^n))_{n=1}^\infty.\]

Lukujonon raja-arvo

Mikäli lukujonon termit lähestyvät jotain tiettyä lukua indeksin kasvaessa rajatta, kutsutaan lukua lukujonon raja-arvoksi. Lukujonon raja-arvon täsmällinen määritelmä on seuraavanlainen.

Määritelmä 5.2.6

Lukujono \((a_n)_{n=1}^\infty\) suppenee kohti raja-arvoa \(L\), jos jokaista \(\varepsilon > 0\) kohti löydetään sellainen luonnollinen luku \(N\), että \(|a_n - L| < \varepsilon\) aina, kun \(n > N\),

\[\forall\varepsilon>0\ \exists N\in\N : n>N\Rightarrow|a_n-L|<\varepsilon.\]

Tällöin merkitään

\[\lim_{n\to\infty}a_n=L\qquad\text{tai}\qquad a_n\to L,\text{ kun }n\to\infty.\]

Jos lukujono ei suppene kohti mitään raja-arvoa, se hajaantuu.

Seuraavan kuvan tilanteessa valitulla \(\varepsilon\) voidaan valita \(N=4\).

../_images/sarjateorialukujononrajaarvo.svg

Luonnollisesti kaikille lukujonoille raja-arvo ei ole olemassa. Suppeneville lukujonoille on voimassa seuraavat laskusäännöt.

Lause 5.2.7

Jos \((a_n)_{n=1}^\infty\) ja \((b_n)_{n=1}^\infty\) suppenevat ja \(c\in\R\), niin

  1. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(ca_n)=c\lim_{n\to\infty}a_n\),
  2. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n\pm\lim_{n\to\infty}b_n\),
  3. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_nb_n)=\lim_{n\to\infty}a_n\cdot \lim_{n\to\infty}b_n\),
  4. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}a_n}{\lim\limits_{n\to\infty}b_n}\), jos \(\lim\limits_{n\to\infty}b_n\ne0\) ja \(b_n \ne 0\) kaikilla \(n\).
Todistus

Todistetaan esimerkkinä ensimmäinen kohta ja jätetään loput ylimääräisiksi harjoitustehtäviksi. Oletetaan, että lukujono \((a_n)_{n=1}^\infty\) suppenee ja \(c\in\mathbb{R}\). Jos \(c=0\) on tulos selvä, joten oletetaan, että \(c\neq 0\). Suppenevuuden nojalla on olemassa sellainen \(L\), että \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=L\), toisin sanoen

(1)\[ \forall\varepsilon>0\ \exists N\in\N : n>N\Rightarrow|a_n-L|<\varepsilon.\]

Osoitetaan, että \(cL\) on lukujonon \((ca_n)_{n=1}^\infty\) raja-arvo. Olkoon \(\varepsilon>0\) mielivaltainen. Lukujonon \((a_n)_{n=1}^\infty\) suppenemisen määritelmän (1) perusteella löytyy lukua \(\varepsilon/|c|>0\) kohti indeksi \(N\in\mathbb{N}\), jolle \(|a_n-L|<\frac{\varepsilon}{|c|}\) kun \(n>N\). Tällöin

\[|ca_n-cL|=|c||a_n-L|<|c|\frac{\varepsilon}{|c|}=\varepsilon,\]

kun \(n>N\), joka todistaa väitteen.

Huomautus 5.2.8 (Funktion raja-arvo ja jatkuvuus)

Funktion \(f:(a,b)\to\mathbb{R}\) raja-arvo pisteessä \(x_0\in (a,b)\) on luku \(L\in\mathbb{R}\), jolle

\[\lim_{n\to\infty}f(a_n)=L\]

jokaisella lukujonolla \((a_n)_{n=1}^\infty\), joka suppenee kohti pistettä \(x_0\). Tällöin merkitään

\[\lim_{x\to x_0}f(x)=L.\]

Funktio on jatkuva pisteessä \(x_0\), jos sen raja-arvo on sama kuin funktion arvo, eli

\[\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).\]

Funktio on jatkuva välillä \((a,b)\), jos se on jatkuva jokaisessa välin pisteessä.

Jatkuvien funktioiden avulla voidaan laskea myös lukujonojen raja-arvoja seuraavasti.

Lause 5.2.9

Olkoon \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a\) ja olkoon funktio \(f(x)\) jatkuva pisteessä \(x=a\). Silloin

\[\lim_{n\to\infty}f(a_n)=f\left(\lim_{n\to\infty}a_n\right)=f(a).\]

Lause 5.2.10 (Kuristusperiaate)

Olkoon \(a_n\le b_n\le c_n\) kaikilla \(n\) ja

\[\lim_{n\to\infty}a_n=L=\lim_{n\to\infty}c_n.\]

Silloin \(\lim\limits_{n\to\infty}b_n=L\).

Jos suppenevan lukujonon termien lauseke on tiedossa, niin raja-arvoa voidaan yrittää selvittää tutkimalla sopivan funktion raja-arvoa.

Lause 5.2.11

Oletetaan, että funktio \(f : [1,\infty)\to\R\) ja lukujono \((a_n)_{n=1}^\infty\) toteuttavat \(a_n=f(n)\) aina, kun \(n\in\N\). Jos \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x) = L\), niin \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n = L\).

Esimerkki 5.2.12

  1. Laskusääntöjen mukaan

    \[\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2}{4n^2-9n} =\lim_{n\to\infty}\frac{3}{4-9/n}=\frac{3}{4-0}=\frac34.\]
  2. Tarkastellaan suppeneeko lukujono \(\left(\dfrac{\cos n}{n}\right)_{n=1}^\infty\). Koska

    \[0\leftarrow-\frac1n\le\frac{\cos n}{n}\le\frac1n\to0,\]

    kun \(n\to\infty\), niin kuristusperiaatteen mukaan

    \[\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\cos n}{n}=0.\]

Lukujonon suppenemiseen ja mahdolliseen raja-arvoon ei äärellisen monella jonon alkupään termillä ole merkitystä. Niinpä esimerkiksi lukujonon raja-arvon laskusäännöissä ja kuristusperiaatteessa riittää, että lukujono toteuttaa vaaditun ehdon jostakin indeksin \(n\) arvosta alkaen.

Kasvavat ja vähenevät lukujonot

Määritelmä 5.2.13

Lukujono \((a_n)_{n=1}^\infty\) on kasvava, jos \(a_n \leq a_{n + 1}\), ja vähenevä, jos \(a_n \geq a_{n + 1}\) kaikilla \(n\). Lukujono on monotoninen, jos se on kasvava tai vähenevä. Lukujono \((a_n)_{n=1}^\infty\) on ylhäältä rajoitettu, jos on olemassa reaaliluku \(M\), jolle \(a_n\le M\) kaikilla \(n\). Vastaavasti lukujono on alhaalta rajoitettu, jos on olemassa reaaliluku \(m\), jolle \(a_n \ge m\) kaikilla \(n\).

Esimerkki 5.2.14

  1. Vakiolukujono \((1,1,1,\ldots)\) on kasvava, vähenevä, alhaalta rajoitettu ja ylhäältä rajoitettu.

  2. Jos

    \[a_n=\frac{1}{2n^2+7},\]

    missä \(n \in \N\), niin lukujono \((a_n)_{n=1}^\infty\) on vähenevä, sillä \(2n^2+7\) on kasvava joukossa \(\N\). Lisäksi lukujono on sekä alhaalta että ylhäältä rajoitettu, sillä selvästikin \(0<a_n<1\) kaikilla \(n\).

  3. Jos

    \[a_n=\frac{n+2}{n+13},\]

    missä \(n \in \N\), niin lukujono \((a_n)_{n=1}^\infty\) on kasvava, sillä funktion

    \[f(x)=\frac{x+2}{x+13}\]

    derivaatta

    \[f'(x)=\frac{11}{(x+13)^2}>0\]

    kaikilla \(x\ge1\). Lukujono on lisäksi sekä alhaalta että ylhäältä rajoitettu, sillä kasvavuuden nojalla \(a_n\ge a_1=\frac{3}{14}\) ja koska \(n+2\le n+13\) kaikilla \(n\), niin \(a_n\le1\) kaikilla \(n\).

Seuraava monotonisten jonojen peruslause otetaan käyttöön ilman todistusta.

Lause 5.2.15 (Monotonisten jonojen peruslause)

  • Ylhäältä rajoitettu ja kasvava lukujono suppenee.
  • Alhaalta rajoitettu ja vähenevä lukujono suppenee.

Näiden perustulosten todistukset ylittävät kurssin vaatimukset, mutta niiden järkevyydestä voinee vakuuttua seuraavan kuvan avulla.

../_images/sarjateoriamonotjonojenperuslause.svg
Valitse epätosi väite.

Lemma 5.2.16

Lukujono \((a_n)_{n=1}^\infty\), missä

\[a_n=\left(1+\frac1n\right)^n,\]

on aidosti kasvava ja ylhäältä rajoitettu, eli sillä on monotonisten jonojen peruslauseen mukaan raja-arvo. Merkitään tätä raja-arvoa kirjaimella \(e\). Tunnetusti

\[e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=2{,}71828\ldots.\]

Lisäksi myös lukujono \((b_n)_{n=1}^\infty\), missä \(b_n=\left(1-\dfrac1n\right)^n\), on aidosti kasvava ja

\[\frac{1}{e}=\lim_{n\to\infty}\left(1-\dfrac1n\right)^n.\]
Todistus

Todistetaan, että lukujono \((a_n)_{n=1}^\infty\) on kasvava ja ylhäältä rajoitettu. Oletetaan, että \(0<x<y\), jolloin voidaan kirjoittaa seuraava yhtälö ja edelleen arvioida lauseketta ylöspäin.

\[\begin{split}\begin{aligned} y^{n+1}-x^{n+1}&=(y-x)(y^n+y^{n-1}x+\cdots+yx^{n-1}+x^n)\\ &<(y-x)(y^n+y^n+\cdots+y^n+y^n)\\ &=(y-x)(n+1)y^n\\ &=(yn-(n+1)x)y^n+y^{n+1}, \end{aligned}\end{split}\]

kaikilla luonnollisilla luvuilla \(n\), joten

\[x^{n+1}>((n+1)x-yn)y^n\]

aina, kun \(n \in \N\). Sovelletaan nyt tätä epäyhtälöä arvoilla \(x=1+\frac{1}{n+1}\) ja \(y=1+\frac{1}{n}\), joille selvästi \(0<x<y\). Saadaan

\[\begin{aligned} a_{n+1}=x^{n+1}>((n+1+1)-(n+1))y^n=y^n=a_n. \end{aligned}\]

Lukujono \((a_n)_{n=1}^\infty\) on siis aidosti kasvava. Toisaalta, jos sovelletaan samaa epäyhtälöä arvoilla \(x=1\) ja \(y=1+\frac{1}{2n}\), niin saadaan arvio

\[\begin{aligned} 1>\left((n+1)-\left(n+\frac12\right)\right)\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n =\frac12\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n, \end{aligned}\]

josta

\[\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n<2.\]

Edelleen neliöimällä saadaan

\[a_{2n}=\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}<4,\]

eli \(a_{2n} < 4\). Kasvavuudesta seuraa, että \(a_n \le a_{2n} < 4\) kaikilla \(n\). Siis jono \((a_n)\) on ylhäältä rajoitettu.

Edellisen lukujonon raja-arvona saatua lukua \(e\) kutsutaan Neperin luvuksi, ja sillä on erityisasema luonnollisen eksponentti- ja logaritmifunktion kantalukuna. Lemmaa 5.2.16 käytetään eksponenttifunktion \(e^x\) määrittelemiseen ja derivoimiskaavan \(D(e^x)=e^x\) todistamiseen.

Palautusta lähetetään...