$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}$

Potenssisarjat¶

Määritelmä 6.3.1

Reaaliluvusta $$x$$ riippuvaa sarjaa

$\sum_{k=0}^\infty a_k(x-c)^k=a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2+a_3(x-c)^3+\cdots$

kutsutaan pisteen $$c$$ ympärille kehitetyksi potenssisarjaksi (power series). Luvut $$a_k$$, missä $$k = 1, 2, \ldots$$, ovat potenssisarjan kertoimia ja reaaliluku $$c$$ on sarjan kehityskeskus.

Tässä ensimmäisessä termissä $$(x-c)^0=1$$, jos $$x\ne c$$. Mukavuussyistä sovitaan, että potenssisarjoissa (mutta ei ilman harkintaa muualla) $$0^0=1$$, jolloin ensimmäinen termi on $$a_0(x-c)^0=a_0$$ kaikilla $$x$$.

Mikä seuraavista on potenssisarja?

Esimerkki 6.3.2

Sarja

$\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}(x-0)^k$

on pisteen $$0$$ ympärille kehitetty potenssisarja, jonka kertoimet ovat $$a_k = \frac{1}{k!}$$. Suhdetestillä nähdään, että sarja suppenee itseisesti, kun $$x\ne0$$. Nythän

$\left|\frac{\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}}{\frac{x^k}{k!}}\right|=\frac{k!}{(k+1)!}\left|\frac{x^{k+1}}{x^k}\right|=\frac{|x|}{k+1}\to0,$

kun $$k\to\infty$$. Pisteessä $$x=0$$ on $$\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left|\frac{0^k}{k!}\right| = \frac{1}{1!} = 1$$, joten potenssisarja suppenee itseisesti aina, kun $$x\in\R$$.

Lause 6.3.3

Jos potenssisarja $$\sum\limits_{k=0}^\infty a_kx^k$$ suppenee jollakin $$x=x_0\ne0$$, niin sarja suppenee itseisesti kaikilla $$x$$, jotka toteuttavat $$-|x_0|<x<|x_0|$$.

Todistus

Oletetaan, että $$x\in(-|x_0|,|x_0|)$$ ja merkitään $$r=\left|\frac{x}{x_0}\right|<1$$. Koska sarja suppenee pisteessä $$x_0$$, on oltava $$\lim\limits_{k\to\infty}a_kx_0^k=0$$ ja täten löydetään sellainen indeksi $$K$$, että $$|a_kx_0^k|<1$$ aina, kun $$k\ge K$$. Nyt

$\sum_{k=K}^\infty\left|a_kx^k\right| =\sum_{k=K}^\infty\left|a_kx_0^k\right|\left|\frac{x^k}{x_0^k}\right|<\sum_{k=K}^{\infty}\left|\frac{x}{x_0}\right|^k<\sum_{k=K}^\infty r^k<\infty,$

missä oikeanpuoleisin sarja suppenee geometrisena sarjana.

Seuraus 6.3.4

Jokaiselle potenssisarjalle on voimassa täsmälleen yksi seuraavista.

1. Sarja suppenee vain, kun $$x=c$$.
2. Sarja suppenee itseisesti aina, kun $$x\in\R$$.
3. Löydetään sellainen $$R>0$$, että sarja suppenee itseisesti, kun $$|x-c|<R$$ ja hajaantuu, kun $$|x-c|>R$$.
Todistus
Väite seuraa edellisestä lauseesta 6.3.3 asettamalla $$t=x-c$$, jolloin väite palautuu sarjan $$\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_kt^k$$ tutkimiseksi.

Lukua $$R\in[0,\infty)$$ tai $$R=\infty$$ kutsutaan sarjan suppenemissäteeksi (radius of convergence). Niiden pisteiden joukkoa, joissa sarja suppenee, kutsutaan sen suppenemisväliksi (interval of convergence). Jos $$R\in(0,\infty)$$, niin päätepisteissä $$c-R$$ ja $$c+R$$ sarja voi supeta tai hajaantua. Potenssisarjan suppenemisväli on siis täsmälleen yksi joukoista $$\{c\}$$, $$(c-R,c+R)$$, $$[c-R,c+R)$$, $$(c-R,c+R]$$, $$[c-R,c+R]$$ tai $$\R$$.

Suppenemissäde selviää usein seuraavalla suhdetestillä. Oletetaan, että potenssisarjalle on olemassa (äärellinen) raja-arvo

$\rho=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|.$

Tutkitaan nyt, milloin varsinainen potenssisarja toteuttaa suhdetestin ehdot itseiselle suppenemiselle, kun $$x \not= c$$.

$\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}(x-c)^{k+1}}{a_k(x-c)^k}\right|=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|\lim_{k\to\infty}\frac{|x-c|^{k+1}}{|x-c|^k} =\rho|x-c|<1$

jos ja vain jos $$|x-c|<\frac{1}{\rho}$$. Suppenemissäde on siis $$R=\frac{1}{\rho}$$. Jos raja-arvo $$\rho = 0$$, niin suppenemissäde $$R=\infty$$, ja jos $$\rho=\infty$$, niin $$R=0$$. Päätepisteissä $$c-R$$ ja $$c+R$$ suppenemista on tutkittava erikseen. Näin olemme muodostaneet suhdetestin potenssisarjan suppenemissäteen määrittämiseksi.

Lause 6.3.5

Potenssisarjan

$\sum\limits_{k=0}^\infty a_k(x-c)^k$

suppenemissäde on

$R=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|,$

joka voi olla:

• $$R=0$$, jolloin potenssisarja suppenee vain pistessä $$x=c$$,
• $$R<\infty$$, jolloin potenssisarja suppenee ainakin kun $$|x-c|<R$$ (päätepisteet tutkittava erikseen),
• $$R=\infty$$, jolloin potenssisarja suppenee jokaisella $$x\in\mathbb{R}$$.
Mikä seuraavista väitteistä pätee potenssisarjalle?

Esimerkki 6.3.6

Määritä potenssisarjojen

1. $$\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}{k}$$
2. $$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty n!\left(\frac{x}{2}\right)^n$$
3. $$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(2x+5)^n}{(n^2+1)3^n}$$

suppenemisvälit.

Ratkaisu
1. Tämä on pisteen $$c=0$$ ympärille kehitetty potenssisarja, jolle $$a_0=0$$ ja $$a_k=\frac{1}{k}$$, kun $$k \geq 1$$. Tutkitaan suppenemista suhdetestillä, jolloin suppenemissäteeksi saadaan

\begin{split}\begin{aligned} R&=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|\\ &=\lim_{k\to\infty}\frac{k+1}{k}\\ &=\lim_{k\to\infty}\Big(1+\frac{1}{k}\Big)=1. \end{aligned}\end{split}

Sarja siis suppenee kun $$|x| < 1$$ ja hajaantuu, kun $$|x| > 1$$. Tarkastellaan vielä päätepisteet erikseen. Kun $$x=1$$, sarja on harmoninen sarja ja siten hajaantuu. Kun $$x=-1$$, sarja on vuorotteleva harmoninen sarja ja siten suppenee. Sarjan suppenemisväli on siis $$[-1,1)$$.

2. Muokkaamalla

$\sum_{n=0}^\infty n!\left(\frac{x}{2}\right)^n=\sum_{n=0}^\infty\frac{n!}{2^n}x^n$

nähdään, että kyseessä on potenssisarja, jolle $$a_n=\frac{n!}{2^n}$$ ja $$c=0$$. Suppenemissäteeksi saadaan

\begin{split}\begin{aligned} R&=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{n!2^{n+1}}{(n+1)!2^n}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{n!2^{n+1}}{2^n(n+1)!}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{n! \cdot 2 \cdot 2^{n}}{2^n(n+1)n!}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{(n+1)}=0. \end{aligned}\end{split}

Sarja siis suppenee vain kun $$x=0$$.

3. Nyt

$\sum_{n=0}^\infty\frac{(2x+5)^n}{(n^2+1)3^n}=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{2}{3}\right)^n\frac{1}{n^2+1}\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)^n.$

Tämän potenssisarjan kehityskeskus on $$c=-\frac{5}{2}$$. Suppenemissäteeksi saadaan

\begin{split}\begin{aligned} R&=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^n\frac{1}{n^2+1}}{\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}\frac{1}{(n+1)^2+1}}\right|\\ &=\frac32\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^2+1}{n^2+1} \\ &=\frac32\lim_{n\to\infty}\Big(\frac{2n+1}{n^2+1}+1\Big)=\frac{3}{2}. \end{aligned}\end{split}

Näin ollen sarja suppenee ainakin välillä $$\left(\frac{-5-3}{2}, \frac{-5+3}{2}\right) = (-4, 1)$$. Päätepisteet täytyy taas tarkastella erikseen. Pisteessä $$x=-4$$ sarja tulee muotoon

$\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2+1},$

joka suppenee itseisesti, sillä

$\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^n}{n^2+1}\right| =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+1} \le\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}<\infty.$

Pisteessä $$x=-1$$ sarja tulee muotoon

$\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n^2+1},$

joka nähdään suppenevaksi samalla arviolla kuin edellä. Potenssisarjan suppenemisväli on siis $$[-4,-1]$$.

Pisteessä $$0$$ kehitetty potenssisarja määrittelee suppenemisvälillään funktion

(1)$f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots.$

Seuraavan todistamatta käyttöön otettavan lauseen mukaan $$f$$ on derivoituva ja integroituva, ja derivointi ja integrointi voidaan suorittaa termeittäin aivan kuten polynomille.

Lause 6.3.7

Olkoon $$R>0$$ potenssisarjan (1) suppenemissäde. Tällöin funktio $$f(x)$$ on derivoituva välillä $$(-R,R)$$ ja integroituva jokaisella välillä $$[a,b]\subseteq(-R,R)$$. Kun $$|x|<R$$, niin

\begin{split}\begin{aligned} f'(x)&=\sum_{k=0}^\infty D(a_kx^k) =\sum_{k=1}^\infty ka_kx^{k-1}=a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+\cdots\\ \int_0^xf(t)\,\d t &=\sum_{k=0}^\infty\int_0^xa_kt^k\,\d t =\sum_{k=0}^\infty\frac{a_kx^{k+1}}{k+1}=a_0x+\frac12a_1x^2+\frac13a_2x^3+\cdots. \end{aligned}\end{split}

Lisäksi derivoidulla ja integroidulla sarjalla on sama suppenemissäde $$R$$.

Muunnokselle $$x - c = u$$ on voimassa $$\d x = \d u$$, ja tämän vuoksi lause yleistyy suoraan myös potenssisarjalle $$\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k(x-c)^k$$.

Esimerkki 6.3.8

Tutkitaan geometrista sarjaa

(2)$\frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^\infty x^k=1+x+x^2+x^3+\cdots,$

kun $$-1 < x < 1$$. Derivoimalla tämä yhtälö puolittain saadaan

$\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{k=1}^\infty kx^{k-1}=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots$

välille $$-1 < x < 1$$. Toisaalta integroimalla yhtälö (2) puolittain väliä $$[0,x]$$ pitkin saadaan

$-\ln(1-x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k+1}x^{k+1}=x+\frac12x^2+\frac13x^3+\frac14x^4+\cdots.$

Sijoitetaan tässä muuttujan $$x$$ paikalle $$-x$$ jolloin nähdään, että

$\ln(1+x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k+1}x^{k+1}=x-\frac12x^2+\frac13x^3-\frac14x^4+\cdots,$

kun $$-1 < x < 1$$.

Palautusta lähetetään...