$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}$

# Taylorin sarja ja Taylorin polynomi¶

Lauseessa 6.3.7 todettiin, että jokainen potenssisarja esittää suppenemisvälillään derivoituvaa funktiota $$f(x)$$. Kääntäen voidaan kysyä, että jos funktio $$f(x)$$ on annettu, niin millä ehdoilla löydetään sellainen potenssisarja $$\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k(x-c)^k$$, että $$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k(x-c)^k$$? Käytännössä tulee siis selvittää, miten kertoimet $$a_k$$ löydetään ja suppeneeko saatu sarja pisteittäin kohti annetun funktion vastaavia arvoja. Lause 6.3.7 antaa välttämättömän ehdon, eli sarja on olemassa jos funktiolla $$f(x)$$ on kaikkien kertalukujen derivaatat.

Hieman toisesta suunnasta tarkasteltuna ideana on approksimoida funktiota jonkun pisteen ympäristössä polynomeilla siten, että approksimaatio suppenee kohti funktiota polynomien asteen kasvaessa rajatta. Tarkastellaan esimerkkinä seuraavaa interpolaatio-ongelmaa.

Esimerkki 6.4.1

Olkoon $$n\in\mathbb{N}$$ ja $$a_0,a_1,...,a_{n-1}\in\mathbb{R}$$ ja $$x=c$$ jokin piste. Etsi $$n-1$$-asteen polynomi $$P$$, joka toteuttaa ehdot

$P(c)=a_0,\ P'(c)=a_1,...,P^{(n-1)}(c)=a_{n-1}.$
Ratkaisu

Etsitään polynomia muodossa $$P(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots+b_{n-1}x^n$$, jolloin $$P^{(k)}(x)=0$$ kun $$k\ge n$$. Sijoitetaan polynomiin $$x=c+(x-c)$$, jolloin se voidaan kirjoittaa muodossa

$P(x)=d_0+d_1(x-c)+d_2(x-c)^2+\cdots+d_{n-1}(x-c)^{n-1}.$

Pisteessä $$x=c$$ saadaan (vrt. Lauseen 6.4.3 todistus)

\begin{split}\begin{aligned} P(c)&=d_0=a_0,\\ P'(c)&=d_1=a_1,\\ P''(c)&=2d_2=a_2,\\ \vdots &\\ P^{(n-1)}(c)&=(n-1)!d_{n-1}=a_{n-1}. \end{aligned}\end{split}

Etsitty polynomi on siis muotoa

$P(x)=a_0+a_1(x-c)+\frac{a_2}{2}(x-c)^2+\cdots\frac{a_{n-1}}{(n-1)!}(x-c)^{n-1}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{a_k}{k!}(x-c)^k.$

Edellinen esimerkki kertoo meille, että jokainen $$n-1$$-asteen polynomi voidaan yksikäsitteisesti määrätä antamalla sen nollasta poikkeavat derivaatat yhdessä pisteessä. Yleiselle funktiolle tilanne ei ole näin yksinkertainen, sillä tilannetta vastaa “interpolaatio-ongelma”, missä $$n\to\infty$$. Aloitetaan ongelman tarkastelu antamalla seuraava määritelmä.

Määritelmä 6.4.2

Jos funktiolla $$f(x)$$ on pisteessä $$x=c$$ kaikkien kertalukujen derivaatat $$f^{(k)}(c)$$, niin potenssisarjaa

(1)$\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k$

kutsutaan funktion $$f$$ Taylorin sarjaksi (Taylor series) pisteen $$c$$ suhteen. Jos $$c=0$$, niin sarjasta käytetään myös nimitystä Maclaurinin sarja (Maclaurin series).

Todistetaan seuraavaksi, että funktioon $$f$$ assosioitu Taylorin sarja on yksikäsitteinen, joten ei ole väliä millä menetelmällä se on löydetty.

Lause 6.4.3

Taylorin sarja on yksikäsittäinen suppenemisvälillään. Tarkemmin sanottuna, jos $$f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty a_k(x-c)^k$$ välillä $$(c-R,c+R)$$, niin

$a_n=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}$

aina, kun $$n$$ on ei-negatiivinen kokonaisluku.

Todistus

Sovelletaan potenssisarjan derivointisääntöä $$n$$ kertaa.

\begin{split}\begin{aligned} f'(x)&=\sum_{k=1}^\infty ka_k(x-c)^{k-1}\\ f''(x)&=\sum_{k=2}^\infty k(k-1)a_k(x-c)^{k-2}\\ &\mspace{9mu}\vdots\\ f^{(n)}(x)&=\sum_{k=n}^\infty k(k-1)(k-2)\cdots(k-(n-1))a_k(x-c)^{k-n} \end{aligned}\end{split}

Asetetaan viimeisessä yhtälössä $$x=c$$, jolloin sarjasta jää jäljelle vain indeksiä $$k=n$$ vastaava termi $$n!a_n=f^{(n)}(c)$$.

Vaikka Taylorin sarja (1) suppenisi pisteessä $$x$$, niin se ei välttämättä suppene kohti funktion arvoa $$f(x)$$.

Esimerkki 6.4.4

Määritellään funktio $$f : \R\to\R$$ asettamalla

$\begin{split}f(x)=\begin{cases} e^{-1/x^2},&\text{kun }x\ne0,\\ 0,&\text{kun }x=0.\\ \end{cases}\end{split}$

Funktio $$f$$ on jatkuva myös pisteessä $$0$$, sillä

$\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}e^{-1/x^2}=0.$

Kun $$x\ne0$$, niin

$f'(x)=\frac{2}{x^3}e^{-1/x^2}.$

Muuttujanvaihdolla $$t=1/x^2$$ nähdään, että

(2)$\lim_{x\to0}f'(x) =2\lim_{x\to0}\frac{e^{-1/x^2}}{x^3} =2\lim_{t\to\infty}\frac{t^{3/2}}{e^t} =0,$

sillä eksponenttifunktio voittaa kasvussa potenssifunktion. Derivaatan raja-arvoja koskevan lauseen mukaan funktion $$f$$ jatkuvuudesta ja äskeisestä yhtälöstä seuraa, että $$f'(0)=0$$. Derivaattafunktio $$f'(x)$$ on täten kaikkialla jatkuva, ja kun $$x\ne0$$, niin vastaavasti kuin edellä saadaan

$f''(x)=\left(-\frac{6}{x^4}+\frac{4}{x^6}\right)e^{-1/x^2}\to0,$

kun $$x\to0$$. Siten on olemassa $$f''(0)=0$$. Näin jatkaen nähdään, että funktiolla $$f$$ on kaikkien kertalukujen jatkuvat derivaatat ja että $$f^{(k)}(0)=0$$ kaikilla $$k \ge 0$$. Niinpä funktiolla $$f$$ on kaikilla reaaliluvuilla $$x$$ suppeneva Maclaurinin sarja

$\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k=0.$

Kuitenkin $$f(x)\ne0$$ aina, kun $$x\ne0$$, joten sarja esittää funktiota $$f$$ vain pisteessä $$0$$.

Edellinen esimerkki osoitaa, että vaikka funktiolla olisi kaikki derivaatat jatkuvina olemassa annetun pisteen ympäristössä, sitä ei välttämättä voida esittää potenssisarjana. Koska tämä on tärkeä ominaisuus, annetaan fuktioille, jotka voidaan esittää edellä mainitulla tavalla, seuraava nimitys.

Määritelmä 6.4.5

Funktiota $$f:I\to\mathbb{R}$$ kutsutaan reaalianalyyttiseksi, jos se voidaan esittää suppenevana potenssisarjana jokaisen pisteen $$c\in I$$ jossakin ympäristössä, kun $$I$$ on avoin väli.

Kappaleen alussa esitetyn interpolaatio-ongelman perusteella huomataan, että polynomit ovat reaalianalyyttisiä funktioita. Seuraavaksi osoitetaan, että myös kaikki tunnetut alkeisfunktiot ovat reaalianalyyttisiä. Ensiksi, pitää tarkemmin karakterisoida se, milloin Taylorin sarja suppenee kohti annettua funktiota. Seuraava klassinen lause on keskeinen työkalu ongelman tarkastelussa.

Lause 6.4.6 (Taylorin lause)

Olkoon funktiolla $$f : I\to\R$$ kaikkien kertalukujen derivaatat avoimella välillä $$I$$ ja olkoon $$c$$ välin $$I$$ piste. Silloin Taylorin kaava

$f(x)=P_n(x)+R_n(x),$

on voimassa aina, kun $$x \in I$$ missä

$P_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k$

on Taylorin sarjan $$n$$:s osasumma eli $$n$$. asteen Taylorin polynomi ja

(3)$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}(x-c)^{n+1},\quad\text{missä }z\in[c,x)\text{ tai }z\in(x,c]$

on Taylorin sarjan jäännöstermi.

Todistus

Määritelmän mukaan

$R_n(x)=f(x)-P_n(x)=f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k.$

Olkoon $$t$$ pisteiden $$x$$ ja $$c$$ välillä ja merkitään

$F(t)=f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k.$

Tällöin $$F(c)=R_n(x)$$. Lisäksi on helppo nähdä, että

(4)$F'(t)=-\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n.$

Määritellään

$G(t)=F(t)-\Big(\frac{x-t}{x-c}\Big)^{n+1}F(c).$

Näin ollen $$G(x)=G(c)=0$$, jolloin tiedämme, että derivoituvalle funktiolle löytyy pisteiden $$x$$ ja $$c$$ välistä sellainen piste $$z$$, että derivaatta $$G'(z)=0$$. Tästä seuraa, että

$F'(z)+(n+1)\Big(\frac{x-z}{x-c}\Big)^{n}F(c)=0,$

joten ottamalla huomioon $$F(c)=R_n(x)$$ ja kaava (4), saadaan

$-\frac{f^{(n+1)}(z)}{n!}(x-z)^n+(n+1)\Big(\frac{x-z}{x-c}\Big)^{n}R_n(x)=0.$

$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}(x-c)^{n+1}.$

Lauseketta

$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x - c)^k$

kutsutaan yleisesti

Funktion Taylorin sarja esittää funktiota itseään niillä $$x$$, joilla jäännöstermin raja-arvo on nolla. Toisin sanoen

$f(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k,$

jos ja vain jos

(5)$\lim_{n\to\infty}R_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}(x-c)^{n+1}=0.$

Korostettakoon, että Taylorin jäännöstermissä (3) $$z$$ riippuu pisteen $$x$$ lisäksi myös kokonaisluvusta $$n$$, eli $$z=z(x,n)$$. Erityisesti edellä mainittua raja-arvoa (5) laskettaessa ei voida olettaa, että $$z$$ olisi vakio. Vertaa tätä esimerkkiin 6.4.9 eksponenttifuntiosta, jossa ongelma hoidetaan arvioimalla $$e^z<e^{|x|}$$, missä $$e^{|x|}$$ on luvun $$n$$ suhteen vakio.

Huomautus 6.4.7

Taylorin lauseessa jäännöstermi esitettiin differentiaalimuodossa (tai Lagrangen muodossa)

$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}(x-c)^{n+1}.$

Kirjallisuudesta löytyy myös muita muotoja jäännöstermille. Toinen yleinen tapa on esittää jäännöstermi integraalimuodossa

$R_n(x)=\int_c^x \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n\,\d t,$

joka on helppo todistaa induktiolla $$n$$:n suhteen soveltamalla osittaisintegrointikaavaa oikealla puolella olevaan integraaliin.

Esimerkissä 6.3.8 saatiin johdettua funktioiden $$(1-x)^{-2}$$ ja $$\ln(1+x)$$ potenssisarjaesitykset ikään kuin sattumalta derivoimalla ja integroimalla funktion $$(1-x)^{-1}$$ potenssisarjaa. Taylorin kaavalla saadaan (ainakin periaatteessa) potenssisarjaesitys mille tahansa funktiolle, jolla sellainen on olemassa. Yksikäsitteisyyslause takaa, että saatu potenssisarja on aina Taylorin sarja, olipa se saatu millä (kelvollisella) menetelmällä tahansa.

Seuraavaa lemmaa tarvitaan usein jäännöstermiä arvioitaessa.

Lemma 6.4.8

Olkoon $$c>0$$. Silloin

1. $$\dfrac{c^n}{n!}$$ on vähenevä, kun $$n\ge c-1$$ ja
2. $$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{c^n}{n!}=0$$.
Todistus

Kumpikin osa erikseen.

1. Havaitaan, että $$\displaystyle\frac{\frac{c^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{c^n}{n!}}=\frac{c}{n+1}\le1$$, kun $$n\ge c-1$$.

2. Olkoon $$m=\lfloor c\rfloor$$ luvun $$c$$ desimaaliesityksen kokonaisosa. Nyt aina, kun $$n>m$$,

\begin{aligned} \frac{c^n}{n!}=\underbrace{\frac{c}{1}\frac{c}{2}\cdots\frac{c}{m}}_{=:A}\underbrace{\frac{c}{m+1}}_{\le1}\underbrace{\frac{c}{m+2}}_{\le1}\cdots\underbrace{\frac{c}{n-1}}_{\le1}\frac{c}{n} \le A\frac{c}{n}\to0, \end{aligned}

kun $$n\to\infty$$.

Esimerkki 6.4.9

Etsi funktion $$f(x)=e^x$$ potenssisarjaesitys pisteen $$x=0$$ suhteen.

Ratkaisu

Koska $$D(e^x)=e^x$$, niin $$f^{(k)}(0)=e^0=1$$ kaikilla $$k$$ ja täten eksponenttifunktion Maclaurinin sarja on

$\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}.$

Olkoon $$x$$ reaaliluku. Jos $$x<0$$, niin aina, kun $$x<z\leq0$$, on voimassa $$z<|x|$$. Jos taas $$x>0$$, niin aina, kun $$0<z<x=|x|$$, on voimassa $$z<|x|$$. Löydetään siis reaaliluku $$z<|x|$$, ja siten $$f^{(n+1)}(z)=e^z\le e^{|x|}$$. Lemmaa 6.4.8 hyödyntäen saadaan jäännöstermille arvio

$0\le|R_n(x)|=\left|\frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}\right||x|^{n+1} \le e^{|x|}\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}\to0,$

kun $$n\to\infty$$, joten on osoitettu, että

$e^x=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$

aina, kun $$x\in\R$$.

Joskus tunnettuja sarjoja voidaan käyttää apuna potenssisarjaesitystä muodostettaessa.

Esimerkki 6.4.10

Määritä funktion $$f(x)=e^{x^2}$$ Maclaurinin sarja.

Ratkaisu

Merkitään $$t=x^2$$ ja käytetään funktion $$e^t$$ tunnettua Maclaurinin sarjaa. Saadaan siis

\begin{aligned} e^{x^2}&=e^t=1+t+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+\cdots=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\cdots=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{2k}}{k!} \end{aligned}

aina, kun $$x\in\R$$.

Esimerkki 6.4.11

Etsi sini- ja kosinifunktioiden potenssisarjaesitys pisteessä $$x=0$$.

Ratkaisu

Lasketaan funktion $$f$$ derivaattoja pisteessä $$x=0$$, jolloin

\begin{split}\begin{aligned} f(x)&=\sin x, & f(0)&=0.\\ f'(x)&=\cos x, & f'(0)&=1.\\ f''(x)&=-\sin x, & f''(0)&=0,\\ f^{(3)}(x)&=-\cos x, & f^{(3)}(0)&=-1,\\ f^{(4)}(x)&=\sin x, & f^{(4)}(0)&=0. \end{aligned}\end{split}

Neljäs derivaatta on $$\sin x$$, joten funktiot ja arvot alkavat toistua syklisesti. Nyt $$|f^{(n)}(z)|\le 1$$ kaikilla $$z$$, joten saadaan jäännöstermille arvio

$0\le|R_n(x)|=\left|\frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}\right||x|^{n+1} \le\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}\to0,$

kun $$n\to\infty$$. Niinpä

(6)$\sin x=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$

aina, kun $$x\in\R$$. Tässä potenssisarjaesityksen

$\sin x=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$

parillisten potenssien kerroin on siis $$0$$. Toisin sanoen

$\begin{split}a_n= \begin{cases} 0,&\text{kun }n=2k,\\ \dfrac{(-1)^k}{(2k+1)!},&\text{kun }n=2k+1. \end{cases}\end{split}$

Vastaavalla tavoin voidaan johtaa kaava

$\cos x=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$

aina, kun $$x\in\R$$.

Esimerkki 6.4.12

Etsi funktion $$f(x)=(1+x)^n$$ potenssisarjaesitys pisteen $$x=0$$ suhteen, kun $$n\in\R$$.

Ratkaisu

Lasketaan funktion $$f$$ derivaattoja pisteessä $$x=0$$, jolloin saadaan

\begin{split}\begin{aligned} f(x)&=(1+x)^n, & f(0)&=1,\\ f'(x)&=n(1+x)^{n-1}, & f'(0)&=n,\\ f''(x)&=n(n-1)(1+x)^{n-2}, & f''(0)&=n(n-1),\\ f^{(3)}(x)&=n(n-1)(n-2)(1+x)^{n-3}, & f^{(3)}(0)&=n(n-1)(n-2),\\ &\mspace{9mu}\vdots &&\mspace{9mu}\vdots\\ f^{(k)}(x)&=n(n-1)\cdots(n-k+1)(1+x)^{n-k}, & f^{(k)}(0)&=n(n-1)\cdots(n-k+1). \end{aligned}\end{split}

Niinpä Maclaurinin sarja on

$\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k =\sum_{k=0}^\infty\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}x^k =\sum_{k=0}^\infty\binom{n}{k}x^k,$

missä sarjan kerrointa kutsutaan binomikertoimeksi (binomial coefficient) ja merkitään

$\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!},\qquad\text{kun }k\ge1\qquad\text{ja}\qquad\binom{n}{0}=1.$

Merkintä $$\displaystyle\binom{n}{k}$$ luetaan “$$n$$ yli $$k$$“. Tutkitaan sarjan suppenemista suhdetestillä. Nyt

\begin{aligned} \left|\frac{\binom{n}{k+1}x^{k+1}}{\binom{n}{k}x^k}\right| =\frac{|n-k|}{k+1}|x| =\frac{\left|\frac{n}{k}-1\right|}{1+\frac{1}{k}}|x| \to|x|, \end{aligned}

kun $$k\to\infty$$. Sarja siis suppenee itseisesti, kun $$|x|<1$$ ja hajaantuu, kun $$|x|>1$$. Osoitetaan, että sarja suppenee kohti funktiota $$f(x)$$. Jäännöstermin (3) käyttäminen osoittautuu tässä hankalaksi, joten menetellään seuraavasti. Merkitään

$g(x)=\sum_{k=0}^\infty\binom{n}{k}x^k$

ja derivoidaan termeittäin välillä $$|x|<1$$. Siis

\begin{aligned} g'(x)=\sum_{k=1}^\infty k\binom{n}{k}x^{k-1}. \end{aligned}

Nyt

\begin{split}\begin{aligned} (1+x)g'(x) &=\sum_{k=1}^\infty k\binom{n}{k}x^{k-1}+\sum_{k=1}^\infty k\binom{n}{k}x^k\nonumber\\ &=\sum_{k=0}^\infty(k+1)\binom{n}{k+1}x^k+\sum_{k=0}^\infty k\binom{n}{k}x^k\nonumber\\ &=\sum_{k=0}^\infty\left((k+1)\frac{n(n-1)\cdots(n-k)}{(k+1)!}+k\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\right)x^k\nonumber\\ &=\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)(n-k)}{k!}+k\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\right)x^k\nonumber\\ &=\sum_{k=0}^\infty(n-k+k)\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}x^k\nonumber\\ &=n\sum_{k=0}^\infty\binom{n}{k}x^k=ng(x). \end{aligned}\end{split}

Merkitään edelleen $$h(x)=\dfrac{g(x)}{(1+x)^n}$$, derivoidaan ja otetaan huomioon edellinen yhtälö.

$h'(x)=\frac{-ng(x)}{(1+x)^{n+1}}+\frac{g'(x)}{(1+x)^n}=0,$

joten $$h(x)$$ on vakiofunktio $$h(x) = h(0)=g(0)=1$$ kaikilla $$|x|<1$$. Niinpä täytyy olla $$g(x)=(1+x)^n$$. Saatiin todistettua binomisarjaesitys

(7)$(1+x)^n=\sum_{k=0}^\infty\binom{n}{k}x^k,$

missä $$n\in\R$$ ja $$-1 < x < 1$$.

Huomautus 6.4.13 (Binomikaava)

Jos $$n\in\mathbb{N}$$ binomisarja pelkistyy äärelliseksi summaksi

$(1+x)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k.$

\begin{split}\begin{aligned} (a+b)^n &= a^n(1+\frac{b}{a})^n\\ &=a^n\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\Big(\frac{b}{a}\Big)^k\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k. \end{aligned}\end{split}
$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$