\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\]

Vuorottelevat sarjat ja itseinen suppeneminen

Tähän asti käsiteltyjen positiivitermisten sarjojen yleistäminen on itse asiassa yksinkertaisempaa kuin voisi kuvitella. Lähdetään liikkeelle sarjasta, jonka termit ovat vuorotellen positiivisia ja negatiivisia.

Määritelmä 6.2.1

Sarja on vuorotteleva, jos sen termit ovat vuorotellen positiivisia ja negatiivisia. Toisin sanoen vuorotteleva sarja on oleellisesti muotoa

\[\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}a_k=a_1-a_2+a_3-a_4+a_5-\cdots\]

missä \(a_k>0\) kaikilla \(k\in\mathbb{N}\).

Sarja on aina vuorotteleva, jos

Vuorotteleville sarjoille on käytössä seuraava Leibnizin testi, joka antaa myös arvion sarjan jäännöstermille.

Lause 6.2.2 (Leibnizin testi)

Jos vuorottelevalle sarjalle on voimassa

  1. \(a_k\ge a_{k+1}\) kaikilla \(k\) ja
  2. \(\lim\limits_{k\to\infty}a_k=0\),

niin sarja suppenee. Jäännöstermille pätee arvio \(|R_n|<a_{n+1}\).

Todistus

Oletetaan, että sarja

\[\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}a_k\]

toteuttaa oletukset. Olkoon \(N\):s osasumma

\[S_N=\sum_{k=1}^N (-1)^{k+1}a_k.\]

On helppo nähdä, että sarja \((S_{2n})_{n\in\mathbb{N}}\) on vähenevä ja rajoitettu alhaalta \(S_2\):lla. Vastaavasti \((S_{2n+1})_{n\in\mathbb{N}}\) on kasvava ja rajoitettu ylhäältä \(S_1\):llä. Monotonisten jonojen peruslauseen nojalla kumpikin lukujono suppenee. Koska

\[\lim_{n\to\infty} (S_{2n+1}-S_{2n})=\lim_{n\to \infty}a_{2n+1}=0,\]

suppenee lukujonot \((S_{2n})_{n\in\mathbb{N}}\) ja \((S_{2n+1})_{n\in\mathbb{N}}\) kohti samaa lukua \(S\) ja

\[S=\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}a_k.\]

Jäännöstermille huomataan

\[|R_{2n+1}|=|S_{2n+1}-L|=S_{2n+1}-L\le S_{2n+1}-S_{2n+1}=a_{(2n+1)+1}\]

ja

\[|R_{2n}|=|S_{2n}-L|=L-S_{2n}\le S_{2n+1}-S_{2n}=a_{2n+1}.\qedhere\]
Mikä seuraavista on riittävä ehto sarjan suppenemiseen käytettäessä Leibnizin testiä?

Esimerkki 6.2.3

Vuorotteleva harmoninen sarja

\[\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{k}=1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\cdots\]

suppenee, sillä

\[a_k=\frac1k\ge\frac{1}{k+1}=a_{k+1}\]

aina, kun \(k\in\N\) ja

\[\lim\limits_{k\to\infty}a_k=\lim\limits_{k\to\infty}\dfrac1k=0.\]

Esimerkki 6.2.4

Tutki vuorottelevan sarjan

\[\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{\sqrt{3k+1}}\]

suppenemista Leibnizin testillä.

Ratkaisu

Sarjan yleinen termi on \(a_k=\frac{1}{\sqrt{3k+1}}\). Neliöjuuri on kasvava funktio, joten koska \(3k+1<3(k+1)+1\), niin

\[\sqrt{3k+1}<\sqrt{3(k+1)+1}\ \Leftrightarrow\ \frac{1}{\sqrt{3(k+1)+1}}<\frac{1}{\sqrt{3k+1}}\ \Leftrightarrow\ a_{k+1}<a_k,\]

ja Leibnizin testin ensimmäinen kohta on tosi. Toisaalta,

\[\lim_{k\to\infty} a_k=\lim_{k\to\infty} \frac{1}{\sqrt{3k+1}}=0,\]

joten myös toinen kohta on voimassa ja sarja suppenee Leibnizin testin nojalla.

Määritelmä 6.2.5

Sarja \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k\) suppenee itseisesti, jos sarja \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}|a_k|\) suppenee.

Lause 6.2.6

Jos sarja suppenee itseisesti, niin se suppenee. Toisin sanoen jos \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}|a_k|\) suppenee, niin \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k\) suppenee.

Todistus

Oletetaan, että sarja \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}|a_k|\) suppenee. Koska

\[\begin{split}|a_k|= \begin{cases} a_k,&\text{jos }a_k\ge0\\ -a_k,&\text{jos }a_k\le0, \end{cases}\end{split}\]

niin

\[0\le|a_k|+a_k\le|a_k|+|a_k|=2|a_k|\]

aina, kun \(k\in\N\). Niinpä sarja \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(|a_k|+a_k\right)\) on positiiviterminen ja sillä on majoranttina sarja \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}2|a_k|\). Oletuksen mukaan tämä sarja kuitenkin suppenee, joten myös sarja \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(|a_k|+a_k\right)\) suppenee. Nyt sarja

\[\sum_{k=1}^{\infty}a_k=\sum_{k=1}^{\infty}\big(\left(|a_k|+a_k\right)-|a_k|\big)=\sum_{k=1}^{\infty}(|a_k|+a_k)-\sum_{k=1}^{\infty}|a_k|\]

voidaan esittään kahden suppenevan sarjan erotuksena, joten suppenevien sarjojen lineaarisuuden vuoksi se suppenee.

Käänteinen tulos ei ole voimassa, sillä esimerkiksi vuorotteleva harmoninen sarja suppenee, mutta sen itseisarvosarja on harmoninen sarja, joka hajaantuu. Tällaista sarjaa, joka suppenee, mutta ei suppene itseisesti, sanotaan ehdollisesti suppenevaksi (conditionally convergent).

Esimerkki 6.2.7

Suppeneeko \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^kk}{2^k}\)?

Ratkaisu

Tutkitaan itseistä suppenemista suhdetestillä. Nyt

\[\frac{|a_{k+1}|}{|a_k|}=\frac{\frac{k+1}{2^{k+1}}}{\frac{k}{2^k}}=\frac{k+1}{2k}=\frac12\left(1+\frac1k\right)\to\frac12 < 1,\]

kun \(k\to\infty\), joten kyseinen sarja suppenee itseisesti, ja siten suppenee.

Muokataan suhdetesti muotoon, jota voidaan käyttää suoraan kaikille, myös ei-positiivitermisille sarjoille.

Lause 6.2.8 (Suhdetesti)

Olkoon \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k\) sarja ja olkoon

\[L=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|\]

olemassa äärellisenä tai \(L=\infty\).

  1. Jos \(L<1\), niin sarja suppenee itseisesti.
  2. Jos \(L>1\), niin sarja hajaantuu.

Tapauksessa \(L=1\) voi käydä kummin vain.

Todistus
Sarja \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}|a_k|\) on positiiviterminen, joten väite 1 seuraa suoraan aiemmasta suhdetestin versiosta. Kohdassa 2 sovelletaan samaa päättelyä kuin aiemmin sarjalle \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}|a_k|\), joten ei ole \(\lim\limits_{n\to\infty}|a_n|=0\). Siten ei myöskään ole \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\), joten sarja \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k\) hajaantuu.
Sarja suppenee itseisesti, jos
Palautusta lähetetään...