$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$

# Numeerinen integrointi¶

Määrätyn integraalin sovelluksissa törmätään usein tilanteisiin, joissa

1. integrointi alkeisfunktioiden avulla ei onnistu (esimerkiksi $$f(x)=e^{x^2}$$) tai se on tarpeettoman hankalaa tai
2. funktion $$f$$ lauseketta ei tunneta, vaan tiedetään vain sen arvoja tietyissä pisteissä esimerkiksi mittaustuloksina.

Tällöin funktion $$f$$ integraalia voidaa arvioida numeerisella integroinnilla käyttäen funktion $$f$$ arvoja äärellisen monessa integroimisvälin pisteessä.

## Riemannin summa¶

Jos $$P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$$ on välin $$[a,b]$$ jako, niin mikä tahansa Riemannin summa antaa funktion $$f$$ integraalille välillä $$[a,b]$$ arvion

$\int_a^bf(x)\,\d x\approx\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x_i.$

Jos valitaan tasavälinen jako, jossa kunkin osavälin pituus on $$h$$, sievenee arvio muotoon

$\int_a^bf(x)\,\d x\approx h\sum_{i=1}^nf(x_i^*).$

Jos $$f$$ on ei-negatiivinen, niin geometrinen tulkinta arviolle on se, että jokaisella välillä $$[x_{i-1},x_i]$$ funktion $$f$$ kuvaajan ja $$x$$-akselin väliin jäävän alueen pinta-alaa arvioidaan suorakulmion pinta-alalla (vertaa kuvaan Riemannin summasta).

Esimerkki 2.4.1

Arvioi integraalia

$\int_1^3\frac{\d x}{x}$

Riemannin summalla, kun käytetään tasavälistä jakoa, jolle $$n=6$$ ja $$x_i^*$$ on osavälin keskipiste.

Piilota/näytä ratkaisu

Nyt $$h=\frac{b - a}{n}=\frac26=\frac13$$ ja välien keskipisteet ovat $$\frac76, \frac96,\ldots, \frac{17}{6}$$, joten

$\int_1^3\frac{\d x}{x} \approx\frac13\Big(f\left(\tfrac76\right)+f\left(\tfrac96\right)+\cdots+f\left(\tfrac{17}{6}\right)\Big)\approx1{,}094~581.$

Vertaa tarkkaan arvoon $$\ln(3)=1{,}098~612~288\ldots$$, joka eroaa arviosta vasta kolmannessa desimaalissa.

Käytännössä Riemannin summaa ei juuri käytetä integraalin arvioimiseen, sillä voidaan kehittää huomattavasti tehokkaampia menetelmiä, joissa samalla määrällä jakopisteitä (eli samalla vaivalla tai tietokoneajalla) päästään huomattavasti parempaan tarkkuuteen. Käsitellään seuraavaksi kahta yksinkertaista menetelmää.

## Puolisuunnikassääntö¶

Puolisuunnikassäännön (trapezoid rule) ideana on (kun $$f$$ on ei-negatiivinen) käyttää funktion $$f$$ kuvaajan ja $$x$$-akselin väliin jäävän alueen pinta-alan arvioinnissa suorakulmioiden sijasta puolisuunnikkaita. Ne saadaan aikaan korvaamalla funktion $$f$$ kuvaaja pisteiden $$(x_i,f(x_i))$$ kautta kulkevalla murtoviivalla. Käytetään tasavälistä jakoa, jossa osavälin pituus on $$h$$. Tällöin puolisuunnikkaan $$i$$ pinta-ala on

$\frac12(f(x_{i-1})+f(x_i))h,$

ja pinta-alojen summa on

\begin{split}\begin{aligned} &\sum_{i=1}^n\frac12(f(x_{i-1})+f(x_i))h\\ &=h\sum_{i=1}^n\frac12(f(x_{i-1})+f(x_i))\\ &=\frac{h}{2}\left(f(x_0)+f(x_1)+f(x_1)+\cdots+f(x_{n-1})+f(x_{n-1})+f(x_{n})\right). \end{aligned}\end{split}

Siis funktion $$f$$ integraalille saadaan arvio

(1)$\int_a^bf(x)\,\d x\approx h\left(\frac12f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_{n-1})+\frac12f(x_n)\right).$

Arvio (1) on voimassa myös yleiselle $$f$$ (eli vaikka $$f$$ ei olisi ei-negatiivinen). Jos funktion $$g(x)$$ kuvaaja on pisteiden $$(x_i, f(x_i))$$ kautta kulkeva murtoviiva, niin välillä $$[x_{i-1},x_i]$$ on

$g(x)=f(x_{i-1})+\frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{h}(x-x_{i-1}).$

$\int_{x_{i-1}}^{x_i}g(x)\,\d x=\frac12(f(x_{i-1})+f(x_i))h$

ja summaamalla yli kaikkien osavälien

$\int_a^bg(x)\,\d x=h\left(\frac12f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_{n-1})+\frac12f(x_n)\right).$

Esimerkki 2.4.2

Arvioi puolisuunnikassäännöllä samaa integraalia kuin Riemannin summilla arvioitiin esimerkissä 2.4.1, kun käytetään tasavälistä jakoa, jolle $$n=6$$.

Piilota/näytä ratkaisu

Nyt $$h=\frac13$$ ja jakopisteet ovat $$1, \frac43, \frac53,\ldots, 3$$, joten

$\int_1^3\frac{\d x}{x} \approx\frac13\Big(\frac12f(1)+f\left(\frac43\right)+f\left(\frac53\right)+\cdots+f\left(\frac83\right)+\frac12f(3)\Big)=1{,}106~746.\qedhere$

## Gaussin numeerinen integrointi¶

Erityisesti fysikaalisten insinööritieteiden numeriikassa joudutaan ratkaisemaan erilaisia kenttäongelmia, joiden systemaattinen käsittely perustuun yleensä niin sanotun elementtimenetelmän (FEM) käyttöön. Menetelmässä on tarve laskea suuri määrä integraaleja mahdollisimman nopeasti kuitenkin niin, ettei laskenta-aika pitenisi kohtuuttomasti. Yleensä tässä menetelmässä integrointi perustuu Gaussin numeeriseen integrointiin tai kvadratuuriin.

Gaussin integroinnissa arvioidaan integraalia kaavalla

$\int_{-1}^1 f(x)\,\d x\approx \sum_{i=1}^n w_jf(x_i),$

missä

• $$x_i\in[-1,1]$$ ovat integrointipisteet,
• $$w_i$$ pisteisiin liittyvät painokertoimet,
• $$n$$ on kvadratuurin kertaluku.

Huomautus 2.4.3

Jos halutaan arvioida integroituvan funktion $$f:[a,b]\to\mathbb{R}$$ integraalia yli välin $$[a,b]$$ Gaussin kvadratuurilla, voidaan käyttää muuttujanvaihtokaavaa (sopivan sijoituksen löytäminen jätetään lukijalle)

$\int_a^b f(x)\,\d x=\frac{b-a}{2}\int_{-1}^1 f\Big(\frac{b-a}{2}u+\frac{a+b}{2}\Big)\,\d u.$

Integrointipisteet ja painokertoimet ovat annettuja parametreja ja niiden numeerisia arvoja löytyy kirjallisuudesta ja internetistä. Integrointipisteet ja painokertoimet on määrätty siten, että parittoman asteen ($$2n - 1$$) polynomit integroituvat tarkasti. Tarkastellaan vain kahta alimman kertaluvun kvadratuuria. Ensimmäisen kertaluvun Gaussin interointikaava ($$x_1=0$$ ja $$w_1=2$$) on

$\int_{-1}^1 f(x)\,\d x\approx 2f(0),$

ja toisen kertaluvun ($$x_1=-\frac{1}{ \sqrt{3}}$$, $$x_2=\frac{1}{ \sqrt{3}}$$, $$w_1=w_2=1$$)

$\int_{-1}^1 f(x)\,\d x\approx f\left(-\frac{1}{ \sqrt{3}}\right)+f\left(\frac{1}{ \sqrt{3}}\right).$

Esimerkki 2.4.4

Arvioidaan integraalia

$\int_{-1}^1 \cos(x)\,\d x=2\sin(1)\approx 1.6829$
$\int_{-1}^1 \cos(x)\,\d x\approx 2\cos(0)=2.$
$\int_{-1}^1 \cos(x)\,\d x\approx \cos\left(-\frac{1}{ \sqrt{3}}\right)+\cos\left(\frac{1}{ \sqrt{3}}\right)\approx 1.676.$