$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$

Kompleksiluvut¶

Tämä liite on otettu suoraan Analyysin peruskurssin opintomonisteesta.

Reaaliluvut eivät riitä!¶

Palautetaan mieleen luonnolliset luvut $$1, 2, 3, \ldots$$, joihin viitataan myös kirjaimella $$\N$$. Näitä lukuja voidaan laskea yhteen ja kertoa keskenään, sillä kahden luonnollisen luvun summa ja tulo on aina myös luonnollinen luku. Vähennyslasku puolestaan ei onnistu kaikilla luonnollisilla luvuilla, sillä esimerkiksi $$2 - 7$$ ei ole esitettävissä luonnollisena lukuna. Tämän puutteen korjaamiseksi otetaan käyttöön kokonaisluvut $$\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$$, joita edustaa kirjain $$\Z$$. Jokainen luonnollinen luku on kokonaisluku, ja nyt myös erotus $$2 - 7 = -5$$ on esitettävissä negatiivisena kokonaislukuna.

Kokonaislukujen ongelmana on, että niitä ei voi aina jakaa keskenään. Tiedetään, että $$4 : 2 = 2$$, mutta esimerkiksi $$1 : 3$$ ei ole kokonaisluku. Rationaaliluvut, $$\Q$$, muodostuvat kokonaislukujen osamääristä, ja tällöin merkitään $$1 : 3 = \frac{1}{3}$$. Jokainen kokonaisluku on myös rationaaliluku, ja näillä luvuilla voidaan suorittaa kaikkia neljää peruslaskutoimitusta.

Seuraavaksi halutaan ottaa käyttöön myös luvun potenssiin korottaminen ja sen juuren ottaminen. Ensimmäinen ei tuota ongelmia, sillä esimerkiksi potenssi $$5^3$$ määritellään asettamalla $$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5$$. Rationaalilukujen kertolasku tuottaa aina rationaaliluvun, jolloin (kokonaisluku)potenssiin korotus toimii samoin. Juuren ajatus on käänteinen: esimerkiksi luvun $$\frac{16}{9}$$ neliöjuuren ottaminen tuottaa sen luvun, jonka toinen potenssi on $$\frac{16}{9}$$. Koska $$\left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$$, merkitään $$\sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}$$.

Jo neliöjuuren avulla päädytään kahteen hankaluuteen. On mahdollista osoittaa, että $$\sqrt{2}$$ ei ole rationaaliluku, ts. minkään rationaaliluvun toinen potenssi ei ole $$2$$. Tämä kierretään laajentamalla rationaaliluvut reaaliluvuiksi, $$\R$$, joihin kuuluu myös muita tuttuja irrationaalilukuja, kuten $$\pi$$ ja $$e$$. Toinen ongelma koskee negatiivisten lukujen neliöjuuria. Niin ikään voidaan todistaa, että $$\sqrt{-1}$$ ei ole edes reaaliluku. Tämän ongelman kiertämiseksi määritellään kompleksiluvut, $$\C$$, joiden ominaisuuksia käsitellään tässä osiossa.

Määritelmä 7.2.1

Kompleksiluvut, $$\C$$, koostuvat luvuista $$z = a + b\iu$$, missä $$a$$ ja $$b$$ ovat reaalilukuja, sekä $$\iu$$ on imaginaariyksikkö. Kompleksilukujen summa määritellään kaavalla

$(a+b\iu)+(c+d\iu)=(a+c)+(b+d)\iu$

ja tulo kaavalla

$(a+b\iu)(c+d\iu)=(ac-bd)+(ad+bc)\iu.$

Havaitaan, että kompleksilukujen summa ja tulo ovat myös kompleksilukuja, sillä edellisessä määritelmässä luvut $$a + c$$, $$b + d$$, $$ac - bd$$ ja $$ad + bc$$ ovat reaalilukuja. Kompleksiluvusta käytetään myös merkintöjä

$a + b\iu = a + \iu b = a + b\ju = a + \ju b.$

Kompleksilukuja voidaan havainnollistaa esittämällä ne pisteinä tai vektoreina kompleksitasossa (complex plane), kuten alla olevassa kuvassa.

Kompleksiluku $$a + 0\iu$$ samastetaan reaaliluvun $$a$$ kanssa ja merkitään $$a + 0\iu = a$$. Niinpä voidaan sanoa, että jokainen reaaliluku on myös kompleksiluku. Samoin voidaan merkitä $$0 + b\iu = b\iu$$. Erityisesti

$1 + 0\iu = 1 \qquad\text{ja}\qquad 0 + 1\iu = 1\iu = \iu.$

Imaginaariyksikkö $$\iu$$ on siis myös kompleksiluku. Otetaan käyttöön seuraava kompleksilukua $$z=a+b\iu$$ koskeva terminologia.

• $$a = \re z$$ on luvun $$z$$ reaaliosa ja $$b = \im z$$ on luvun $$z$$ imaginaariosa.
• Jos $$b = 0$$, luku $$z$$ on reaalinen.
• Jos $$b \ne 0$$, luku $$z$$ on imaginaarinen.
• Jos $$a = 0$$ ja $$b \ne 0$$, luku $$z$$ on puhtaasti imaginaarinen.

Kompleksiluvut $$z$$ ja $$w$$ ovat samoja, jos niiden reaali- ja imaginaariosat ovat samoja. Toisin sanoen $$z = w$$ jos ja vain jos $$\re z = \re w$$ ja $$\im z = \im w$$.

Määritelmä 7.2.2

Kompleksiluvun $$z=a+b\iu$$ vastaluku (negative) on

$-z=-a-b\iu$

(jolloin $$z+(-z)=0$$). Kompleksilukujen $$z=a+b\iu$$ ja $$w=c+d\iu$$ erotus (difference) $$z-w$$ määritellään asettamalla

$z-w=z+(-w)=(a-c)+(b-d)\iu.$

Lasketaan reaaliluvun $$t=t+0\iu$$ ja kompleksiluvun $$a+b\iu$$ tulo määritelmän mukaan.

$t(a+b\iu)=(t+0\iu)(a+b\iu)=(ta-0\cdot b)+(tb+0\cdot a)\iu=ta+tb\iu,$

eli samaan tulokseen päästään vain kertomalla sekä reaali- että imaginaariosa luvulla $$t$$. Tiivistetysti voidaan todeta, että kompleksilukujen summa, vastaluku, erotus ja reaaliluvulla kertominen toimivat täsmälleen samoin kuin tasovektorien vastaavat operaatiot. Näiden geometriset tulkinnat voidaan siis esittää kuten alla.

Esimerkki 7.2.3

1. $$\re(-2-3\iu)=-2$$ ja $$\im(-2-3\iu)=-3$$
2. $$(3-2\iu)-(-5+3\iu)=8-5\iu$$

Kompleksilukujen kertolaskun määritelmästä seuraa mielenkiintoinen ja hyödyllinen luvun $$\iu$$ ominaisuus.

Lause 7.2.4

$$\iu^2=\iu\cdot \iu=-1$$.

Piilota/näytä todistus

Kirjoitetaan $$\iu=0+1\iu$$ ja lasketaan tulo määritelmän mukaan. Nyt $$a=c=0$$ ja $$b=d=1$$, joten

$\iu^2=\iu\cdot \iu=(0+1\iu)(0+1\iu)=(0\cdot0-1\cdot1)+(0\cdot1+1\cdot0)\iu=-1+0\iu=-1.$

Käsitellään seuraavaksi kompleksilukuja $$a+b\iu$$ ja $$c+d\iu$$ kuten reaalisia binomeja ja lasketaan niiden tulo käyttämällä tulosta $$\iu^2 = -1$$.

$(a+b\iu)(c+d\iu)=ac+ad\iu+bc\iu+bd\iu^2=ac+ad\iu+bc\iu-bd=(ac-bd)+(ad+bc)\iu$

Tulos on sama kuin kertolaskun määritelmässä, joten kompleksilukujen tulo voidaan laskea kuten binomien tulo osittelulakia käyttäen. Tulon geometriseen tulkintaan palataan myöhemmin.

Esimerkki 7.2.5

$$(-3-2\iu)(5+\iu)=-15-3\iu-10\iu-2\iu^2=-13-13i$$.

Oheiseen kuvaan on piirretty muutamien kompleksilukujen vektoriesitykset. Kahden apuviivan väli on $$1$$. Vastaa kysymyksiin.

Mitä on $$a+d$$?
Mitä on $$b-2c$$?
Onko $$f-b$$ reaalinen?
Onko $$e+d$$ imaginaarinen?
Mitä on $$ad$$?
Mitä on $$2ei$$? Huomaa, että tässä $$e$$ ei ole Neperin luku.

Reaaliluvuille $$a=a+0\iu$$ ja $$b=b+0\iu$$ kompleksilukujen laskutoimitukset antavat samat tulokset kuin vastaavat reaaliset laskutoimitukset. Lisäksi seuraavan lauseen mukaan kaikkia tuttuja laskusääntöjä saa soveltaa myös kompleksilukuja käsiteltäessä

Lause 7.2.6

Jokaisella kompleksiluvulla $$z\ne0$$ on olemassa yksikäsitteinen käänteisluku (reciprocal) $$z^{-1}$$, joka toteuttaa ehdon $$zz^{-1}=1$$.

Piilota/näytä todistus

Käänteisluvun olemassaolo ja yksikäsitteisyys on todistettava erikseen. Olkoon $$z=a+b\iu\ne0$$ ja merkitään

$w=\frac{1}{a^2+b^2}(a-b\iu).$

$zw = \frac{1}{a^2 + b^2}(a + b\iu)(a - b\iu) = \frac{1}{a^2 + b^2}(a^2 - ab\iu + ab\iu - b^2\iu^2) = \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2} = 1,$

eli luku $$w$$ toteuttaa käänteisluvun ehdon. Täten $$z^{-1} = w$$ on olemassa.

Yksikäsitteisyyden osoittamiseksi väitetään, että $$u$$ ja $$v$$ ovat luvun $$z \not= 0$$ käänteislukuja, eli esimerkiksi $$uz = 1$$ ja $$zv = 1$$. Tällöin kuitenkin välttämättä

$u = u \cdot 1 = u(zv) = (uz)v = 1 \cdot v = v,$

eli luvut $$u$$ ja $$v$$ ovat samat. Täten käänteisluku on yksikäsitteinen.

Koska jokaiselle nollasta poikkeavalle kompleksiluvulle löytyy käänteisluku, niille on mahdollista määritellä jakolasku vastaavasti kuin reaaliluvuille.

Määritelmä 7.2.7

Kompleksilukujen $$z$$ ja $$w$$ osamäärä (quotient) $$\dfrac{z}{w}$$, missä $$w\ne0$$, määritellään asettamalla

$\frac{z}{w}=zw^{-1}.$

Erityisesti $$\dfrac{1}{w}=1 \cdot w^{-1}=w^{-1}$$.

Reaaliluvuille $$a=a+0\iu$$ ja $$b=b+0\iu$$ kompleksiset laskutoimitukset antavat samat tulokset kuin vastaavat reaalilukujen laskutoimitukset. Lisäksi seuraavan luvun mukaan kompleksiset laskutoimitukset toteuttavat samat peruslait kuin reaalilukujen laskutoimitukset. Siis kompleksilukujen laskutoimitukset laajentavat reaalilukujen laskutoimitukset $$\R^2$$:een.

Lause 7.2.8

Kun $$x$$, $$y$$ ja $$z$$ ovat kompleksilukuja, niin

1. $$x + y = y + x$$ ja $$xy = yx$$ (vaihdantalait),
2. $$x + (y + z) = (x + y) + z$$ ja $$x(yz) = (xy)z$$ (liitäntälait),
3. $$x(y + z) = xy + xz$$ (osittelulaki).
Piilota/näytä todistus

Nämä voidaan todistaa suorilla laskuilla, kun sopivissa välivaiheissa sovelletaan reaalilukujen laskusääntöjä. Todistetaan esimerkkinä tulon vaihdantalaki. Merkitään $$x=x_1+x_2\iu$$ ja $$y=y_1+y_2\iu$$. Tällöin

\begin{split}\begin{aligned} xy&=(x_1+x_2\iu)(y_1+y_2\iu)=x_1y_1+x_1y_2\iu+x_2y_1\iu+x_2y_2\iu^2\\ &=y_1x_1+y_1x_2\iu+y_2x_1\iu+y_2x_2\iu^2=(y_1+y_2\iu)(x_1+x_2\iu)=yx. \end{aligned}\end{split}

Muut kohdat vastaavasti.

Lemma 7.2.9

Jos $$z \not= 0$$ ja $$w \not= 0$$ ovat kompleksilukuja, niin $$(zw)^{-1} = z^{-1}w^{-1}$$, eli

$\frac1z\cdot\frac1w=\frac{1}{zw}.$
Piilota/näytä todistus

Määritelmän nojalla $$zz^{-1}=1$$ ja $$ww^{-1}=1$$, joten tulon liitännäisyyden ja vaihdannaisuuden nojalla

$\left(zw\right)\left(z^{-1}w^{-1}\right)=z\left(wz^{-1}\right)w^{-1}=\left(zz^{-1}\right)\left(ww^{-1}\right)=1\cdot1=1.$

Niinpä $$z^{-1}w^{-1}$$ on luvun $$zw$$ käänteisluku.

Tästä tuloksesta seuraa, että tavanomainen laventaminen ja supistaminen on luvallista myös kompleksiluvuilla. Jos $$z\ne0$$, niin $$zz^{-1} = 1$$ ja siten

$\frac{v}{w} = \left(vw^{-1}\right)\left(zz^{-1}\right) = (vz)\left(w^{-1}z^{-1}\right) = (vz)\left(wz\right)^{-1} = \frac{vz}{wz}.$

Laventaminen tarjoaa yksinkertaisimman tavan etsiä kompleksiluvun käänteisluku. Suoralla laskulla voidaan tarkistaa, että $$(a + b\iu)(a - b\iu) = a^2 + b^2$$, missä $$a$$ ja $$b$$ ovat reaalisia. Tällöin myös luku $$a^2 + b^2$$ on reaalinen, eli

(1)$\frac{1}{a + b\iu} = \frac{a - b\iu}{(a + b\iu)(a - b\iu)} = \frac{a - b\iu}{a^2 + b^2} = \frac{1}{a^2 + b^2}(a - b\iu),$

joka on sama luku kuin aiemmassa lauseen 7.2.6 todistuksessa.

Esimerkki 7.2.10

1. Etsi luvun $$2 + 3\iu$$ käänteisluku muodossa $$a + b\iu$$.
2. Ilmoita luku $$\dfrac{3 - 4\iu}{-2 + \iu}$$ muodossa $$a + b\iu$$.
3. Ratkaise $$z$$ muodossa $$a + bi$$ yhtälöstä $$(2 - \iu)z = 1 + \iu$$.
Piilota/näytä ratkaisu

Hyödynnetään sopivalla luvulla laventamista.

1. Lavennetaan luvulla $$2 - 3\iu$$.

$(2+3\iu)^{-1}=\frac{1}{2+3\iu}=\frac{2-3\iu}{(2+3\iu)(2-3\iu)}=\frac{2-3\iu}{4-9\iu^2}=\frac{2-3\iu}{13}=\frac{2}{13}-\frac{3}{13}\iu$
2. Lavennetaan luvulla $$-2 - \iu$$.

$\frac{3-4\iu}{-2+\iu}=\frac{(3-4\iu)(-2-\iu)}{(-2+\iu)(-2-\iu)}=\frac{-10+5\iu}{5}=-2+\iu$
3. Ratkaisu on olemassa, sillä luvulla $$2 - \iu$$ on käänteisluku. Jaetaan yhtälö puolittain sillä ja lavennetaan luvulla $$2 + \iu$$.

$z=\frac{1+\iu}{2-\iu}=\frac{(1+\iu)(2+\iu)}{(2-\iu)(2+\iu)}=\frac{1+3\iu}{5}=\frac15+\frac35\iu\qedhere$
Mikä on luvun $$\iu$$ neliö?
Mikä on luvun $$-1$$ neliöjuuri?
Mikä seuraavista laskulaeista ei ole voimassa kaikille kompleksiluvuille $$x$$, $$y$$ ja $$z$$?
Jaetaan mikä tahansa kompleksiluku luvulla $$\iu$$. Tulokseksi tulee sama luku, kuin jos

Liittoluku ja itseisarvo¶

Määritelmä 7.2.11

Kompleksiluvun $$z=a+b\iu$$ liittoluku eli kompleksikonjugaatti (conjugate) $$\overline{z}$$ määritellään asettamalla

$\overline{z}=a-b\iu.$

Aiemmissa esimerkeissä lavennettiin siis aina nimittäjän liittoluvulla. Geometrisesti tulkittuna liittoluku on alkuperäisen kompleksiluvun peilikuva reaaliakselin suhteen. Jos kompleksiluvun imaginaariosa on negatiivinen, eli $$b < 0$$, niin sen liittoluvun imaginaariosa $$-b$$ on positiivinen.

Esimerkki 7.2.12

$$\overline{-2-3\iu}=-2+3\iu$$.

Lause 7.2.13

Jos $$z$$ ja $$w$$ ovat kompleksilukuja, niin

1. $$\overline{\overline{z}}=z$$
2. $$\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$$
3. $$\overline{zw}=\overline{z}\cdot\overline{w}$$
4. $$\overline{\left(\dfrac{z}{w}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{w}}\quad(w\ne 0)$$
5. $$z$$ on reaalinen jos ja vain jos $$z=\overline{z}$$.
Piilota/näytä todistus

Merkitään $$z=a+b\iu$$ ja $$w=c+d\iu$$ ja todistetaan esimerkkinä kohdat 2 ja 4. Nyt

$\overline{z+w}=\overline{(a+c)+(b+d)\iu}=(a+c)-(b+d)\iu=(a-b\iu)+(c-d\iu)= \overline{z}+\overline{w}$

ja jos $$w \not= 0$$, niin

$\overline{w^{-1}} = \overline{\frac{c}{c^2 + d^2} - \frac{d}{c^2 + d^2}\iu} = \frac{c}{c^2 + d^2} + \frac{d}{c^2 + d^2}\iu = \overline{w}^{-1}.$

Loput kohdasta 4 voidaan todistaa kohdan 3 avulla. Muut kohdat todistetaan samaan tapaan, ja lisäksi 1 ja 5 ovat geometrisesti ilmeisiä väittämiä.

Määritelmä 7.2.14

Kompleksiluvun $$z=a+b\iu$$ itseisarvo eli moduli (absolute value, modulus) $$|z|$$ määritellään asettamalla

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}.$

Kun muistetaan kompleksiluvun tulkinta tasovektorina, on selvää että itseisarvon geometrinen vastine on luvun paikkavektorin pituus, eli luvun etäisyys origosta.

Esimerkki 7.2.15

$$\left|-2-3\iu\right|=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{13}$$

Lause 7.2.16

Jos $$z$$ ja $$w$$ ovat kompleksilukuja, niin

1. $$|z|^2=z\overline{z}$$
2. $$|z|=0$$ jos ja vain jos $$z=0$$
3. $$|z|=|\overline{z}|$$
4. $$|zw|=|z||w|$$
5. $$\left|\dfrac{z}{w}\right|=\dfrac{|z|}{|w|}\quad(w\ne 0)$$
6. $$|z+w|\le|z|+|w|\quad$$ (kolmioepäyhtälö)
Piilota/näytä todistus

Merkitään $$z = a + b\iu$$ ja todistetaan esimerkkinä kohdat 1 ja 4. Nyt

$z\overline{z}=(a+b\iu)(a-b\iu)=a^2-b^2\iu^2=a^2+b^2=|z|^2$

ja tätä hyödyntämällä nähdään, että

$|zw|^2=zw\overline{zw}=zw\overline{z}\,\overline{w} =z\overline{z}w\overline{w}=|z|^2|w|^2,$

eli $$|zw| = |z||w|$$. Muut kohdista 1–5 todistetaan samaan tapaan. Kohta 6 on geometrisesti selvä, sillä lukua $$|z+w|$$ edustaa summavektorin pituus, kun $$|z|$$ ja $$|w|$$ ovat summattavien vektorien pituuksia. Nämä puolestaan muodostavat kuvan mukaisen kolmion, jossa intuitiivisesti kahden sivun pituuden summa on suurempi kuin kolmannen.

Täsmällisempi todistus sivuutetaan.

Edellisessä luvussa esiteltiin kompleksilukujen jakolasku. Osamäärä $$\frac{c+d\iu}{a+b\iu}$$ on sama asia kuin että lukua $$c+d\iu$$ kerrotaan luvulla $$\frac{1}{a+b\iu}$$. Tämä kertova luku on esitetty toisella tavalla kaavarivillä (1) ennen esimerkkiä 7.2.10. Palaa vielä kerran katsomaan kyseistä kaavariviä ja yritä ilmaista sen lopputulos niin, että käytät luvun $$a+b\iu$$ liittoluvun ja modulin käsitteitä. Tämän jälkeen vastaa seuraavaan kysymykseen.

Miten voit ilmaista sanallisesti sen, mitä luvulle $$\frac{c+d\iu}{a+b\iu}$$ pitää tehdä, että sen saa esitettyä muodossa, josta suoraan näkyvät luvun $$\frac{c+d\iu}{a+b\iu}$$ reaaliosa ja imaginaariosa? Muista, että osoittaja on jakoviivan yläpuolella oleva luku ja nimittäjä alapuolella.

Luvun kertominen itsensä liittoluvulla tuottaa
Lauseen 7.2.16 kolmioepäyhtälön voi ilmaista muodossa
Seuraavista väitteistä vain yksi on tosi kaikille $$z,w \in \C$$. Päättele kolmioepäyhtälön perusteella, mikä niistä on tosi.

Huomautus 7.2.17

Jos $$z$$ ja $$w$$ ovat kompleksilukuja, niin $$|z - w|$$ on niiden välinen etäisyys. Piirrä kuva, jonka avulla vakuutut asiasta.

Itseisarvoihin tai liittolukuihin liittyvän yhtälön tai epäyhtälön ratkaisut voidaan monesti selvittää merkitsemällä $$z=x+y\iu$$, missä $$x$$ ja $$y$$ ovat reaalilukuja. Tällöin siirrytään tarkastelemaan vastaavia ratkaisuja $$xy$$-koordinaatistossa.

Esimerkki 7.2.18

Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt.

1. $$\overline{z} - z = \iu\overline{z} + 4$$
2. $$\left|\dfrac{z - 2\iu}{z - 1}\right| = 1$$
3. $$|z - (2 + 3\iu)| = 2$$
Piilota/näytä ratkaisu

Merkitään kaikissa kohdissa $$z = x + y\iu$$, missä $$x$$ ja $$y$$ ovat reaalilukuja.

1. Sijoituksen jälkeen yhtälö tulee muotoon

\begin{split}\begin{aligned} &&x-y\iu-(x+y\iu)&=\iu(x-y\iu)+4\\ \Leftrightarrow&&-2y\iu&=x\iu+y+4\\ \Leftrightarrow&&-(y + 4)-(x + 2y)\iu&=0. \end{aligned}\end{split}

Yhtälön vasen puoli on kompleksiluku, jonka reaali- ja imaginaariosan on oltava nolla. Täten $$-(y + 4) = 0$$ ja $$-(x + 2y) = 0$$, eli $$y = -4$$ ja $$x = -2y = 8$$. Sijoittamalla takaisin nähdään, että yhtälön ratkaisu on $$z = 8 - 4\iu$$.

2. Jotta yhtälön vasen puoli olisi määritelty, on oltava $$z \not= 1$$. Tällöin myös

$\left|\frac{z - 2\iu}{z - 1}\right| = \frac{|z - 2\iu|}{|z - 1|} = 1,$

eli $$|z - 2\iu| = |z - 1|$$. Sijoituksen jälkeen yhtälö palautuu seuraavaan muotoon.

\begin{split}\begin{aligned} &&|x+y\iu-2\iu|&=|x+y\iu-1|\\ \Leftrightarrow&&|x+(y-2)\iu|&=|(x-1)+y\iu|\\ \Leftrightarrow&&\sqrt{x^2+(y-2)^2}&=\sqrt{(x-1)^2+y^2}\\ \Rightarrow&&x^2+y^2-4y+4&=x^2-2x+1+y^2\\ \Leftrightarrow&&y&=\frac12x+\frac34 \end{aligned}\end{split}

Ratkaisujoukko on kuvan mukainen suora kompleksitasossa. Geometrinen tulkinta yhtälölle $$|z-2\iu|=|z-1|$$ on, että haetaan kaikki ne pisteet $$z$$, jotka ovat yhtä kaukana luvuista $$2\iu$$ ja $$1$$.

3. Sijoituksen jälkeen yhtälö tulee muotoon

\begin{split}\begin{aligned} &&|x+y\iu-(2+3\iu)|=|(x-2)+(y-3)\iu|&=2\\ \Leftrightarrow&&\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2}&=2\\ \Rightarrow&&(x-2)^2+(y-3)^2&=4. \end{aligned}\end{split}

Ratkaisujoukko on siis kompleksitason $$2$$-säteinen ympyrä keskipisteenään $$2 + 3\iu$$. Tämä voitaisiin päätellä myös suoraan aiemman huomautuksen avulla: itseisarvoyhtälön $$|z - w| = r$$ toteuttavat täsmälleen ne kompleksiluvut $$z$$, joiden etäisyys luvusta $$w$$ on $$r$$.

Ratkaise yhtälö $$|z-a|=0$$, missä $$a$$ on jokin valitsemasi kompleksiluku. Kuinka monta ratkaisua yhtälöllä on?
Mitä tarkoittaa, että ympyrä on $$3$$-säteinen?
Tieto $$|z-w|<4$$ voidaan tulkita vain yhdellä seuraavista tavoista. Millä? Yhtälö $$|z-w|<4$$ voidaan tulkita siten, että $$z$$ on jokin piste $$w$$-keskisen ympyrän

Napakoordinaattimuoto¶

Kompleksiluku $$z=x+y\iu$$ voidaan ilmaista myös napakoordinaattien (polar coordinates) $$r$$ ja $$\theta$$ avulla, missä $$r=|z|$$ on luvun $$z$$ etäisyys origosta kompleksitasossa ja $$\theta$$ on luvun $$z$$ paikkavektorin ja reaaliakselin välinen kulma mitattuna reaaliakselista vastapäivään. Kosinin ja sinin määritelmien mukaan kulmaa $$\theta$$ vastaava kehäpiste yksikköympyrällä on $$(\cos\theta,\sin\theta)$$, joten $$r$$-säteisellä ympyrällä kehäpiste on $$(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$$. Niinpä kompleksiluvun $$z$$ napakoordinaattimuoto (polar form) on

(2)$z=r(\cos\theta+\iu\sin\theta)=r\cos\theta+\iu r\sin\theta.$

Kulmaa $$\theta$$ merkitään myös $$\theta=\arg z$$ ja kutsutaan vaihekulmaksi eli argumentiksi (argument).

Reaali- ja imaginaariosien $$x$$ ja $$y$$ ja napakoordinaattien $$r$$ ja $$\theta$$ välinen riippuvuus on siis

(3)\begin{split}\begin{aligned} x&=r\cos\theta\\ y&=r\sin\theta \end{aligned}\end{split}

Tapauksessa $$0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$$ riippuvuudet voidaan lukea myös seuraavan kuvan suorakulmaisesta kolmiosta.

Käänteiseen suuntaan muunnoskaavat voidaan kirjoittaa muodossa

(4)\begin{split}\begin{aligned} r&=\sqrt{x^2+y^2}\\ \tan\theta&=\frac{y}{x}\qquad(\text{kun }x\ne0) \end{aligned}\end{split}

Jälkimmäisestä yhtälöstä voidaan laskea argumentiksi suoraan $$\theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)$$ silloin, kun $$-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$$, eli kun $$\re(x + y\iu ) = x > 0$$. Muissa tapauksissa kulman osuminen oikeaan neljännekseen tulee erikseen pohtia esimerkiksi kuvan avulla. Argumentti $$\theta$$ ei ole yksikäsitteinen, sillä siihen voidaan lisätä tai vähentää mielivaltainen määrä kokonaisia kierroksia ja päätyä jälleen samaan lukuun, eli

$r(\cos\theta + \iu \sin\theta) = r(\cos(\theta + n2\pi) + \iu \sin(\theta + n2\pi))\qquad(n \text{ on kokonaisluku}).$

Tilanteesta ja sovelluksesta riippuen käsiteltävä argumentti on tapana valita väliltä $$[0,2\pi]$$ tai $$[-\pi,\pi]$$.

Esimerkki 7.2.19

Esitä kompleksiluvut $$z = \sqrt{3} + \iu$$ ja $$w = -3 + \iu$$ napakoordinaattimuodossa.

Piilota/näytä ratkaisu

$|z| = \sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2 + 1^2} = 2\qquad\text{ja}\qquad |w| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{10}.$

Merkitään $$\theta = \arg z$$ ja $$\varphi = \arg w$$, jolloin $$\tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$$ ja $$\tan\varphi = -\frac{1}{3}$$. Piirretään kuva.

Kulma $$\theta$$ voidaan päätellä muistikolmiosta, jolloin saadaan $$\theta = \frac{\pi}{6}$$. Kulman $$\varphi$$ määrittämiseksi lasketaan ensin esimerkiksi $$\arctan\left(-\frac{1}{3}\right) \approx -0{,}3218$$. Koska luku $$w$$ sijoittuu kompleksitason toiseen neljännekseen, tähän tulokseen voidaan lisätä $$\pi$$ oikean vaihekulman löytämiseksi. Siis $$\varphi = \arctan\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi \approx 2{,}820$$, eli

$z = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + \iu \sin\frac{\pi}{6}\right)\qquad\text{ja}\qquad w \approx \sqrt{10}\left(\cos(2{,}820) + \iu \sin(2{,}820)\right).\qedhere$

Lause 7.2.20

Jos $$z_1=r_1(\cos\theta_1+\iu \sin\theta_1)$$ ja $$z_2=r_2(\cos\theta_2+\iu \sin\theta_2)$$, niin

1. $$z_1z_2=r_1r_2\big(\cos(\theta_1+\theta_2)+\iu \sin(\theta_1+\theta_2)\big)$$,
2. $$\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{r_1}{r_2} \big(\cos(\theta_1-\theta_2)+\iu \sin(\theta_1-\theta_2)\big)$$, kun $$z_2 \not= 0$$.
Piilota/näytä todistus

\begin{split}\begin{aligned} z_1z_2&=r_1(\cos\theta_1+\iu \sin\theta_1)r_2(\cos\theta_2+\iu \sin\theta_2)\\ &=r_1r_2\left((\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2)+\iu (\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2)\right)\\ &=r_1r_2\big(\cos(\theta_1+\theta_2)+\iu \sin(\theta_1+\theta_2)\big), \end{aligned}\end{split}

missä viimeinen yhtäsuuruus seuraa sinin ja kosinin summakaavoista. Osamäärä $$\frac{z_1}{z_2}$$ lasketaan vastaavasti, kun ensin on lavennettu nimittäjän liittoluvulla $$\overline{z}_2$$.

Tämä lause mahdollistaa kompleksilukujen tulon ja osamäärän geometrisen tulkinnan. Ensimmäisen kaavan mukaan tulon $$z_1z_2$$ itseisarvo on $$r_1r_2$$, eli tekijöiden itseisarvojen tulo ja vastaavasti tulon argumentti on $$\theta_1+\theta_2$$, eli tekijöiden argumenttien summa. Osamäärän $$z_1/z_2$$ tulkinnassa puolestaan sen itseisarvoksi tulee $$r_1/r_2$$ ja argumentiksi $$\theta_1 - \theta_2$$.

Oheiseen kuvaan on piirretty muutamien kompleksilukujen vektoriesitykset. Kiinnitä huomiota erityisesti lukujen vaihekulmiin, joissa kaikissa voi huomata tietynlaista samankaltaisuutta toisiinsa verrattuna. Vastaa kysymyksiin.

Mikä seuraavista on $$\arg\left( c \right)$$?
Missä kulmassa $$\theta$$ saadaan $$\cos{\theta}=0$$?
Mikä seuraavista luvuista on puhtaasti imaginaarinen? Vihje: Lause 7.2.20 ja edellinen kysymys.
Mikä seuraavista luvuista on reaalinen?

Tulon ja osamäärän tulkinnat ovat erityisen yksinkertaisia silloin, kun kertojan ja jakajan itseisarvo on $$1$$. Tällaiset luvut ovat muotoa $$\cos\theta + \iu \sin\theta$$ jollakin reaalisella vaihekulmalla $$\theta$$, sillä

$|\cos\theta + \iu \sin\theta| = \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta} = 1.$

Tällä luvulla kertominen tai jakaminen jättää toisen luvun itseisarvon sikseen, jolloin kyseessä on vain kierto kulman $$\theta$$ tai $$-\theta$$ verran. Esimerkiksi luvulla $$\iu =\cos\frac{\pi}{2}+\iu \sin\frac{\pi}{2}$$ kertominen vastaa kiertoa kulman $$\frac{\pi}{2}$$ verran vastapäivään ja jakaminen samanlaista kiertoa myötäpäivään.

Kompleksilukujen potenssit $$z^n$$ ja $$z^{-n}$$, missä $$n$$ on luonnollinen luku, määritellään samoin kuin reaaliluvuille. Luku $$z^{-n}$$ on luvun $$z^n$$ käänteisluku, eli $$z^{-n} = 1/z^n$$ ja $$z^0 = 1$$ aina, kun $$z \not= 0$$.

Esimerkki 7.2.21

Laske $$(1 + \iu )^9$$ ja $$(1 + \iu )^{-9}$$.

Piilota/näytä ratkaisu

Suoraan määritelmän avulla voidaan laskea esimerkiksi

$(1 + \iu )^9 = \left((1 + \iu )^3\right)^3 = (-2 + 2\iu )^3 = 16 + 16\iu ,$

jolloin

$(1 + \iu )^{-9} = \frac{1}{16 + 16\iu } = \frac{1}{16}\frac{1 - \iu }{(1 + \iu )(1 - \iu )} = \frac{1}{32} - \frac{1}{32}\iu .\qedhere$

Reaalisten binomien tapaan myös kompleksilukujen korkeat potenssit käyvät työläiksi laskea suoraan. Napakoordinaattiesitys tarjoaa tähän kuitenkin eräänlaisen oikotien.

Lause 7.2.22 (Moivren kaava)

Jos $$z=r(\cos\theta+\iu \sin\theta)$$ ja $$n$$ on luonnollinen luku, niin

$z^n=r^n\big(\cos(n\theta)+\iu \sin(n\theta)\big).$
Piilota/näytä todistus

Todistetaan väite induktiolla. Jos $$n = 1$$, väite on selvästi tosi. Oletetaan sitten, että se on tosi jollakin luonnollisella luvulla $$k$$, eli että

$z^k=r^k\big(\cos(k\theta)+\iu \sin(k\theta)\big).$

Nyt potenssi $$z^{k + 1}$$ on

\begin{split}\begin{aligned} z^{k+1}&=z^kz\stackrel{\text{io}}{=}r^k\big(\cos(k\theta)+\iu\sin(k\theta)\big)r\big(\cos(\theta)+\iu\sin(\theta)\big)\\ &=r^{k+1}\big(\cos(k\theta+\theta)+\iu\sin(k\theta+\theta)\big)\\ &=r^{k+1}\big(\cos((k+1)\theta)+\iu\sin((k+1)\theta)\big), \end{aligned}\end{split}

eli väite on tosi. Täten kaava toteutuu kaikilla luonnollisilla luvuilla $$n$$ induktioperiaatteen nojalla.

Esimerkki 7.2.23

Laske $$(1 + \iu)^9$$ ja $$(1 + \iu)^{-9}$$ Moivren kaavan avulla.

Piilota/näytä ratkaisu

Luvun $$1 + \iu$$ napakoordinaattiesitys on $$\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + \iu\sin\frac{\pi}{4}\right)$$ (tarkista). Tällöin Moivren kaavan mukaan

$(1 + \iu)^9 = \left(\sqrt{2}\right)^9\left(\cos\frac{9\pi}{4} + \iu\sin\frac{9\pi}{4}\right) = 16 + 16\iu,$

ja tämän käänteisluku

$(1 + \iu)^{-9} = \frac{1}{\left(\sqrt{2}\right)^9}\left(\cos\left(0 - \frac{9\pi}{4}\right) + \iu\sin\left(0 - \frac{9\pi}{4}\right)\right) = \frac{1}{32} - \frac{1}{32}\iu.\qedhere$

Eksponenttifunktio ja eksponenttiesitys¶

Palautetaan mieleen reaalisen eksponenttifunktion $$e^x$$ määritelmä ja ominaisuudet. Pyritään laajentamaan eksponenttifunktion käsitettä kattamaan myös kompleksiset eksponentit. Tämä halutaan tehdä niin, että funktio käyttäytyy reaalisilla muuttujan arvoilla kuten aiemminkin. Käy ilmi, että on olemassa vain yksi tapa määritellä tällainen laajennus.

Määritelmä 7.2.24

Kompleksimuuttujan $$z = x + \iu y$$ eksponenttifunktio saa arvokseen

$e^z=e^{x+\iu y}=e^x(\cos y+\iu\sin y).$

Kun kompleksisen eksponenttifunktion arvoa verrataan napakoordinaattiesitykseen, havaitaan että luvun $$e^z$$ itseisarvo on $$|e^z| = e^x$$ ja argumentti $$\arg e^z = y$$, missä $$x = \re z$$ ja $$y = \im z$$. Mikäli $$z$$ on puhtaasti reaalinen, $$e^{z} = e^{x}(\cos 0 + \iu \sin 0) = e^x$$, eli kompleksinen eksponenttifunktio saa saman arvon kuin tuttu reaalinen versio. Myös tutut laskusäännöt ovat voimassa kompleksiselle eksponenttifunktiolle.

Lause 7.2.25

Jos $$z_1, z_2, z \in \C$$, niin $$e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$$ ja $$e^{-z}=\dfrac{1}{e^z}$$.

Piilota/näytä todistus

Merkitään $$z_1=x_1+\iu y_1$$ ja $$z_2=x_2+\iu y_2$$. Reaalisen eksponenttifunktion ja kompleksilukujen kertolaskun ominaisuuksia hyödyntäen voidaan kirjoittaa yhtälö

\begin{split}\begin{aligned} e^{z_1}e^{z_2}&=e^{x_1}(\cos y_1+\iu \sin y_1)e^{x_2}(\cos y_2+\iu \sin y_2)\\ &=e^{x_1+x_2}(\cos(y_1+y_2)+\iu \sin(y_1+y_2))\\ &=e^{(x_1+x_2)+\iu (y_1+y_2)} =e^{z_1+z_2}. \end{aligned}\end{split}

Jälkimmäisen väitteen todistuksessa käytetään hyväksi jo todistettua ensimmäistä väitettä. Koska

$e^z e^{-z}=e^{z-z}=e^0=1,$

niin jakamalla puolittain luvulla $$e^z$$ saadaan

$e^{-z}=\frac{1}{e^z}.$

Jos eksponenttifunktion muuttuja $$z = x + \iu y$$ saa puhtaasti imaginaarisen arvon, eli $$x = 0$$, saadaan erityisen tärkeä Eulerin kaava

(5)$e^{\iu y}=\cos y+\iu \sin y.$

Yhtälö muistuttaa huomattavasti kompleksiluvun napakoordinaattiesitystä, ja sille saadaankin Eulerin kaavan avulla lyhyt merkintä

(6)$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{\iu \theta}.$

Muotoa $$z=re^{\iu \theta}$$ kutsutaan napakoordinaattiesityksen eksponenttimuodoksi. Sen avulla esitettynä kerto- ja jakolasku, komplementointi ja Moivren kaava voidaan kirjoittaa muodoissa

1. $$z_1z_2=r_1e^{\iu \theta_1}r_2e^{\iu \theta_2}=r_1r_2e^{\iu (\theta_1+\theta_2)}$$,
2. $$\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{r_1e^{\iu \theta_1}}{r_2e^{\iu \theta_2}}=\dfrac{r_1}{r_2}e^{\iu (\theta_1-\theta_2)}$$,
3. $$\overline{z}=\overline{re^{\iu \theta}}=re^{-\iu \theta}$$,
4. $$z^n=\big(re^{\iu \theta}\big)^n=r^ne^{\iu n\theta}$$.

Näistä 1 ja 2 seuraavat suoraan aiemmasta lauseesta ja 4 on vain Moivren kaavan napakoordinaattiesitys kirjoitettuna eksponenttifunktion avulla. Kohta 3 seuraa siitä, että $$\cos(-\theta) = \cos\theta$$ ja $$\sin(-\theta) = -\sin\theta$$ kaikilla argumentin $$\theta$$ arvoilla.

(7)\begin{split}\begin{aligned} \overline{re^{i\theta}} &=\overline{r(\cos\theta+\iu \sin\theta)}\\ &=r(\cos\theta-\iu \sin\theta)\\ &=r(\cos(-\theta)+\iu \sin(-\theta))\\ &=re^{-\iu \theta} \end{aligned}\end{split}

Korostetaan vielä, että $$|re^{\iu \theta}|=r$$ ja $$\arg(re^{\iu \theta})=\theta$$, eli luvulla $$re^{\iu \theta}$$ kertominen tarkoittaa geometrisesti pituuden kertomista luvulla $$r$$ ja kiertoa kulman $$\theta$$ verran.

Esimerkki 7.2.26

Olkoon $$z=\sqrt3-\iu$$ ja $$w=2+2\iu$$. Muunna $$z$$ ja $$w$$ napakoordinaattimuotoon $$re^{\iu \theta}$$ ja laske $$zw$$ ja $$z/w$$.

Piilota/näytä ratkaisu

Jälleen on etsittävä lukujen $$z$$ ja $$w$$ itseisarvot ja argumentit.

$|z| = \sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2 + (-1)^2} = 2\qquad\text{ja}\qquad |w| = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$

Luku $$z$$ sijoittuu neljänteen neljännekseen, joten $$\arg z = \arctan\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6}$$, missä kulman tarkka arvo voidaan lukea muistikolmiosta. Vastaavasti, koska $$w$$ on ensimmäisessä neljänneksessä, $$\arg w = \arctan\left(\frac{2}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$$. Täten $$z = 2e^{-\iu \frac{\pi}{6}}$$ ja $$w = 2\sqrt{2}e^{\iu \frac{\pi}{4}}$$, sekä

\begin{split}\begin{aligned} zw&=2\cdot2\sqrt2e^{\iu (-\pi/6+\pi/4)}=4\sqrt2e^{\iu \pi/12}\\ \frac{z}{w}&=\frac{2e^{-\iu \pi/6}}{2\sqrt2e^{\iu \pi/4}} =\frac{1}{\sqrt2}e^{\iu (-\pi/6-\pi/4)}=\frac{1}{\sqrt2}e^{-\iu 5\pi/12}. \end{aligned}\end{split}

Esimerkki 7.2.27

Olkoon $$z=2-2\iu$$ ja $$w=-5$$. Esitä $$z$$ ja $$w$$ muodossa $$re^{\iu \theta}$$ ja laske $$zw$$, $$w/z$$, $$\overline{z}$$ ja $$z^5$$.

Piilota/näytä ratkaisu

Edellistä esimerkkiä mukaillen nähdään, että $$z=2\sqrt2e^{-i\pi/4}$$. Lisäksi erityistapauksena Eulerin kaavasta $$-1 = e^{\iu \pi}$$, jolloin $$w=5e^{\iu \pi}$$. Täten

\begin{split}\begin{aligned} zw&=2\sqrt2 \cdot 5 e^{(-\pi/4+\pi)\iu }=10\sqrt2e^{\iu 3\pi/4}\\ \frac{w}{z}&=\frac{5}{2\sqrt2}e^{(\pi-(-\pi/4))\iu } =\frac{5\sqrt{2}}{4}e^{\iu 5\pi/4}\\ \overline{z}&=2\sqrt2e^{\iu \pi/4}\\ z^5&=\left(2\sqrt2\right)^5e^{-\iu 5\pi/4} =128\sqrt2e^{\iu 3\pi/4} \end{aligned}\end{split}

Tässä viimeisessä kohdassa kulma $$-5\pi/4$$ ei sisälly kumpaankaan väleistä $$[-\pi,\pi]$$ tai $$[0,2\pi]$$, joten luvun $$z^5$$ argumentti on syytä palauttaa muotoon $$\arg z^5 = -\frac{5\pi}{4}+2\pi=\frac{3\pi}{4}$$.

Huomautus 7.2.28

Tekniikassa napakoordinaattimuodolle käytetään myös merkintää

$z=re^{\iu \theta}=r\angle\theta,$

eli esimerkiksi

$3e^{\iu \frac{\pi}{4}}=3\angle\frac{\pi}{4}.$

Esimerkki 7.2.29

Eulerin kaavasta saadaan tekniikassa usein käytetyt yhteydet trigonometristen funktioiden ja eksponenttifunktion välille. Laskemalla kaavat

\begin{split}\begin{aligned} e^{\iu \theta}&=\cos\theta+\iu \sin\theta\\ e^{-\iu \theta}&=\cos\theta-\iu \sin\theta \end{aligned}\end{split}

puolittain yhteen ja vähentämällä ne puolittain saadaan kosinin ja sinin muunnoskaavat

\begin{split}\begin{aligned} \cos\theta&=\frac{e^{\iu \theta}+e^{-\iu \theta}}{2},\\ \sin\theta&=\frac{e^{\iu \theta}-e^{-\iu \theta}}{2i}. \end{aligned}\end{split}

Esimerkki 7.2.30

Moivren kaavan mukaan

$\left(\cos\theta+\iu \sin\theta\right)^2=\cos(2\theta)+\iu \sin(2\theta).$

$\left(\cos\theta+\iu \sin\theta\right)^2=\cos^2\theta - \sin^2\theta + 2\iu \sin\theta\cos\theta.$

Vertaamalla yhtälöiden oikeiden puolten reaali- ja imaginaariosia saadaan trigonometriset kaksoiskulmakaavat

$\cos(2\theta)=\cos^2\theta-\sin^2\theta \qquad\text{ja}\qquad \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta.$

Myös muita trigonometrisiä identiteettejä voidaan todistaa vastaavasti.

Esitä luku $$z=\iu$$ eksponenttimuodossa.

Moduli $$\abs{\iu}$$ on
Argumentti $$\arg(i)$$ on

Ajattele seuraavaksi lukua $$\iu$$ ja kompleksilukua $$a$$ eksponenttimuodossa. Miten kertolaskusäännön mukaan lukua $$a$$ operoidaan kertolaskussa $$\iu a$$?

Tulon $$\iu a$$ moduli on luvun $$a$$ moduliin verrattuna
Tulon $$\iu a$$ vaihekulma on luvun $$a$$ vaihekulmaan graafisesti verrattuna

Kompleksiluvun juuret¶

Määritelmä 7.2.31

Olkoon $$n$$ luonnollinen luku. Kompleksiluvun $$z \not= 0$$ $$n$$:s juuri (root) on mikä tahansa kompleksiluku $$w$$, joka toteuttaa yhtälön

$w^n=z.$

Reaaliluvun $$y$$ reaalijuuria tarkasteltaessa voidaan tunnistaa seuraavat, kuvan avulla helposti muistettavat tapaukset.

• Jos $$n$$ on pariton, on täsmälleen yksi reaalinen juuri $$\sqrt[n]{y}$$.
• Jos $$n$$ on parillinen ja $$y < 0$$, ei ole reaalisia juuria.
• Jos $$n$$ on parillinen ja $$y>0$$, on täsmälleen kaksi reaalista juurta $$-\sqrt[n]{y}$$ ja $$\sqrt[n]{y}$$.

Esimerkki 7.2.32

1. Luvun $$-1$$ eräät toiset juuret ovat $$\iu$$ ja $$-\iu$$, sillä

$\iu^2=-1\qquad\text{ja}\qquad (-\iu)^2=\iu^2=-1.$

Löydätkö muita kompleksilukuja, joiden neliö on $$-1$$?

2. Luvun $$-8 = 8e^{\iu \pi}$$ eräs kolmas juuri on $$2e^{\iu \pi/3}$$, sillä

$\left(2e^{\iu \pi/3}\right)^3=2^3e^{\iu (\pi/3)\cdot 3}=8e^{\iu \pi}=-8.$

Mitkä muut luvut voisivat olla reaaliluvun $$-8$$ kolmansia juuria? Ovatko ne kaikki kompleksisia?

Jos tarkastellaan vain reaalilukuja, mahdollinen juurten lukumäärä vaihtelee nollasta kahteen. Kompleksilukujen mukaan ottaminen ikäänkuin täydentää juurten etsimisen teorian, sillä tällöin jokaisella luvulla on täsmälleen $$n$$ kappaletta $$n$$:siä juuria.

Lause 7.2.33

Kompleksiluvulla $$z=re^{\iu\theta}\ne0$$ on täsmälleen $$n$$ erisuurta $$n$$:ttä juurta, jotka sijaitsevat $$\sqrt[n]{r}$$-säteisellä origokeskisellä ympyrällä tasaisesti kulman $$\frac{2\pi}{n}$$ välein.

Piilota/näytä todistus

Oletetaan, että kompleksiluku $$se^{\iu\varphi}$$ on luvun $$z$$ $$n$$:s juuri, jolloin on siis oltava $$s^ne^{\iu n\varphi} = z = re^{\iu \theta}$$. Jotta kaksi kompleksilukua voisivat olla yhtä suuria, niiden itseisarvojen on oltava samat. Tästä päätellään, että $$s^n = r$$. Tässä $$r > 0$$ on reaaliluku, joten reaalinen $$n$$:s juuri on olemassa. Lisäksi luvun $$s$$ on oltava myös positiivinen, sillä se on kompleksiluvun itseisarvo. Siis $$s = \sqrt[n]{r}$$.

Myös molempien lukujen eksponenttiosien on oltava yhtä suuret, eli $$e^{\iu n\varphi} = e^{\iu \theta}$$. Tämä ehto toteutuu varmasti, jos $$n\varphi = \theta$$. Muistetaan kuitenkin, että kompleksiluvun argumentti ei ole yksikäsitteinen, vaan sitä voidaan aina kasvattaa tai vähentää luvun $$2\pi$$ verran aiheuttamatta muutoksia. Tämän vuoksi siis yleisesti $$n\varphi = \theta + 2\pi k$$, missä $$k$$ on kokonaisluku. Argumentti saadaan ratkaistua jakamalla luvulla $$n$$, jolloin siis luvun $$z = re^{\iu \theta}$$ $$n$$:net juuret ovat muotoa

$w_k = \sqrt[n]{r}e^{\iu (\theta + 2\pi k)/n},$

missä $$k$$ on kokonaisluku. Koska kaikkien juurten itseisarvo on $$\sqrt[n]{r}$$, ne kaikki sijaitsevat $$\sqrt[n]{r}$$-säteisellä origokeskisellä ympyrällä. Jokainen parametrin $$k$$ valinta ei tuota erillistä juurta, sillä

$w_{k + n} = \sqrt[n]{r}e^{\iu (\theta + 2\pi(k + n))/n} = \sqrt[n]{r}e^{\iu (\theta + 2\pi k)/n + \iu 2\pi} = \sqrt[n]{r}e^{\iu (\theta + 2\pi k)/n} = w_k.$

Yhteensä $$n$$ eri juurta saadaan siis tuotettua valitsemalla luvuksi $$k$$ esimerkiksi kokonaisluvut $$0, 1, 2, \ldots, n - 1$$. Peräkkäisten juurten vaihe-ero on

$\frac{\theta + 2\pi(k + 1)}{n} - \frac{\theta + 2\pi k}{n} = \frac{2\pi}{n},$

kuten väitettiinkin.

Huomautus 7.2.34

Kompleksiluvun $$z$$ $$n$$:ttä juurta merkitään joskus $$z^{1/n}$$ tai $$\sqrt[n]{z}$$. Näiden merkintöjen kanssa on kuitenkin oltava varovainen, sillä juuria on $$n$$ kappaletta. Erityisesti tällä merkintätavalla $$\sqrt{-1}=\iu$$ ja $$\sqrt{-1}=-\iu$$, mutta silti $$\iu \not= -\iu$$!

Käytännössä kompleksiluvun $$re^{\iu \theta}$$ juuret voi etsiä suoraan edellä esitetyn kaavan avulla, kun parametrin $$k$$ arvoa vaihtelee sopivasti. Toinen helppo keino hakea yksi juuri kirjoittamalla suoraan

$w_0 = \sqrt[n]{r}e^{\iu \theta/n}$

ja muistaa, että loput juuret löytyvät kasvattamalla tämän argumenttia $$\frac{2\pi}{n}$$ kerrallaan. Olennaisinta on kuitenkin, että kompleksiluvun juuret on ylivoimaisesti helpoin löytää eksponenttimuodon avulla! Kuvan piirtäminen selventää useissa tapauksissa ratkaisua.

Esimerkki 7.2.35

Etsi

1. luvun $$1$$ neljännet juuret, eli neljännet yksikönjuuret,
2. luvun $$1 + \iu$$ kolmannet juuret.
Piilota/näytä ratkaisu
1. Kirjoitetaan $$1 = 1e^{\iu \cdot 0}$$, jolloin sen erilliset neljännet juuret ovat

$w_k = \sqrt[4]{1}e^{\iu (0 + 2\pi k)/4} = e^{\iu \frac{\pi}{2}k}, \qquad \text{kun } k = 0, 1, 2, 3.$

Juuret ovat siis $$w_0 = e^{\iu \cdot 0} = 1$$, $$w_1 = e^{\iu \frac{\pi }{2}} = \iu$$, $$w_2 = e^{\iu \pi} = -1$$ ja $$w_3 = e^{\iu \frac{3\pi}{2}} = -\iu$$. Toinen tapa olisi havaita, että $$w_0 = \sqrt[4]{1}e^{\iu \cdot 0} = 1$$ on eräs juuri, jonka jälkeen loput juuret löytyvät kulman $$\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$ välein, eli $$w_1 = \iu$$, $$w_2 = -1$$ ja $$w_3 = -\iu$$. Alla oleva kuva havainnollistaa ratkaisua.

2. Kirjoitetaan $$1 + \iu = \sqrt{2}e^{\iu \frac{\pi}{4}}$$, jolloin sen erilliset kolmannet juuret ovat

$w_k = \sqrt[3]{\sqrt{2}}e^{i\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi k\right)/3} = \sqrt[6]{2}e^{\iu \left(\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3}k\right)}, \qquad \text{kun } k = 0, 1, 2.$

Juuret ovat siis $$w_0 = \sqrt[6]{2}e^{\iu \frac{\pi}{12}}$$, $$w_1 = \sqrt[6]{2}e^{\iu \frac{3\pi}{4}}$$ ja $$w_2 = \sqrt[6]{2}e^{\iu \frac{17\pi}{12}} = \sqrt[6]{2}e^{-\iu \frac{7\pi}{12}}$$. Alla oleva kuva havainnollistaa ratkaisua.

Oletetaan, että $$z$$ on mikä tahansa kompleksiluku. Tiedät, että sen $$n$$:nnet juuret (vektoreiksi piirrettyinä) jakavat origokeskisen ympyrän $$n$$:ään yhtäsuureen osaan. Mitkä ovat seuraavien väitteiden totuusarvot?

Jos yksi $$n$$:nsistä juurista on $$w$$, on $$\bar{w}$$ aina $$n$$:s juuri.
Jos yksi $$n$$:nsistä juurista on $$w$$, ei $$\bar{w}$$ ole koskaan $$n$$:s juuri.
Jos $$n$$ on parillinen ja $$w$$ on $$n$$:s juuri, ei $$-w$$ voi olla $$n$$:s juuri.
Jos $$n$$ on pariton ja $$w$$ on $$n$$:s juuri, myös $$-w$$ on $$n$$:s juuri.
Vaikka $$z^{1/n}$$ ei olekaan yksikäsitteinen merkintä, vaan tarkoittaa useampaa kuin yhtä lukua, on sen modulille merkintä $$|z|^{1/n}$$ yksikäsitteinen.

Kompleksinen polynomi¶

Kompleksikertoiminen polynomi määritellään kuten vastaava reaalikertoiminen polynomi: astetta $$n$$ oleva polynomi (polynomial) $$p$$ on muuttujan $$x$$ lauseke

$p=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0,$

missä kertoimet (coefficients) $$a_0,a_1,\ldots,a_n$$ ovat kompleksisia vakioita ja korkeimman asteen termin kerroin $$a_n\ne0$$.

Merkinnällä $$p(z)$$, missä $$z$$ on kompleksiluku, tarkoitetaan polynomin $$p$$ arvoa (value) pisteessä $$z$$, ja se voidaan selvittää kirjoittamalla muuttujan $$x$$ paikalle luku $$z$$ ja sieventämällä syntyvä lauseke. Jos halutaan selventää, minkä muuttujan polynomista on kyse, voidaan merkitä $$p = p(x)$$.

Esimerkki 7.2.36

1. Polynomin $$p=7x^5-\iu x^2+3x+1+\iu$$ aste $$\deg p = 5$$ ja sen arvo pisteessä $$\iu$$ on $$p(\iu)=7\iu^5-\iu^3+3\iu+1+\iu=1+12\iu$$.
2. Toisen ja kolmannen asteen polynomien $$x^2+1$$ ja $$3x^3-2x+1$$ tulo on viidennen asteen polynomi $$(x^2+1)(3x^3-2x+1)=3x^5+x^3+x^2-2x+1$$.

Lause 7.2.37 (Algebran peruslause)

Jokaisella vähintään ensimmäistä astetta olevalla polynomilla on ainakin yksi nollakohta kompleksitasossa.

Piilota/näytä todistus
Sivuutetaan tässä. Tälle lauseelle on olemassa monta eri todistusta, joista jokainen vaatii työkaluikseen hieman kompleksimuuttujan funktioiden teoriaa. Eräs helppolukuisemmista todistuksista on julkaistu Matematiikkalehti Solmussa.

Määritelmä 7.2.38

Olkoon $$p$$ polynomi ja $$k$$ luonnollinen luku. Jos $$p=(x-z)^kq$$, missä $$q\ne0$$ on polynomi, niin kompleksiluku $$z$$ on polynomin $$p$$ $$k$$-kertainen nollakohta.

Esimerkki 7.2.39

Polynomilla

$p=x^3-4x^2-3x+18=(x+2)(x-3)^2=(x+2)(x-3)(x-3)$

on yksinkertainen nollakohta $$-2$$ ja kaksinkertainen nollakohta $$3$$. Monikerrat huomioiden voidaan sanoa myös, että polynomin $$p$$ nollakohdat ovat $$-2$$, $$3$$ ja $$3$$.

Algebran peruslauseesta, eli vähintään yhden nollakohdan olemassaolosta seuraa myös $$n$$:n nollakohdan olemassaolo.

Lause 7.2.40

Polynomilla $$p=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$$, jonka aste $$\deg p = n$$, on monikerrat huomioiden täsmälleen $$n$$ kompleksista nollakohtaa. Jos nollakohdat ovat $$z_1, \ldots, z_n$$, niin polynomi $$p$$ voidaan esittää muodossa

$p=a_n(x-z_1)(x-z_2)\cdots(x-z_n).$
Piilota/näytä todistus

Algebran peruslauseen mukaan polynomilla $$p$$ on vähintään yksi nollakohta. Merkitään täksi nollakohdaksi $$z_1$$, jolloin binomi $$x - z_1$$ jakaa polynomin $$p$$, eli

$p=(x-z_1)q_{1},$

missä polynomin $$q_{1}$$ aste on $$n-1$$. Algebran peruslauseen mukaan polynomilla $$q_{1}$$ on kompleksinen nollakohta $$z_2$$, joten $$q_1 = (x - z_2)q_2$$ ja

$p=(x-z_1)(x-z_2)q_{2}(x),$

missä polynomin $$q_{2}$$ aste on $$n-2$$. Menettelyä voidaan jatkaa kunnes viimeisenä saadun osamäärän $$q_n$$ aste on nolla. Samalla on tuotettu täsmälleen $$n$$ nollakohtaa polynomille $$p$$. Tällöin $$q_n$$ on vakiopolynomi $$c$$ ja polynomi $$p$$ voidaan kirjoittaa tulona

$p=(x-z_1)(x-z_2)\cdots(x-z_n)q_n = c(x-z_1)(x-z_2)\cdots(x-z_n).$

Jos nyt tämä tulo lasketaan, tuloksena syntyvän polynomin $$n$$. asteen termiksi saadaan $$cx^n$$. Sen on kuitenkin oltava sama kuin polynomin $$p$$ korkeimman asteen termi $$a_nx^n$$, eli $$c=a_n$$ ja väitteen viimeinen osa on todistettu.

Matala-asteisten polynomien tapauksessa voidaan löytää yleisiä ratkaisukaavoja, joissa nollakohdat määräytyvät suoraan polynomin kertoimista.

Lause 7.2.41

Toisen asteen polynomiyhtälön $$ax^2 + bx + c = 0$$ juuret ovat

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},$

missä $$\sqrt{b^2 - 4ac}$$ tarkoittaa kompleksiluvun $$b^2 - 4ac$$ toista juurta.

Piilota/näytä todistus

Jotta yhtälö todella olisi toista astetta, oletetaan että $$a \not= 0$$. Tällöin yhtälön vasen puoli voidaan täydentää neliöksi seuraavalla tavalla.

\begin{split}\begin{aligned} && ax^2+bx+c&=0\\ \Leftrightarrow&& 4a^2x^2+4abx+4ac&=0\\ \Leftrightarrow&& (2ax)^2+2(2a)(b)x+b^2&=b^2-4ac\\ \Leftrightarrow&& (2ax+b)^2&=b^2-4ac \end{aligned}\end{split}

Kompleksiluvulla $$\Delta = b^2 - 4ac$$ on napakoordinaattiesitys $$\Delta = |\Delta|e^{\iu \theta}$$, missä $$\theta = \arg\Delta$$. Täten sen toiset juuret ovat

$w_0 = \sqrt{|\Delta|}e^{\iu \theta/2}\qquad\text{ja}\qquad w_1 = \sqrt{|\Delta|}e^{\iu \theta/2 + \iu \frac{2\pi}{2}} = w_0e^{\iu \pi}.$

Tässä kuitenkin $$e^{\iu \pi} = -1$$, joten $$w_1 = -w_0$$. Merkitään esimerkiksi juurta $$w_0 = \sqrt{b^2 - 4ac}$$, jolloin yhtälön ratkaisut voidaan esittää muodossa

$2ax + b = \sqrt{b^2 - 4ac} \qquad\text{tai}\qquad 2ax + b = -\sqrt{b^2 - 4ac}.$

Näiden lineaaristen yhtälöiden ratkaisut voidaan kirjoittaa lyhyesti muodossa

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\qedhere$

Huomautus 7.2.42

Reaalisten kertoimien tapauksessa yhtälöllä $$ax^2 + bx + c = 0$$ on reaaliset ratkaisut vain, jos $$\Delta = b^2 - 4ac \geq 0$$. Tällöin ei myöskään tarvitse tehdä eroa luvun $$\Delta$$ toisen juuren ja neliöjuuren välille. Tapauksessa $$\Delta < 0$$ ratkaisukaavan käyttämiseksi on etsittävä negatiivisen reaaliluvun toiset juuret. Napakoordinaateissa $$\Delta = |\Delta|e^{\iu \pi}$$, joten luvun $$\Delta$$ toiset juuret ovat $$w_0 = \sqrt{|\Delta|}e^{\iu \frac{\pi}{2}} = \iu \sqrt{|\Delta|}$$ ja $$w_1 = -\iu \sqrt{|\Delta|}$$. Merkitsemällä

$\sqrt{b^2 - 4ac} = w_0 = \iu \sqrt{|\Delta|} = \iu \sqrt{4ac - b^2}$

nähdään, että ratkaisut ovat

$x = \frac{-b \pm \iu \sqrt{4ac - b^2}}{2a}.$

Esimerkki 7.2.43

Ratkaise yhtälö

1. $$2x^2 + 4x - 3 = 0$$,
2. $$4x^2 - 4x + 3 = 0$$,
3. $$x^2 + 2\iu x - \iu \sqrt{3} = 0$$.
Piilota/näytä ratkaisu
1. Ratkaisukaavalla $$x = \dfrac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = -1 \pm \dfrac{\sqrt{10}}{2}$$.

2. Ratkaisukaavalla

$x = \dfrac{4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3}}{2 \cdot 4} = \dfrac{4 \pm \sqrt{-32}}{8} = \dfrac{4 \pm \iu \sqrt{32}}{8} = \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}\iu .$

Jos ratkaisukaavan juuren alle jäävä luku on negatiivinen, voidaan käyttää muistisääntöä $$\sqrt{-1} = \pm \iu$$ kompleksisten ratkaisujen esittämiseksi.

3. Ratkaisukaavalla

$x = \frac{-2\iu \pm \sqrt{(2\iu )^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-\iu \sqrt{3})}}{2 \cdot 1} = -\iu \pm \sqrt{-1 + \iu \sqrt{3}}.$

Tässä $$\sqrt{-1 + \iu \sqrt{3}}$$ tarkoittaa luvun $$-1 + \iu \sqrt{3} = 2e^{\iu \frac{2\pi}{3}}$$ toista juurta, jolloin voidaan valita esimerkiksi

$\sqrt{-1 + \iu \sqrt{3}} = \sqrt{2}e^{\iu \frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}\iu .$

Täten yhtälön ratkaisut ovat

$x = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6} - 2}{2}\iu \qquad\text{ja}\qquad x = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6} + 2}{2}\iu .\qedhere$

Muistellaan vielä paria asiaa toisen asteen polynomin nollakohtien selvittämisestä. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa oleva diskriminantti $$\Delta=b^2-4ac$$ kertoo, kuinka monta ratkaisua yhtälöstä saadaan.

Ratkaistaan yhtälöä $$2x^2+8x+8=0$$. Mikä on tässä tapauksessa diskriminantti?
Siis polynomilla $$2x^2+8x+8$$ on
Itse asiassa yhtälön $$2x^2+8x+8=0$$ kaltaisten yhtälöiden tapauksessa voi laskuprosessia helpottaa tietyllä tavalla ennen toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan käyttöä ilman teknisiä apuvälineitä. Millä tavalla?

Myös kolmannen ja neljännen asteen polynomien nollakohdille on olemassa yleiset algebralliset ratkaisukaavat. Näissä tapauksissa juurten hakeminen tapahtuu kuitenkin jo useassa vaiheessa, ja mainittujen ratkaisukaavojen monimutkaisuuden vuoksi niitä ei kuitenkaan juuri käytetä. Kuuluisa Abel-Ruffinin lause toteaa lisäksi, että viidennen ja sitä korkeamman asteen polynomiyhtälöille ei ole olemassa yleistä ratkaisukaavaa. Kuitenkin meillä on olemassa numeerisia menetelmiä nollakohtien löytämiseen korkeamman asteen polynomiyhtälöille.

Polynomin tekijöihinjako tarjoaa eräänlaisen juurtenhakualgoritmin. Ensin etsitään yksi juuri arvaamalla ja kokeilemalla, jonka jälkeen tehdään jakolasku vastaavalla binomilla. Tuloksena on matalampiasteinen polynomi, jolle prosessi voidaan toistaa. Algoritmi jatkuu, kunnes tekijäksi saadaan toisen asteen polynomi, ja sen juuret haetaan lopuksi ratkaisukaavalla. Käsin laskettaessa menetelmä ei käytännössä ole käyttökelpoinen, jos ei ole tehokasta keinoa arvata uutta juurta. Tietokoneella voidaan arvauksen sijaan arvioida seuraavaa juurta numeerisesti, ja monet laskennalliset polynomin juurtenhakualgoritmit perustuvatkin tähän yksinkertaiseen runkoon.

Esimerkki 7.2.44

Hae polynomien $$p = x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x - \frac{3}{2}$$ ja $$q = x^3 - 6x^2 + 21x - 26$$ nollakohdat ja jaa ne tekijöihin.

Piilota/näytä ratkaisu

Polynomin $$p$$ tapauksessa havaitaan, että

$p(-1) = (-1)^3 + \frac{1}{2} \cdot (-1)^2 - 2 \cdot (-1) - \frac{3}{2} = 0,$

eli $$-1$$ on eräs sen nollakohdista. Binomi $$x + 1$$ siis jakaa polynomin $$p$$, ja jakolaskun tuloksena

$p = (x + 1)\left(x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}\right).$

Toisen asteen tekijän nollakohdat ovat

$x = \frac{\frac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 5}{4},$

eli $$\frac{3}{2}$$ ja $$-1$$, jolloin

$p = (x + 1)\left(x - \frac{3}{2}\right)(x + 1) = (x + 1)^2\left(x - \frac{3}{2}\right).$

Polynomille $$q$$ puolestaan

$q(2) = 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 21 \cdot 2 - 26 = 0,$

eli $$2$$ on eräs sen nollakohdista. Täten laskemalla osamäärä jakokulmassa havaitaan, että

$q = (x - 2)(x^2 - 4x + 13).$

Toisen asteen tekijän nollakohdat ovat

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1} = 2 \pm 3\iu ,$

joten

$q = (x - 2)(x - (2 + 3\iu ))(x - (2 - 3\iu )).\qedhere$

Reaalikertoimisten polynomien kompleksiset nollakohdat löytyvät aina liittolukupareina.

Lause 7.2.45

Jos kompleksiluku $$z$$ on reaalikertoimisen polynomin $$p$$ nollakohta, niin myös $$\overline{z}$$ on saman polynomin nollakohta.

Piilota/näytä todistus

Merkitään $$p = a_nx^n + \cdots + a_1x + a_0$$, missä kaikki kertoimet ovat reaalisia. Tämän vuoksi $$\overline{a_i} = a_i$$ jokaisella $$i = 0, 1, \ldots, n$$. Jos nyt $$p(z) = 0$$, niin liittoluvun ominaisuuksien nojalla

\begin{split}\begin{aligned} p(\overline{z})&=a_n\overline{z}^n+\cdots+a_1\overline{z}+a_0\\ &=\overline{a_n}\cdot\overline{z^n}+\cdots+\overline{a_1}\cdot\overline{z}+\overline{a_0}\\ &=\overline{a_nz^n}+\cdots+\overline{a_1z}+\overline{a_0}\\ &=\overline{a_nz^n+\cdots+a_1z+a_0}\\ &=\overline{p(z)}=\overline{0}=0 \end{aligned}\end{split}

ja täten $$\overline{z}$$ on myös juuri.

Huomautus 7.2.46

Edellinen tulos on voimassa ainoastaan reaalikertoimisille polynomeille! Lisäksi reaalisen juuren $$z$$ tapauksessa liittoluku $$\overline{z} = z$$ on sama, eikä samaan pisteeseen syntyvä moninkertainen juuri.

Lause 7.2.47

Reaalikertoiminen polynomi $$p=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$$ voidaan jakaa ensimmäisen ja toisen asteen reaalikertoimisiin tekijöihin seuraavasti:

$p=a_n(x-x_1)^{m_1}\cdots(x-x_k)^{m_k}(x^2+b_1x+c_1)^{n_1}\cdots(x^2+b_lx+c_l)^{n_l},$

missä $$x_1,\ldots,x_k$$ ovat polynomin $$p$$ erilliset reaaliset nollakohdat, $$m_1,\ldots,m_k$$ niiden kertaluvut, ja polynomeilla $$x^2+b_i x+c_i$$, $$i = 1, \ldots, l$$ ei ole reaalisia nollakohtia.

Piilota/näytä todistus

Olkoot $$x_1, \ldots, x_k$$ polynomin $$p$$ erilliset reaaliset ja $$z_1, \overline{z}_1, \ldots, z_l, \overline{z}_l$$ sen erilliset imaginaariset nollakohdat. Olkoot lisäksi $$m_1, \ldots, m_k$$ ja $$n_1, \ldots, n_l$$ niiden kertaluvut samassa järjestyksessä, jolloin tekijöihinjaon vuoksi

\begin{split}\begin{aligned} p&=a_n(x-x_1)^{m_1}\cdots(x-x_k)^{m_k}\cdot(x-z_1)^{n_1}(x-\overline{z}_1)^{n_1}\cdots(x-z_l)^{n_l}(x-\overline{z}_l)^{n_l}\\ &=a_n(x-x_1)^{m_1}\cdots(x-x_k)^{m_k}\cdot((x-z_1)(x-\overline{z}_1))^{n_1}\cdots((x-z_l)(x-\overline{z}_l))^{n_l}. \end{aligned}\end{split}

Reaalijuuria koskeva osuus on täten jo todistettu, ja loput väitteestä seuraa siitä, että jokaista $$i = 1, \ldots, l$$ kohti tulo

\begin{aligned} (x-z_i)(x-\overline{z}_i)=x^2-(z_i+\overline{z}_i)x+z_i\overline{z}_i =x^2-(2\re z_i)x+|z_i|^2 \end{aligned}

on toisen asteen polynomi, jonka kertoimet $$b_i=-2\re z_i$$ ja $$c_i=|z_i|^2$$ ovat reaalisia.

Korkea-asteisen polynomin nollakohtia voidaan joskus yrittää arvata seuraavanlaisella menetelmällä.

Oletetaan, että polynomin $$p(x) = a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + \cdots + a_1x + a_0$$ kaikki kertoimet ovat kokonaislukuja. Jotta rationaaliluku $$\frac{a}{b}$$ voisi olla polynomin $$p(x)$$ nollakohta, kertoimen $$a_0$$ on oltava jaollinen osoittajalla $$a$$, ja kertoimen $$a_n$$ on oltava jaollinen nimittäjällä $$b$$. (Todistus sivuutetaan.)

Mille seuraavista polynomeista voidaan yrittää arvata rationaalisia nollakohtia edellisen tiedon avulla?

Yritetään sitten arvata systemaattisesti polynomin $$6x^4 + 5x^3 - 13x^2 - 10x + 2$$ rationaalisia nollakohtia.

Mitkä ovat polynomin vakiotermin kokonaislukutekijät?
Entä mitkä ovat polynomin korkeimman asteen termin kertoimen kokonaislukutekijät?
Mitkä seuraavista ovat polynomin $$6x^4 + 5x^3 - 13x^2 - 10x + 2$$ mahdollisia nollakohtia?
Kuinka monta nollakohtakandidaattia kertoimien tekijöiden osamäärinä saadaan yhteensä tälle polynomille?
Kaikista nollakohtakandidaateista yhteensä kaksi kappaletta ovat oikeasti polynomin $$6x^4 + 5x^3 - 13x^2 - 10x + 2$$ nollakohtia. Mitkä ne ovat?

Sovellus: vaihtovirtapiirien mallintaminen¶

Vaihtovirtapiirissä kulkee ajasta $$t$$ riippuva virta

$I(t) = I_0\sin(\omega t),$

missä $$I_0$$ on virran maksimiarvo eli amplitudi ja $$\omega$$ värähtelyn kulmanopeus. Piirin jännite riippuu sen resistanssista $$R$$ (vastus), kapasitanssista $$C$$ (kondensaattori) ja induktanssista $$L$$ (käämi). Oletetaan ensin, että piirissä on vain yksi näistä komponenteista, jolloin sähkömagnetismin lakien avulla jännitteeksi voidaan johtaa

\begin{split}\begin{aligned} V_R(t)&=RI_0\sin(\omega t) && \text{vastukselle,}\\ V_C(t)&=\frac{I_0}{\omega C}\sin\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right) && \text{kondensaattorille,}\\ V_L(t)&=\omega LI_0\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right) && \text{käämille.} \end{aligned}\end{split}

Jokaisessa tapauksessa sinifunktio toimii lausekkeelle $$\omega t + \varphi$$, missä lukua $$\varphi$$ kutsutaan jännitteen vaihekulmaksi. Pelkän vastuksen aiheuttaman vaihtojännitteen sanotaan olevan samassa vaiheessa kuin virta, sillä niiden vaihekulmat ovat samat. Kondensaattori myöhäistää jännitteen värähtelyä verrattuna virtaan, ja tällöin vaihe-ero on $$-\frac{\pi}{2}$$. Vastaavasti käämi aikaistaa jännitettä suhteessa virtaan, eli vaihe-ero on $$\frac{\pi}{2}$$. Seuraavat kuvaajat havainnollistavat kutakin jännitettä suhteessa harmaalla piirrettyyn vaihtovirtaan.

Eulerin kaavan mukaan $$\sin(\omega t)$$ on myös kompleksiluvun $$e^{\iu\omega t}$$ imaginaariosa:

$\im\left(e^{\iu\omega t}\right)=\im(\cos(\omega t)+\iu\sin(\omega t))=\sin(\omega t).$

Eri komponenttien aiheuttamat jännitteetkin voidaan siis muotoilla samoin. Koska on voimassa $$e^{-\iu \frac{\pi}{2}}=-\iu$$ ja $$e^{\iu \frac{\pi}{2}}=\iu$$, niin

\begin{split}\begin{aligned} V_R(t)&=RI_0\im\left(e^{\iu \omega t}\right) = \im\left(RI_0e^{\iu \omega t}\right)\\ V_C(t)&=\frac{I_0}{\omega C}\im\left(e^{\iu (\omega t-\pi/2)}\right) =\im\left(\frac{I_0}{\omega C}e^{\iu \omega t}e^{-\iu \pi/2}\right) =\im\left(\left(\frac{-\iu }{\omega C}\right)I_0e^{\iu \omega t}\right)\\ V_L(t)&=\omega LI_0\im\left(e^{\iu (\omega t+\pi/2)}\right) =\im\left(\omega LI_0e^{\iu \omega t}e^{\iu \pi/2}\right) =\im\left((\iu \omega L)I_0e^{\iu \omega t}\right) \end{aligned}\end{split}

Määritellään resistiivinen, kapasitatiivinen ja induktiivinen impedanssi

$Z_R = R, \qquad Z_C = -\frac{\iu }{\omega C} \qquad\text{ja}\qquad Z_L = \iu \omega L,$

sekä kompleksinen impedanssi

$Z = Z_R + Z_C + Z_L = R + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)\iu .$

Tällöin kussakin edellisistä tapauksista jännite voidaan esitettää muodossa

$V_X(t)=\im\left(Z_XI_0e^{\iu \omega t}\right),$

missä $$X$$ viittaa tunnukseen $$R$$, $$C$$ tai $$L$$, ja kaikki komponentit sisältävässä RLC-piirissä kokonaisjännite on

$V(t)=V_R(t)+V_C(t)+V_L(t) =\im\left(ZIe^{\iu \omega t}\right).$

Koska piirin vastus $$R = \re Z > 0$$, kompleksiluku $$Z$$ sijaitsee imaginaariakselin oikealle puolelle jäävässä puolitasossa. Tällöin luvulla $$Z$$ on napakoordinaattiesitys $$Z = |Z|e^{\iu\varphi}$$, missä

$\varphi = \arg Z =\arctan\left(\frac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{R}\right) = \arctan\left(\frac{\omega^2 LC-1}{\omega RC}\right).$

Niinpä RLC-piirin kokonaisjännite on

$V(t)=\im\left(|Z|e^{\iu \varphi}I_0e^{\iu \omega t}\right) =|Z|I_0\im\left(e^{\iu (\omega t+\varphi)}\right) =|Z|I_0\sin(\omega t+\varphi).$

Jännitteen vaihekulma $$\varphi$$ on siis piirin kompleksisen impedanssin argumentti. Lisäksi skaalauskertoimena toimivaa itseisarvoa

$|Z|=\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}$

kutsutaan LCR-piirin impedanssiksi.

Palautusta lähetetään...