$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$

# Lukujono¶

Määritelmä 5.2.1

Jos jokaista luonnollista lukua $$n$$ vastaa reaaliluku $$a_n$$, niin päättymätöntä järjestettyä luetteloa

$(a_1,a_2,a_3,\ldots)=(a_n)_{n=1}^\infty$

kutsutaan lukujonoksi (sequence). Luvut $$a_n$$ ovat lukujonon termejä (term) tai alkioita. Indeksointi voidaan aloittaa mistä tahansa kokonaisluvusta.

Esimerkki 5.2.2

1. $$(2n)_{n=0}^\infty=(0,2,4,6,\ldots)$$
2. $$(2n-1)_{n=1}^\infty=(1,3,5,7,\ldots)$$
3. $$\big((-1)^n2^n\big)_{n=1}^\infty=(-2,4,-8,16,-32,\ldots)$$
4. $$\left(\dfrac{1}{3^n}\right)_{n=0}^\infty=\left(1,\dfrac13,\dfrac19,\dfrac{1}{27},\ldots\right)$$

Joskus lukujonon termeille ei anneta (tai ei voida antaa) edellisen esimerkin mukaista kaavaa.

Esimerkki 5.2.3

1. Kasvavaan järjestykseen asetetut alkuluvut muodostavat jonon

$(2,3,5,7,11,13,\ldots).$
2. Määrittely $$a_1=1$$ ja $$a_n=2a_{n-1}+3$$, kun $$n>1$$, tuottaa lukujonon

$(1,5,13,29,61,\ldots).$
3. Määrittely $$a_1=a_2=1$$ ja $$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$$, kun $$n>2$$, tuottaa niin sanotun Fibonaccin jonon

$(1,1,2,3,5,8,13,21,\ldots).$

Kohdissa 2 ja 3 on kyse rekursiivisesti (induktiivisesti) määritellystä lukujonosta, joka asetetaan määräämällä, kuinka kukin termi riippuu edellisestä tai edellisistä termeistä.

Lukujono $$(a_n)_{n=1}^\infty$$ voidaan samastaa funktion $$f : \N\to\R$$, $$f(n)=a_n$$, kanssa. Esimerkiksi lukujonoa

$\left(\frac{(-1)^n}{n}+1\right)_{n=1}^\infty$

vastaa funktio

$f : \N\to\R,\qquad f(n)=\frac{(-1)^n}{n}+1.$

Lukujonoa $$(a_n)$$ voidaan havainnollistaa geometrisesti piirtämällä sitä vastaavan funktion $$f(n)$$ kuvaaja.

Huomautus 5.2.4

Joskus lukujono esitellään listaamalla muutama ensimmäinen termi, esimerkiksi

$(1,2,3,\ldots).$

Esityksessä on ideana, että termeistä lukija pystyy näkemään ”säännön”, jonka mukaan jono jatkuu säännöllisesti. Edellä oleva jono jatkuu luonnollisesti

$(1,2,3,4,5,6,7,8,....)$

ja siis

$(1,2,3,\ldots)=(n)_{n=1}^\infty.$

Huomautus 5.2.5

Joidenkin rekursiivisesti määriteltyjen lukujonojen yleisen termin $$a_n$$ lauseke saadaan muodostettua päättelemällä ja kokeilemalla. Lausekkeen oikeellisuus voidaan todeta muun muassa induktiotodistuksella. Esimerkiksi lukujonon $$a_1=1$$ ja $$a_{n}=2a_{n-1}$$, kun $$n>1$$, termit ovat $$(1,2,4,8,\ldots)$$. Näin ollen yleisen termin lauseke näyttää olevan muotoa $$a_n = 2^{n-1}$$, kun $$n \geq 1$$.

Selvästikin alkeistapaus $$n=1$$ on voimassa, sillä $$a_1 = 2^{1-1} = 2^0 = 1$$. Tehdään induktio-oletus, jonka mukaan $$a_k = 2^{k-1}$$ jollain luonnollisella luvulla $$k>1$$. Kun hyödynnetään rekursiivista määritelmää ja induktio-oletusta, saadaan

$a_{k+1} = 2a_k \stackrel{\text{i.o.}}{=} 2\cdot 2^{k-1} = 2^{(k+1)-1},$

eli induktio-askel on tosi. Induktioperiaatteen mukaan lukujonon yleinen termi on siten $$a_n = 2^{n-1}$$.

## Lukujonon raja-arvo¶

Mikäli lukujonon termit lähestyvät jotain tiettyä lukua indeksin kasvaessa rajatta, kutsutaan tätä lukua lukujonon raja-arvoksi. Vaikka tämä luonnehdinta käy hyvin järkeen, pitää lukujonon raja-arvo määritellä täsmällisesti, jotta sitä voidaan hyödyntää tässä osiossa esiteltävien raja-arvotuloksien todistamisessa.

Määritelmä 5.2.6

Lukujono $$(a_n)_{n=1}^\infty$$ suppenee kohti raja-arvoa $$L$$, jos jokaista $$\varepsilon > 0$$ kohti löydetään sellainen luonnollinen luku $$N$$, että $$|a_n - L| < \varepsilon$$ aina, kun $$n > N$$, eli

$\forall\varepsilon>0\ \exists N\in\N : n>N\Rightarrow|a_n-L|<\varepsilon.$

Tällöin merkitään

$\lim_{n\to\infty}a_n=L\qquad\text{tai}\qquad a_n\to L,\text{ kun }n\to\infty.$

Jos lukujono ei suppene kohti mitään raja-arvoa, se hajaantuu.

Seuraavan kuvan tilanteessa valitulla $$\varepsilon$$ voidaan valita $$N=4$$.

Luonnollisesti kaikille lukujonoille raja-arvo ei ole olemassa. Seuraavassa esimerkissä on esitetty suppeneva ja hajaantuva lukujono.

Esimerkki 5.2.7

1. Lukujono $$(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\ldots)$$ suppenee kohti raja-arvoa $$0$$. Tämän voi todistaa raja-arvon määritelmällä, kunhan löytää jokaiselle positiiviselle reaaliluvulle $$\varepsilon$$ jonkin luonnollisen luvun $$N$$, jolle on voimassa $$|a_n-0| < \varepsilon$$ aina, kun $$n > N$$.
2. Lukujono $$((-1)^n)_{n=1}^\infty$$ hajaantuu, sillä se vaihtelee arvojen $$1$$ ja $$-1$$ välillä eikä lähesty mitään arvoa. Tämä voidaan todistaa epäsuorasti olettamalla, että raja-arvo $$L$$ onkin olemassa, eli se toteuttaa raja-arvon määritelmän. Tehty vastaoletus johtaa kuitenkin ristiriitaan, mikä todistaa alkuperäisen väitteen.

Raja-arvon määritelmän voi ajatella eräänlaisena kinasteluna, jossa kaksi henkilöä kinastelevat lukujonon raja-arvon $$L$$ olemassaolosta. Toinen henkilöistä on epäilijä ja toinen uskoja. Epäilijä antaa uskojalle jonkin positiivisen reaaliluvun $$\varepsilon$$, johon uskojan pitää vastata jollakin luonnollisella luvulla $$N$$. Luku $$N$$ toimii indeksirajana, jonka jälkeen lukujonon kaikkien termien on oltava alle luvun $$\varepsilon$$ päässä väitetystä raja-arvosta $$L$$. Mikäli uskoja onnistuu tässä, raja-arvo on olemassa. Muutoin epäilijä voittaa kinastelun, eikä raja-arvoa ole olemassa.

Suppeneville lukujonoille on voimassa seuraavat laskusäännöt.

Lause 5.2.8

Jos $$(a_n)_{n=1}^\infty$$ ja $$(b_n)_{n=1}^\infty$$ suppenevat ja $$c\in\R$$, niin

1. $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(ca_n)=c\lim_{n\to\infty}a_n$$,
2. $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n\pm\lim_{n\to\infty}b_n$$,
3. $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_nb_n)=\lim_{n\to\infty}a_n\cdot \lim_{n\to\infty}b_n$$,
4. $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}a_n}{\lim\limits_{n\to\infty}b_n}$$, jos $$\lim\limits_{n\to\infty}b_n\ne0$$ ja $$b_n \ne 0$$ kaikilla $$n$$.
Piilota/näytä todistus

Todistetaan esimerkkinä ensimmäinen kohta ja jätetään loput ylimääräisiksi harjoitustehtäviksi. Oletetaan, että lukujono $$(a_n)_{n=1}^\infty$$ suppenee ja $$c\in\mathbb{R}$$. Jos $$c=0$$ on tulos selvä, joten oletetaan, että $$c\neq 0$$ ja $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=L$$. Osoitetaan, että $$cL$$ on lukujonon $$(ca_n)_{n=1}^\infty$$ raja-arvo. Olkoon $$\varepsilon>0$$ mielivaltainen. Lukujonon $$(a_n)_{n=1}^\infty$$ raja-arvon määritelmän perusteella löytyy lukua $$\varepsilon/|c|>0$$ kohti indeksi $$N\in\mathbb{N}$$, jolle $$|a_n-L|<\frac{\varepsilon}{|c|}$$ kun $$n>N$$. Tällöin

$|ca_n-cL|=|c||a_n-L|<|c|\frac{\varepsilon}{|c|}=\varepsilon,$

kun $$n>N$$, mikä todistaa väitteen.

Huomautus 5.2.9 (Funktion raja-arvo ja jatkuvuus)

Funktion $$f:(a,b)\to\mathbb{R}$$ raja-arvo pisteessä $$x_0\in (a,b)$$ on luku $$L\in\mathbb{R}$$, jolle

$\lim_{n\to\infty}f(a_n)=L$

jokaisella lukujonolla $$(a_n)_{n=1}^\infty$$, joka suppenee kohti pistettä $$x_0$$. Tällöin merkitään

$\lim_{x\to x_0}f(x)=L.$

Funktio on jatkuva pisteessä $$x_0$$, jos sen raja-arvo on sama kuin funktion arvo, eli

$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$

Funktio on jatkuva välillä $$(a,b)$$, jos se on jatkuva jokaisessa välin pisteessä.

Jatkuvien funktioiden avulla voidaan laskea myös lukujonojen raja-arvoja seuraavasti.

Lause 5.2.10

Olkoon $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a$$ ja olkoon funktio $$f(x)$$ jatkuva pisteessä $$x=a$$. Silloin

$\lim_{n\to\infty}f(a_n)=f\left(\lim_{n\to\infty}a_n\right)=f(a).$

Lause 5.2.11 (Kuristusperiaate)

Olkoon $$a_n\le b_n\le c_n$$ kaikilla $$n$$ ja

$\lim_{n\to\infty}a_n=L=\lim_{n\to\infty}c_n.$

Silloin $$\lim\limits_{n\to\infty}b_n=L$$.

Jos suppenevan lukujonon termien lauseke on tiedossa, niin raja-arvoa voidaan yrittää selvittää tutkimalla sopivan funktion raja-arvoa.

Lause 5.2.12

Oletetaan, että funktio $$f : [1,\infty)\to\R$$ ja lukujono $$(a_n)_{n=1}^\infty$$ toteuttavat $$a_n=f(n)$$ aina, kun $$n\in\N$$. Jos $$\lim\limits_{x\to\infty}f(x) = L$$, niin $$\lim\limits_{n\to\infty}a_n = L$$.

Tarkastellaan seuraavaksi kahta perusesimerkkiä.

Esimerkki 5.2.13

1. $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0,$
2. $\begin{split}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^p}=\begin{cases} 0, & \text{kun }\ p>0,\\ 1, & \text{kun }\ p=0,\\ \infty, & \text{kun }\ p<0.\\ \end {cases}\end{split}$
Piilota/näytä ratkaisu
1. Olkoon $$\varepsilon>0$$ annettu. Näin ollen

$\Big|\frac{1}{n}-0\Big|=1/n.$

Koska $$\frac{1}{\varepsilon}>0$$ on positiivinen reaaliluku, niin on olemassa luonnollinen luku $$N$$, jolle $$\frac{1}{\varepsilon}<N$$ (tämä on ns. Arkhimeden ominaisuus reaaliluvuille). Tästä seuraa, että $$\frac{1}{\varepsilon}<n$$, kun $$n\ge N$$. Toisin sanoen löydetään $$N$$, jolle

$\frac{1}{n}< \varepsilon\ \text{ kun }\ n\ge N.$

Raja-arvon määritelmän nojalla $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$$.

2. Jos $$p=0$$, niin $$n^0=1$$ ja tulos on selvä. Olkoon $$f(x)=x^p$$. Kun $$p>0$$ on $$f$$ jatkuva reaalilukujen joukossa ja

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^p}=\lim_{n\to\infty}f(\tfrac{1}{n})=f(\lim_{n\to\infty}\tfrac{1}{n})=f(0)=0.$

Jos $$p<0$$, niin $$q=-p>0$$. Tällöin

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^p}=\lim_{n\to\infty}n^q=\infty.$

Esimerkki 5.2.14

$\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2}{4n^2-9n} =\lim_{n\to\infty}\frac{3}{4-9/n}=\frac{3}{4-0}=\frac34.$
2. Tarkastellaan suppeneeko lukujono $$\left(\dfrac{\cos n}{n}\right)_{n=1}^\infty$$. Koska

$0\leftarrow-\frac1n\le\frac{\cos n}{n}\le\frac1n\to0,$

kun $$n\to\infty$$, niin kuristusperiaatteen mukaan

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\cos n}{n}=0.$

Lukujonon suppenemiseen ja mahdolliseen raja-arvoon ei äärellisen monella jonon alkupään termillä ole merkitystä. Niinpä esimerkiksi lukujonon raja-arvon laskusäännöissä ja kuristusperiaatteessa riittää, että lukujono toteuttaa vaaditun ehdon jostakin indeksin $$n$$ arvosta alkaen.

## Kasvavat ja vähenevät lukujonot¶

Lukujonon määritelmä kattaa hyvinkin erilaisia lukujonoja. Yleisen lukujonon jäsenten käyttäytymisestä ei voida sanoa mitään, mutta tässä osiossa perehdytään erityislaatuisiin lukujonoihin, joiden jäsenet käyttäytyvät ennalta-arvattavasti. Seuraavaksi määritellään kasvavat ja vähenevät lukujonot, ja nimensä mukaan niiden jäsenet käyvät aina joko suuremmiksi tai pienemmiksi. Samalla määritellään, mitä tarkoitetaan ylhäältä tai alhaalta rajoitetulla lukujonolla.

Määritelmä 5.2.15

Lukujono $$(a_n)_{n=1}^\infty$$ on kasvava, jos $$a_n \leq a_{n + 1}$$, ja vähenevä, jos $$a_n \geq a_{n + 1}$$ kaikilla luonnollisilla luvuilla $$n$$. Lukujono on monotoninen, jos se on kasvava tai vähenevä.

Lukujono $$(a_n)_{n=1}^\infty$$ on ylhäältä rajoitettu, jos on olemassa reaaliluku $$M$$, jolle $$a_n\le M$$ kaikilla luonnollisilla luvuilla $$n$$. Vastaavasti lukujono on alhaalta rajoitettu, jos on olemassa reaaliluku $$m$$, jolle $$a_n \ge m$$ kaikilla luonnollisilla luvuilla $$n$$.

Esimerkki 5.2.16

1. Vakiolukujono $$(1,1,1,\ldots)$$ on kasvava, vähenevä, alhaalta rajoitettu ja ylhäältä rajoitettu.

2. Jos

$a_n=\frac{1}{2n^2+7},$

missä $$n \in \N$$, niin lukujono $$(a_n)_{n=1}^\infty$$ on vähenevä, sillä $$2n^2+7$$ on kasvava joukossa $$\N$$. Lisäksi lukujono on sekä alhaalta että ylhäältä rajoitettu, sillä selvästikin $$0<a_n<1$$ kaikilla $$n$$.

3. Jos

$a_n=\frac{n+2}{n+13},$

missä $$n \in \N$$, niin lukujono $$(a_n)_{n=1}^\infty$$ on kasvava, sillä funktion

$f(x)=\frac{x+2}{x+13}$

derivaatta

$f'(x)=\frac{11}{(x+13)^2}>0$

kaikilla $$x\ge1$$. Lukujono on lisäksi sekä alhaalta että ylhäältä rajoitettu, sillä kasvavuuden nojalla $$a_n\ge a_1=\frac{3}{14}$$ ja koska $$n+2\le n+13$$ kaikilla $$n$$, niin $$a_n\le1$$ kaikilla $$n$$.

Seuraava monotonisten jonojen peruslause otetaan käyttöön ilman todistusta.

Lause 5.2.17 (Monotonisten jonojen peruslause)

• Ylhäältä rajoitettu ja kasvava lukujono suppenee.
• Alhaalta rajoitettu ja vähenevä lukujono suppenee.

Näiden perustulosten todistukset ylittävät kurssin vaatimukset, mutta niiden järkevyydestä voinee vakuuttua seuraavan kuvan avulla.

Valitse epätosi väite.

Lemma 5.2.18

Lukujono $$(a_n)_{n=1}^\infty$$, missä

$a_n=\left(1+\frac1n\right)^n,$

on aidosti kasvava ja ylhäältä rajoitettu, eli sillä on monotonisten jonojen peruslauseen mukaan raja-arvo. Merkitään tätä raja-arvoa kirjaimella $$e$$. Tunnetusti

$e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=2{,}71828\ldots.$

Lisäksi myös lukujono $$(b_n)_{n=1}^\infty$$, missä $$b_n=\left(1-\dfrac1n\right)^n$$, on aidosti kasvava ja

$\frac{1}{e}=\lim_{n\to\infty}\left(1-\dfrac1n\right)^n.$
Piilota/näytä todistus

Todistetaan, että lukujono $$(a_n)_{n=1}^\infty$$ on kasvava ja ylhäältä rajoitettu. Oletetaan, että $$0<x<y$$, jolloin voidaan kirjoittaa seuraava yhtälö ja edelleen arvioida lauseketta ylöspäin.

\begin{split}\begin{aligned} y^{n+1}-x^{n+1}&=(y-x)(y^n+y^{n-1}x+\cdots+yx^{n-1}+x^n)\\ &<(y-x)(y^n+y^n+\cdots+y^n+y^n)\\ &=(y-x)(n+1)y^n\\ &=(yn-(n+1)x)y^n+y^{n+1}, \end{aligned}\end{split}

kaikilla luonnollisilla luvuilla $$n$$, joten

$x^{n+1}>((n+1)x-yn)y^n$

aina, kun $$n \in \N$$. Sovelletaan nyt tätä epäyhtälöä arvoilla $$x=1+\frac{1}{n+1}$$ ja $$y=1+\frac{1}{n}$$, joille selvästi $$0<x<y$$. Saadaan

\begin{aligned} a_{n+1}=x^{n+1}>((n+1+1)-(n+1))y^n=y^n=a_n. \end{aligned}

Lukujono $$(a_n)_{n=1}^\infty$$ on siis aidosti kasvava. Toisaalta, jos sovelletaan samaa epäyhtälöä arvoilla $$x=1$$ ja $$y=1+\frac{1}{2n}$$, niin saadaan arvio

\begin{aligned} 1>\left((n+1)-\left(n+\frac12\right)\right)\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n =\frac12\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n, \end{aligned}

josta

$\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n<2.$

$a_{2n}=\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}<4,$
eli $$a_{2n} < 4$$. Kasvavuudesta seuraa, että $$a_n \le a_{2n} < 4$$ kaikilla $$n$$. Siis jono $$(a_n)$$ on ylhäältä rajoitettu.
Edellisen lukujonon raja-arvona saatua lukua $$e$$ kutsutaan Neperin luvuksi, ja sillä on erityisasema luonnollisen eksponentti- ja logaritmifunktion kantalukuna. Lemmaa 5.2.18 käytetään eksponenttifunktion $$e^x$$ määrittelemiseen ja derivoimiskaavan $$D(e^x)=e^x$$ todistamiseen.