\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Aliavaruudet

Pohdi 5.3.1

  1. Marty ohjailee leijulautaansa suuntavektoreilla \((-1,3)\) ja \((3,-9).\) Miltä näyttää se avaruuden \(\R^2\) osa, johon Marty voi päästä? Piirrä siitä kuva.
  2. Jasmin voi ohjata taikamattoaan suuntavektoreilla \((1,1,0)\) ja \((0,0,2).\) Miltä näyttää se avaruuden \(\R^3\) osa, jonka Jasmin voi matollaan saavuttaa? Hahmottamista voi auttaa se, että listaat pisteitä, joihin Jasmin pääsee.

Aliavaruuksia käsitellään seuraavassa videossa.

Edellisessä luvussa tutkittiin, milloin jotkin tietyt vektorit virittävät vektoriavaruuden \(\R^n\). Esimerkiksi vektori \((3,-1)\) ei viritä avaruutta \(\R^2\), sillä kaikkia avaruuden \(\R^2\) vektoreita ei voida kirjoittaa tämän vektorin lineaarikombinaatioina. Toisaalta vaikkapa vektorit \((-3,1,1)\) ja \((2,-1,2)\) eivät viritä avaruutta \(\R^3\), sillä kaikkia avaruuden \(\R^3\) vektoreita ei voida kirjoittaa näiden kahden vektorin lineaarikombinaatioina. (Miksi?)

Voidaan kuitenkin ajatella, että vektori \((3,-1)\) virittää avaruuden \(\R^2\) sisällä pienemmän avaruuden, joka on vain osa koko avaruudesta \(\R^2\). Samalla tavalla vektorit \((-3,1,1)\) ja \((2,-1,2)\) virittävät avaruuden, joka on vain osa vektoriavaruutta \(\R^3\). Tällaisia avaruuksia kutsutaan aliavaruuksiksi. Epämuodollisesti ilmaistuna vektoreiden virittämä aliavaruus on se osa avaruutta, johon kyseisillä vektoreilla voi päästä.

Annetaan seuraavaksi täsmällinen määritelmä vektorien virittämälle aliavaruudelle, ja tutkitaan, miltä tällaiset aliavaruudet näyttävät. Vektorien virittämä aliavaruus koostuu kaikista kyseisten vektorien lineaarikombinaatioista.

Määritelmä 5.3.2

Vektoreiden \(\bv_1,\dots,\bv_k \in \R^n\) virittämä aliavaruus on joukko

\[\{a_1\bv_1+a_2\bv_2+\dots +a_k\bv_k \mid a_1,a_2,\dots,a_k \in \R\}.\]

Tätä joukkoa merkitään \(\vir\{\bv_1,\dots,\bv_k\}\).

Jos \(W=\vir\{\bv_1,\dots,\bv_k\}\), sanotaan, että vektorit \(\bv_1,\dots,\bv_k \in \R^n\) virittävät aliavaruuden \(W\). Vektoreita \(\bv_1,\dots,\bv_k\) kutsutaan aliavaruuden \(W\) virittäjiksi.

Vektorien virittämää aliavaruutta kutsutaan toisinaan lyhyesti aliavaruudeksi. Tulemme näkemään, että aliavaruudet ovat vektoriavaruuksia toisten vektoriavaruuksien sisässä.

Huomaa, että merkinnässä \(\vir\{\bv_1,\dots,\bv_k\}\) vektoreiden järjestyksellä ei ole väliä. Tämä johtuu siitä, että vektoreiden yhteenlaskussa summattavien järjestyksellä ei ole väliä. Merkintä \(\vir\) tulee englannin kielen verbistä “span”, joka tarkoittaa virittämistä tai ulottamista.

Esimerkki 5.3.3

Tarkastellaan vektorin \((3,-1)\) virittämää aliavaruutta \(\vir\{(-3,1)\}\). Se koostuu määritelmän mukaan kaikista vektorin \((3,-1)\) lineaarikombinaatioista. Koska vektoreita on vain yksi, ovat lineaarikombinaatiot itse asiassa skalaarimonikertoja. Vektorin \((-3,1)\) virittämä aliavaruus on

\[\vir\{(-3,1)\}=\{a(3,-1) \mid a \in \R\}.\]

Tutkitaan, miltä aliavaruus \(\vir\{(-3,1)\}\) näyttää. Sen alkioita ovat esimerkiksi vektorit \(2(3,-1)=(6,-2)\), \((-1/6)(3,-1)=(-1/2,1/6)\) ja \(0(3,-1)=(0,0)\). Nämä vektorit ovat yhdensuuntaisia vektorin \((-3,1)\) kanssa. Kun aliavaruuden \(\vir\{(-3,1)\}\) alkioita ajatellaan koordinaatiston pisteinä, huomataan pisteiden sijaitsevat samalla suoralla (kuva 1). Aliavaruus on \(\vir\{(-3,1)\}\) siis suora. Koska \((0,0)\) on tämän suoran alkio, kulkee suora origon kautta.

../_images/kuva127.svg

Kuva 1. Aliavaruus \(\vir\{(3,-1)\}\) on origon kautta kulkeva suora.

Esimerkki 5.3.4

Tarkastellaan seuraavaksi, miltä näyttää vektorien \((-3,1,1)\) ja \((2,-1,2)\) virittämä aliavaruus \(\vir\{(-3,1,1),(2,-1,2)\}\). Se on vektoriavaruuden \(\R^3\) osajoukko. Vektoreiden lineaarikombinaatiot muodostavat joukon

\[\vir\{(-3,1,1),(2,-1,2)\}=\{a_1(-3,1,1)+a_2(2,-1, 2) \mid a_1,a_2 \in \R\}.\]

Sen alkioita ovat esimerkiksi \(-4(-3,1,1)-2(2,-1,\ 2)=(-16,-2,-8)\) ja \(-5(-3,1,1)+0(2,-1,2)=(15,-5,-5)\).

Aliavaruudesta \(\vir\{(-3,1,1),(2,-1,2)\}\) on hieman vaikeampi hahmotella kuvaa kuin aliavaruudesta \(\vir\{(-3,1)\}\). Kaikki vektorien \((-3,1,1)\) ja \((2,-1,2)\) lineaarikombinaatiot ovat kuitenkin samassa tasossa kuin \((-3,1,1)\) ja \((2,-1,2)\). Joukko \(\vir\{(-3,1,1),(2,-1,2)\}\) muodostaakin avaruuden \(\R^3\) tason. Se kulkee origon kautta, sillä \((0,0,0)\) on vektorien \((-3,1,1)\) ja \((2,-1,2)\) lineaarikombinaatio.

../_images/kuva42.svg

Kuva 2. Aliavaruus \(\vir\{(-3,1,1),(2,-1,2)\}\) on origon kautta kulkeva taso.

Edellä nähtiin, että avaruudessa \(\R^3\) vektorien virittämä aliavaruus voi olla origon kautta kulkeva suora tai taso. Vektorien virittämässä aliavaruudessa voi myös olla vain yksi vektori. Nollavektorin virittämä aliavaruus on nimittäin \(\vir\{\nv\}=\{a \nv \mid a \in \R\}=\{\nv\}\). Tässä aliavaruudessa on siis ainoastaan nollavektori. Myös koko avaruus \(\R^3\) on eräiden vektoreiden virittämä aliavaruus:

\[\begin{split}\begin{aligned} \vir\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}&=\{a_1(1,0,0)+a_2(0,1,0),a_3(0,0,1) \mid a_1,a_2,a_3 \in \R\}\\ &=\{(a_1,a_2,a_3) \mid a_1,a_2,a_3 \in \R\}=\R^3. \end{aligned}\end{split}\]

Esimerkki 5.3.5

Tutkitaan, miltä näyttävät avaruuden \(\R^4\) aliavaruuden

\[\vir\{(1,0,-2,5),(0,-1,4,0),(0,0,0,1)\}\]

alkiot. Määritelmän mukaan

\[\begin{split}\begin{aligned} \vir\{&(1,0,-2,5),(0,-1,4,0),(0,0,0,1)\} \\ &=\{a_1(1,0,-2,5)+a_2(0,-1,4,0)+a_3(0,0,0,1) \mid a_1,a_2,a_3 \in \R\}\\ &=\{(a_1,\,0,\,-2a_1,\,5a_1)+(0,\,-a_2,\,4a_2,\,0)+(0,\,0,\,0,\,a_3) \mid a_1,a_2,a_3 \in \R\}\\ &=\{(a_1, \, -a_2, \, -2a_1+4a_2, \, 5a_1+a_3) \mid a_1,a_2,a_3 \in \R\}. \end{aligned}\end{split}\]

Aliavaruuden \(\vir\{(1,0,-2,2),(0,-1,4,5),(0,0,0,1)\}\) alkiot ovat siis muotoa

\[(a_1, \ -a_2, \ -2a_1+4a_2, \ 5a_1+a_3),\]

missä \(a_1,a_2,a_3 \in \R\).

Esimerkki 5.3.6

Joukko \(W = \{(4a_1-2a_2, \ 3a_1-a_2, \ 5a_1+a_2) \mid a_1,a_2 \in \R\}\) on eräiden avaruuden \(\R^3\) vektorien virittämä aliavaruus. Etsitään tälle aliavaruudelle virittäjävektorit. Toimitaan muuten samoin kuin esimerkissä 5.3.5, mutta käännetään päättelyn suunta:

\[\begin{split}\begin{aligned} W &=\{(4a_1-2a_2, \ 3a_1-a_2, \ 5a_1+a_2) \mid a_1,a_2 \in \R\} \\ &=\{(4a_1,3a_1,5a_1)+(-2a_2,-a_2,a_2) \mid a_1,a_2 \in \R\} \\ &=\{a_1(4,3,5)+a_2(-2,-1,1) \mid a_1,a_2 \in \R\} \\ &=\vir\{(4,3,5),(-2,-1,1)\}. \end{aligned}\end{split}\]

Kyseessä on siis vektorien \((4,3,5)\) ja \((-2,-1,1)\) virittämä aliavaruus. Se on origon kautta kulkeva taso.

Toisinaan kaikkia virittäjävektoreita ei tarvita aliavaruuden virittämiseen. Virittäjävektorien joukossa voi siis olla turhia vektoreita. Tutkitaan vektoreiden \((1,0,0)\), \((0,1,0)\) ja \((1,1,0)\) virittämää aliavaruutta \(\vir\{(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)\}\). Ensinnäkin vektorit \((1,0,0)\) ja \((0,1,0)\) virittävät \(xy\)-tason. Kun joukkon lisätään lineaarikombinaatiot, joissa on mukana myös \((1,1,0)\), ei aikaiseksi saada mitään uutta, sillä myös \((1,1,0)\) on samassa \(xy\)-tasossa.

Seuraava lause osoittaa, että jos jokin virittäjävektori on toisten virittäjävektoreiden lineaarikombinaatio, se voidaan pudottaa pois virittäjävektoreiden joukosta.

Lause 5.3.7

Oletetaan, että \(\bv_1,\bv_2,\dots,\bv_k \in \R^n\) ja lisäksi että \(\bw\) on vektoreiden \(\bv_1,\bv_2,\dots,\bv_k\) lineaarikombinaatio. Tällöin

\[\vir\{\bv_1,\bv_2,\dots,\bv_k,\bw\}=\vir\{\bv_1,\bv_2,\dots,\bv_k\}.\]
Todistus

\(\subseteq\)”: Oletetaan, että \(\bv\in \vir\{\bv_1, \dots, \bv_k, \bw\}\). Nyt on olemassa reaalilukukertoimet \(a_1, \ldots, a_k, a_w \in \R\), joille pätee

\[\bv=a_1\bv_1+ \cdots + a_k\bv_k+ a_w\bw.\]

Toisaalta koska \(\bw\) on vektoreiden \(\bv_1,\dots,\bv_k\) lineaarikombinaatio, on olemassa toiset reaalilukukertoimet \(c_1,\dots,c_k \in \R\), joille pätee

\[\bw=c_1\bv_1+ \cdots + c_k\bv_k.\]

Sijoitetaan tämä ensimmäiseen yhtälöön, jolloin saadaan

\[\begin{split}\begin{aligned} \bv&=a_1\bv_1+ \cdots + a_k\bv_k+ a_w(c_1\bv_1 + \cdots + c_k\bv_k)\\ &=a_1\bv_1+ \cdots + a_k\bv_k+ a_wc_1\bv_1 + \cdots + a_wc_k\bv_k\\ &=(a_1+a_wc_1)\bv_1+ \cdots + (a_k+a_wc_k)\bv_k. \end{aligned}\end{split}\]

Tästä nähdään, että \(\bv \in \vir\{\bv_1, \dots, \bv_k\}\), joten

\[\vir\{\bv_1, \dots, \bv_k,\bw\}\subseteq \vir\{\bv_1, \dots, \bv_k\}.\]

\(\supseteq\)”: Todistuksen toinen osa jätetään harjoitustehtäväksi.

Tarkastellaan vektoreiden \((-1,0,-3)\), \((-6,1,-1)\) ja \((0,1,2)\) virittämää aliavaruutta

\[\vir\{(-1,0,-3),(-2,-2,-10), (0,1,2)\}.\]

Koska

\[(-2,-2,-10)=2(-1,0,-3)-2(0,1,2),\]

voidaan vektori \((-2,-2,-10)\) jättää pois virittäjien joukosta. Toisin sanoen

\[\vir\{(-1,0,-3),(-2,-2,-10), (-5,1,2))=\vir\{(-1,0,-3), (-5,1,2)\}.\]

Seuraavassa esimerkissä tutkitaan, kuinka aliavaruudet ovat pienempiä vektoriavaruuksia toisten vektoriavaruuksien sisässä.

Esimerkki 5.3.8

Tarkastellaan aliavaruutta

\[W=\vir\{(-2,-1)\}=\{t(-2,-1) \mid t \in \R\}.\]

Kyseessä on origon kautta kulkeva suora.

Tutkitaan, mitä tapahtuu, kun kaksi aliavaruuden \(W\) alkiota lasketaan yhteen. Oletetaan, että \(\bv, \bw \in W\). Tällöin on olemassa sellaiset reaaliluvut \(a\) ja \(b\), että \(\bv=a(-2,-1)\) ja \(\bw=b(-2,-1)\). Nähdään, että

\[\bv+\bw=a(-2,-1)+b(-2,-1)=(a+b)(-2,-1),\]

missä \(a+b \in \R\). Havaitaan, että summa \(\bv + \bw\) on vektorin \((-2,-1)\) skalaarimonikerta, joten se on aliavaruuden \(W\) alkio. Jos lasketaan yhteen mitkä tahansa kaksi aliavaruuden \(W=\vir\{(-2,-1)\}\) alkiota, on tuloksena siis edelleen aliavaruuden \(W\) alkio.

Tarkastellaan sitten aliavaruuden alkioiden skalaarimonikertoja. Oletetaan, että \(\bu \in W\) ja \(k \in \R\). Tällöin on olemassa \(c \in \R\), jolle pätee \(\bu=c(-2,-1)\). Huomataan, että

\[k\bu=k(c(-2,-1))=(kc)(-2,-1),\]

missä \(kc \in \R\). Havaitaan, että vektori \(k\bu\) voidaan kirjoittaa vektorin \((-2,-1)\) skalaarimonikertana, joten \(k\bu \in W\). Kaikkien aliavaruuden \(W=\vir\{(-2,-1))\) alkioiden skalaarimonikerrat ovat siis edelleen aliavaruuden \(W\) alkioita.

Tavallaan suora \(W=\vir\{(-2,-1)\}\) on oma pieni vektoriavaruutensa avaruuden \(\R^2\) sisässä: kun suoran \(W=\vir\{(-2,-1)\}\) alkioita lasketaan yhteen tai niitä kerrotaan reaaliluvuilla, on tuloksena edelleen aliavaruuden \(W\) alkio (ks. kuva 3). Sama pätee origon kautta kulkeviin tasoihin.

../_images/suoranAlkioidenSumma.jpg

Kuva 3. Suoran \(W=\vir\{(-2,-1)\}\) alkioiden \(\bv\) ja \(\bw\) summa \(\bv + \bw\) on suoran \(W\) alkio.

Miltä avaruuden \(\R^3\) aliavaruus voi näyttää? Valitse kaikki sopivat vaihtoehdot.

Edellä tehdyt havainnot voidaan yleistää minkä tahansa vektoreiden virittämälle aliavaruudelle. Jos aliavaruuden kaksi vektoria lasketaan yhteen, on summa edelleen aliavaruudessa. Samoin aliavaruuden vektoreiden skalaarimonikerrat ovat aliavaruudessa. Lisäksi nollavektori kuuluu aina aliavaruuteen.

Lause 5.3.9

Oletetaan, että \(\bv_1, \dots, \bv_k \in \R^n\). Olkoon \(W=\vir\{\bv_1, \ldots, \bv_k\}\). Tällöin seuraavat väitteet pätevät:

  1. Jos \(\bu\), \(\bw \in W\), niin \(\bu + \bw \in W\).
  2. Jos \(\bw \in W\) ja \(c \in \R\), niin \(c\bw \in W\).
  3. \(\nv \in W\).
Todistus

Osoitetaan kohta 1 ja jätetään loput kohdat harjoitustehtäviksi. Oletetaan, että \(\bu, \bw \in W\). Nyt \(\bu=a_1\bv_1+\cdots+a_k\bv_k\) joillakin \(a_1,\dots,a_k \in \R\) ja \(\bw=b_1\bv_1+\cdots+b_k\bv_k\) joillakin \(b_1,\dots,b_k \in \R\). Osoitetaan, että summa \(\bu+\bw\) on aliavaruuden \(W\) alkio. Huomataan, että

\[\begin{split}\begin{split} \bu+\bw & =(a_1\bv_1+\cdots+a_k\bv_k)+(b_1\bv_1+\cdots+b_k\bv_k) \\ & =(a_1+b_1)\bv_1+\cdots+(a_k+b_k)\bv_k. \end{split}\end{split}\]

Koska \(\bu+\bw\) on vektoreiden \(\bv_1, \bv_2, \dots, \bv_k\) lineaarikombinaatio, pätee \(\bu+\bw \in W\).

Tässä materiaalissa käsiteltiin vain vektorien virittämiä aliavaruuksia, jotka ovat lineaarikombinaatioista muodostuvia joukkoja. Ne ovat erikoistapaus yleisemmästä aliavaruuden käsitteestä. Vektoriavaruuden osajoukko \(W\) on kyseisen vektoriavaruuden aliavaruus, jos sille pätevät seuraavat ehdot:

  1. \(\nv \in W\)
  2. \(\bw+\bu \in W\) kaikilla \(\bw, \bu \in W\)
  3. \(r\bw \in W\) kaikilla \(r \in \R\) ja \(\bw \in W\).

Avaruuden \(\R^n\) tapauksessa käsitteillä ei ole eroa: jokainen aliavaruus on vektorien virittämä aliavaruus. Kun vektoriavaruuden käsitettä yleistetään muihinkin kuin avaruuksiin \(\R^n\), löytyy aliavaruuksia, jotka eivät ole vektorien virittämiä aliavaruuksia.

  • Vektorit virittävät avaruuden, jos jokainen avaruuden vektori voidaan ilmaista niiden lineaarikombinaationa. Epämuodollisesti sanottuna tämä tarkoittaa sitä, että vektoreilla pääsee jokaiseen avaruuden pisteeseen.
  • Jos vektorit eivät viritä koko avaruutta, ne virittävät aliavaruuden.
  • Avaruuden \(\R^3\) aliavaruuksia ovat origon kautta kulkevat suorat ja tasot, joukko \(\{\nv\}\) sekä koko avaruus \(\R^3\).
Palautusta lähetetään...

Palautus on vastaanotettu.