\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Sarake- ja nolla-avaruuden kanta ja dimensio

Aiemmin määriteltiin matriisin sarake- ja nolla-avaruudet. Matriisin \(A\) sarakeavaruus on joukko

\[\cR(A) = \{\by \in \R^m \mid \by = A\bx \text{ jollakin } \bx \in \R^n\}\]

ja nolla-avaruus joukko

\[\cN(A) = \{\bx \in \R^n \mid A\bx = \bzero\}.\]

Tähän mennessä sarake- ja nolla-avaruutta on sovellettu yhtälönratkaisussa. Aliavaruuksien, kantojen ja dimensioiden teoria tarjoaa uutta tietoa sarake- ja nolla-avaruuksista ja sitä kautta yhtälönratkaisusta.

Aiemmin todettiin, että matriisin \(A\) sarakeavaruus koostuu kaikista sarakkeiden \(\ba_1, \ba_2, \ldots, \ba_n\) lineaarikombinaatioista. Tästä seuraa, että sarakeavaruus on sarakkeiden virittämä aliavaruus eli

\[\cR(A)=\Span\{\ba_1, \ba_2, \ldots, \ba_n\}.\]

Lauseen 5.3.9 perusteella saadaan seuraava tulos.

Lause 5.6.1

Olkoon \(A\) \(m \times n\)-matriisi. Tällöin sarakeavaruudelle \(\cR(A)\) pätevät seuraavat ehdot:

  1. \(\bv+\bw \in \cR(A)\) kaikilla \(\bv,\bw \in \cR(A)\)
  2. \(c\bv \in \cR(A)\) kaikilla \(c \in \R\) ja \(\bv \in \cR(A)\)
  3. \(\nv \in \cR(A)\).

Toisin sanoen \(\cR(A)\) on avaruuden \(\R^m\) aliavaruus. Sama tulos voidaan osoittaa nolla-avaruudelle.

Lause 5.6.2

Olkoon \(A\) \(m \times n\)-matriisi. Tällöin nolla-avaruudelle \(\cN(A)\) pätevät seuraavat ehdot:

  1. \(\bv+\bw \in \cN(A)\) kaikilla \(\bv,\bw \in \cN(A)\)
  2. \(c\bv \in \cN(A)\) kaikilla \(c \in \R\) ja \(\bv \in \cN(A)\)
  3. \(\nv \in \cN(A)\).
Todistus
Todistus jätetään harjoitustehtäväksi.

Lineaaristen yhtälöryhmien tapauksessa todettiin, että niillä on joko täsmälleen yksi, yhtään tai äärettömästi ratkaisuja. Lineaarinen yhtälöryhmä voidaan muuttaa matrisiiyhtälöksi. Tällöin väite voidaan todistaa nolla-avaruuden käsitteen avulla.

Lause 5.6.3

Olkoon \(A\) \(m \times n\)-matriisi, sekä \(\bb\) avaruuden \(\R^m\) vektori. Tällöin täsmälleen yksi seuraavista väitteistä on voimassa yhtälölle \(A\bx = \bb\).

  1. Yhtälöllä ei ole ratkaisuja.
  2. Yhtälöllä on täsmälleen yksi ratkaisu.
  3. Yhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua.
Todistus

Riittää osoittaa, että ratkaisujen löytyessä niitä on joko yksi tai ääretön määrä.

Oletetaan, että \(\bx_0\) on eräs yhtälön ratkaisu. Nyt on kaksi vaihtoehtoa: joko matriisin \(\cN(A)=\{\nv\}\) tai nolla-avaruudessa on muitakin vektoreita kuin nollavektori. Ensimmäisessä tapauksessa homogeenisen yhtälön \(A\bx = \bzero\) ainoa ratkaisu on \(\bzero\), joten yhtälön \(A\bx = \bb\) ratkaisuksi saadaan \(\bx_0 + \bzero = \bx_0\). Yhtälöllä on siis yksikäsitteinen ratkaisu. Jälkimmäisessä tapauksessa nolla-avaruudesta löydetään vektori \(\by \neq \nv\). Koska \(\cN(A)\) on aliavaruus, pätee \(r\by \in \cN(A)\) kaikilla \(r \in \R\). Täten jokainen vektori \(\bx_0 + r\by\), missä \(r \in \R\), on yhtälön \(A\bx = \bb\) ratkaisu. Yhtälöllä on siis äärettömän monta ratkaisua.

Tämän luvun lopussa osoitetaan, että sarake- ja nolla-avaruuksien dimensiot liittyvät toisiinsa. Tämän todistamiseen tarvitaan tietoa sarake- ja nolla-avaruuksien kannoista.

Seuraava lause osoittaa, että matrisiin redusoitu porrasmuoto kertoo, mitkä matriisin sarakkeista muodostavat sarake-avaruuden kannnan. Todistus mukailee aiempaa esimerkkiä 5.5.7, jossa itse asiassa tultiin etsineeksi kanta sarakeavaruudelle.

Lause 5.6.4

Eräs matriisin \(A\) sarakeavaruuden \(\cR(A)\) kanta muodostuu niistä matriisin \(A\) sarakkeista, joissa on johtavat alkiot redusoidussa porrasmuodossa.

Todistus

Olkoot \(\bv_1, \bv_2, \ldots, \bv_k\) matriisin \(A\) ne sarakevektorit, joiden kohdille johtavat ykköset sijoittuvat redusoidussa porrasmuodossa \(\rref(A)\). Osoitetaan, että ne muodostavat sarakeavaruuden kannan. On siis osoitettava, että vektorit ovat lineaarisesti riippumaattomia ja virittävät sarakeavaruuden.

Lineaarisen riippumattomuuden osoittamiseksi tutkitaan yhtälöryhmää

\[\begin{augmatrix}{cccc|c} \bv_1&\bv_2&\cdots&\bv_k & \bzero \end{augmatrix}.\]

Koska redusoitussa porrasmuodossa vektoreiden \(\bv_1, \bv_2, \ldots, \bv_k\) kohdille sijoittuvat ykköset, on jokaisessa sarakkeessa johtava alkio. Siten yhtälöryhmällä on täsmälleen yksi ratkaisu. Tästä seuraa, että vektorit \(\bv_1, \bv_2, \ldots, \bv_k\) ovat lineaarisesti riippumattomat.

Osoitetaan sitten, että vektorit \(\bv_1, \bv_2, \ldots, \bv_k\) virittävät sarakeavaruuden. Oletetaan, että \(\bu_1, \bu_2, \ldots, \bu_l\) ovat loput matriisin \(A\) sarakkeista. Osoitetaan, että ne ovat vektoreiden \(\bv_1, \bv_2, \ldots, \bv_k\) lineaarikombinaatioita. Yhtälöryhmällä

\[\begin{augmatrix}{cccc|c} \bv_1&\bv_2&\cdots&\bv_k & \bu_j \end{augmatrix}\]

on ratkaisu kaikilla \(j \in \{ 1, 2, \ldots, l\}\) aivan kuten edelläkin. Näin ollen lauseen 5.3.7 nojalla

\[\Span\{\bv_1, \bv_2, \ldots, \bv_k,\bu_1\} = \Span\{\bv_1, \bv_2, \ldots, \bv_k\}.\]

Samaan tapaan jatkamalla saadaan

\[\Span\{\bv_1, \bv_2, \ldots, \bv_k,\bu_1,\bu_2,\ldots,\bu_l\} = \Span\{\bv_1, \bv_2, \ldots, \bv_k\}.\]

Koska \(\cR(A)=\Span\{\bv_1, \bv_2, \ldots, \bv_k,\bu_1,\bu_2,\ldots,\bu_l\}\), on osoitettu, että vektorit \(\bv_1, \bv_2, \ldots, \bv_k\) virittävät sarakeavaruuden.

Näin ollen vektorit \(\bv_1, \bv_2, \ldots, \bv_k\) muodostavat sarakeavaruuden kannan.

Seuraava esimerkki osoittaa, kuinka nolla-avaruuden kannan voi löytää.

Esimerkki 5.6.5

Etsitään kanta matriisin

\[\begin{split}A = \begin{augmatrix}{rrrr} 1 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ \end{augmatrix}\end{split}\]

nolla-avaruudelle. On siis ratkaistava yhtälöryhmä \(A\bx = \nv\). Kirjoitetaan yhtälöryhmä kokonaismatriisina

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{rrrr|c} 1 & 2 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 1 & 0 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Kun matriisia muokataan alkeisrivimuuunnoksilla, saadaan matriisi

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{rrrr|c} 1 & 0 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & 0 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Tästä nähdään, että yhtälöryhmän ratkaisu on

\[\begin{split}\begin{cases} x_1 = -(3/2)t - (1/2)s \\ x_2 = (1/4)t + (1/4)s \\ x_3 = t \\ x_4 = s, \end{cases} \quad \text{ missä } t, s \in \R.\end{split}\]

Vektorimuodossa kirjoitettuna ratkaisu on

\[\begin{split}\bx = t\begin{augmatrix}{r} -\frac{3}{2} \\ -\frac{1}{4}\\ 1 \\0 \end{augmatrix} +s \begin{augmatrix}{r} -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{4}\\ 0 \\1 \end{augmatrix},\end{split}\]

missä \(t, s \in \R\). Huomaa, että ratkaisussa näkyviä vektoreita on yhtä monta kuin vapaita muuttujia.

Nyt tiedetään, että

\[\cN(A)=\vir\{(-3/2,-1/4,1,0),(-1/2,1/4,0,1)\}.\]

Koska vektorit \((-3/2,-1/4,1,0)\) ja \((-1/2,1/4,0,1)\) ovat lineaarisesti riippumattomia, ne muodostavat nolla-avaruuden kannan. Huomaa, että lineaarinen riippumattomuus seuraa siitä, että kussakin vektorissa on yksi, ja muissa vektoreissa samassa kohtaa on nolla.

Esimerkissä esitetty strategia pätee yleisesti mille tahansa matriisille. Tulosta ei kuitenkaan todisteta täsmällisesti tässä materiaalissa teknisyytensä vuoksi.

Tiivistettynä matriisin \(A\) nolla- ja sarakeavaruuksien kannat voidaan löytää seuraavasti:

  1. Etsi matriisin \(A\) redusoitu porrasmuoto \(\rref(A)\).
  2. Valitse matriisista \(A\) ne sarakkeet, joiden kohdalle matriisissa \(\rref(A)\) sijoittuu johtava alkio. Nämä pystyvektorit muodostavat sarakeavaruuden \(\cR(A)\) kannan.
  3. Etsi redusoidun porrasmuodon avulla homogeenisen yhtälön \(A\bx = \bzero\) ratkaisu ja esitä se vektoreiden lineaarikombinaationa. Lineaarikombinaation vektorit muodostavat nolla-avaruuden \(\cN(A)\) kannan.

Esimerkki 5.6.6

Tutkitaan matriisia \(A=\begin{augmatrix}{rrrr}\ 1 & 2 & 4 & 2\\\ 2 & 3 & 1 & -1\\-1 & -1 & 3 & 3\end{augmatrix}\) ja etsitään avaruuksille \(\cR(A)\) ja \(\cN(A)\) kannat.

Matriisin \(A\) redusoitu porrasmuoto on

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{rrrr} 1 & 0 & -10 & -8\\ 0 & 1 & 7 & 5\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Koska johtavat alkiot ovat kahdessa ensimmäisessä sarakkeessa, eräs sarakeavaruuden \(\cR(A)\) kanta on

\[\begin{split}\left\{ \begin{augmatrix}{r} 1\\2\\-1 \end{augmatrix}, \begin{augmatrix}{r} 2\\3\\-1 \end{augmatrix} \right\}.\end{split}\]

Redusoidusta porrasmuodosta nähdään myös, että homogeenisen yhtälöryhmän \(A\bx=\bzero\) ratkaisu on

\[\begin{split}\begin{cases} x_1 = 10t + 8s \\ x_2 = -7t - 5s \\ x_3 = t \\ x_4 = s, \end{cases}\end{split}\]

missä \(t,s \in \R\). Vektorimuodossa kirjoitettuna ratkaisu on

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{augmatrix} = t \begin{augmatrix}{r} 10 \\ -7 \\ 1 \\ 0 \end{augmatrix} + s \begin{augmatrix}{r} 8 \\ -5 \\ 0 \\ 1 \end{augmatrix},\end{split}\]

joten eräs nolla-avaruuden \(\cN(A)\) kanta on

\[\begin{split}\left\{ \begin{augmatrix}{r} 10\\-7\\ 1\\ 0 \end{augmatrix}, \begin{augmatrix}{r} 8\\-5\\ 0\\ 1 \end{augmatrix} \right\}.\end{split}\]

Matriisin aste kertoo, kuinka monta johtavaa alkiota on matriisin redusoidussa porrasmuodossa. Tämän vuoksi matriisin aste on sama kuin sarakeavaruuden dimensio.

Lause 5.6.7

Olkoon \(A\) matriisi. Matriisin aste \(\rank(A)\) on sarakeavaruuden dimesio. Toisin sanoen \(\rank(A) = \dim (\cR(A))\).

Todistus
Matriisin \(A\) sarakeavaruuden kanta saadaan valitsemalla matriisista \(A\) ne sarakkeet, joita redusoidussa porrasmuodossa vastaa johtava alkio. Kannassa on siis yhtä monta vektoria kuin redusoidussa porrasmuodossa johtavia alkiota. Avaruuden dimensio on kannan vektorien lukumäärä ja matriisin aste puolestaan on johtavien alkioiden lukumäärä redusoidussa porrasmuodossa. Siten sarakeavaruuden dimensio ja matriisin aste ovat samat.

Esimerkissä 5.6.6 sarakeavaruuden kannassa oli kaksi vektoria, joten \(\dim \cR(A) = 2\). Siis \(\rank(A)=2\). Toisaalta esimerkin perusteella \(\dim \cN(A) = 2\). Koska sarakeavaruuden kantaan valitaan ne sarakkeet, joiden kohdalle tulee vapaa muuttuja, ja nolla-avaruuden kantaan puolestaan valikoituu yhtä monta vektoria kuin on vapaita muuttujia, on näiden kahden kannan vektorien yhteenlaskettu lukumäärä sama kuin matriisin sarakkeiden lukumäärä.

Edellinen huomio on ilmaistu matriisien dimensiolauseessa, joka liittää yhteen sarakeavaruuden dimension eli matriisin asteen ja nolla-avaruuden dimension.

Lause 5.6.8 (Dimensiolause)

Jos \(A\) on \(m \times n\)-matriisi, niin \(\dim( \cN(A))+\rank(A)=n\).

Oletetaan, että \(A\) on \(3 \times 3\) -matriisi ja että \(\bb \in \cR(A)\). Tarkastellaan kolmen väittämän kokoelmia

  • Matriisin \(A\) aste on \(1\).
  • Matriisin \(A\) aste on \(2\).
  • Matriisin \(A\) aste on \(3\).

ja

  1. Matriisiyhtälön \(A\bx = \bb\) yleisessä ratkaisussa on yksi vapaa muuttuja.
  2. Matriisiyhtälön \(A\bx = \bb\) yleisessä ratkaisussa on kaksi vapaata muuttujaa.
  3. Matriisiyhtälöllä \(A\bx = \bb\) on yksi ratkaisu.

Järjestä väitteet 1–3 siten, että kukin niistä on loogisesti ekvivalentti vastaavalla paikalla olevan ensimmäisen kokoelman väitteen kanssa (ylhäältä alas luettuna). Anna vastauksenasi väitteiden 1–3 numerot oikeassa järjestyksessä. Jos esimerkiksi uskot, että ne ovat jo valmiiksi oikeassa järjestyksessä, vastaa 123.

Kirjoita vastauksesi tähän kenttään.

Nyt voidaan laajentaa kääntyvien matriisien lausetta 4.6.6 uusilla kohdilla.

Lause 5.6.9 (Laajennettu kääntyvien matriisien lause)

Oletetaan, että \(A\) on \(n \times n\)-neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä:

  1. Matriisi \(A\) on kääntyvä.
  2. Yhtälöllä \(A\bx=\bb\) on täsmälleen yksi ratkaisu kaikilla \(\bb \in\R^n\).
  3. Yhtälöllä \(A\bx=\nv\) on vain triviaali ratkaisu \(\bx=\nv\).
  4. Matriisi \(A\) on riviekvivalentti ykkösmatriisin kanssa.
  5. Matriisi \(A\) on alkeismatriisien tulo.
  6. Matriisi \(A\) ei ole riviekvivalentti minkään nollarivin sisältävän matriisin kanssa.
  7. \(\rank(A) = n\).
  8. Matriisin \(A\) nolla-avaruuden dimensio on nolla, eli \(\cN(A) = \{\bzero\}\).
  9. Matriisin \(A\) sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomia.
Todistus

Ensimmäiset kuusi kohtaa on jo osoitettu yhtäpitäviksi, joten riittää osoittaa, että loput kohdat ovat näiden kanssa yhtäpitäviä. Tehdään tämä todistamalla ekvivalenssi \(7 \Leftrightarrow 8\) ja implikaatioketju

\[4 \Rightarrow 7 \Rightarrow 9 \Rightarrow 4.\]

\(7 \Leftrightarrow 8\): Dimensiolauseen 5.6.8 nojalla \(\rank(A) + \dim\cN(A) = n\), joten \(\rank(A) = n\) jos ja vain jos \(\dim\cN(A) = 0\). Kohdat 7 ja 8 ovat siis yhtäpitävät.

\(4 \Rightarrow 7\): Oletetaan, että \(A\) on riviekvivalentti ykkösmatriisin kanssa. Tällöin \(\rref(A)=I\). Koska matriisissa \(\rref(A)\) on \(n\) johtavaa alkiota, on lauseen 5.6.4 perusteella matriisin \(A\) sarakeavaruuden dimensio \(n\). Näin ollen lauseen 5.6.7 nojalla \(\rank(A) = n\).

\(7 \Rightarrow 9\): Oletetaan, että \(\rank(A) = n\). Tällöin lauseen 5.6.7 nojalla matriisin \(A\) sarakeavaruuden dimensio on \(n\), joten sarakeavaruuden kannassa on \(n\) vektoria. Kantaan kuuluvat siis kaikki matriisin \(A\) sarakkeet. Siten matriisin \(A\) sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomia.

\(9 \Rightarrow 4\): Oletetaan, matriisin \(A\) sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomia. Tällöin ne muodostavat sarakeavaruuden kannan. Lauseen 5.6.4 perusteella jokaisessa matriisin \(\rref(A)\) sarakkeessa on johtava alkio. Toisaalta \(\rref(A)\) on neliömatriisi ja redusoitu porrasmatriisi. Ainoa vaihtoehto on, että \(\rref(A)=I\). Siten \(A\) on riviekvivalentti ykkösmatriisin kanssa.

Olkoon \(A\) \(4\times 4\)-matriisi, joka ei ole kääntyvä. Valitse paikkansa pitävä vaihtoehto.
Oletetaan, että \(A\) ja \(B\) ovat matriiseja. Valitse paikkansa pitävät väitteet.
Palautusta lähetetään...

Palautus on vastaanotettu.