\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Yhtälöryhmästä matriisiyhtälöksi

Aloita katsomalla seuraava video:

Tässä luvussa esitellään uusi tapa kirjoittaa lineaarinen yhtälöryhmä matriisien avulla käyttäen hyväksi matriisikertolaskua sekä vektoreita. Tällöin yhtälöryhmien ratkaisussa voidaan käyttää avuksi matriisien ominaisuuksia.

Tutkitaan yhtälöryhmää

\[\begin{split}\left\{ \begin{array}{cccc} 2x_1+3x_2+4x_3+5x_4 & = & 6 \\ 11x_1+12x_2+13x_3+14x_4 & = & 15 \\ -7x_1-8x_2-9x_3-10x_4 & = & -11 \end{array}\right.\end{split}\]

Yhtälön vasemmalla puolella näkyy jotain samanlaista kuin saadaan tulokseksi matriisien kertolaskusta. Kirjoitetaan yhtälöryhmän kertoimet yhdeksi matriisiksi

\[\begin{split}A= \begin{augmatrix}{rrrr} 1 & 3 & 4 & 5\\ 11 & 12 & 13 & 14 \\ -7 & -8 & -9 & -10 \end{augmatrix},\end{split}\]

tuntemattomat toiseksi matriisksi

\[\begin{split}\bx= \begin{augmatrix}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3\\ x_4 \end{augmatrix}\end{split}\]

ja vakiot kolmanneksi

\[\begin{split}\bb= \begin{augmatrix}{r} 6 \\ 15 \\ -11\\ \end{augmatrix}.\end{split}\]

Nyt

\[\begin{split}A\bx=\begin{augmatrix}{c} 2x_1+3x_2+4x_3+5x_4 \\ 11x_1+12x_2+13x_3+14x_4 \\ -7x_1-8x_2-9x_3-10x_4 \end{augmatrix}\end{split}\]

eli tulo \(A\bx\) vastaa yhtälöryhmän vasenta puolta. Siten yhtälöryhmä voidaan kirjoittaa muodossa \(A\bx=\bb\) eli

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{rrrr} 1 & 3 & 4 & 5\\ 11 & 12 & 13 & 14 \\ -7 & -8 & -9 & -10 \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3\\ x_4 \end{augmatrix} =\begin{augmatrix}{r} 6 \\ 15 \\ -11 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Yleisesti yhtälöryhmä

\[\begin{split}\left\{ \begin{array}{ccc} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n & = & b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n & = & b_2 \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n & = & b_m \end{array}\right.\end{split}\]

voidaan kirjoittaa muodossa \(A\bx=\bb\), missä

\[\begin{split}A= \begin{augmatrix}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{augmatrix}, \qquad \bx= \begin{augmatrix}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{augmatrix} \qquad \text{ja} \qquad \bb= \begin{augmatrix}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \\ \end{augmatrix}.\end{split}\]

Matriisia \(A\) kutsutaan yhtälöryhmän kerroinmatriisiksi Jos nyt kerroinmatriisi on neliömatriisi, sen kääntyvyys vaikuttaa merkittävästi yhtälöryhmän ratkaisuihin.

Lause 4.5.1

Jos matriisi \(A\in\R^{n\times n}\) on kääntyvä ja \(\bb\in\R^n\), yhtälöllä \(A\bx=\bb\) on täsmälleen yksi ratkaisu, ja se on \(\bx=A^{-1}\bb\).

Todistus

Oletetaan, että matriisi \(A\) on kääntyvä. Todistuksessa on kaksi osaa. On osoitettava, että \(A^{-1}\bb\) on yhtälön ratkaisu ja että muita ratkaisuja ei ole.

Osoitetaan ensin, että \(A^{-1}\bb\) on yhtälön ratkaisu sijoittamalla se yhtälön vasemmalle puolelle vektorin \(\bx\) paikalle:

\[A(A^{-1}\bb)=(AA^{-1})\bb=I\bb=\bb.\]

Koska tuloksena oli yhtälön oikea puoli, esitetty ratkaisu toteuttaa yhtälön.

Osoitetaan sitten, ettei muita ratkaisuja ole. Oletetaan, että \(\by\) on jokin (toinen) ratkaisu. Tällöin \(A\by=\bb\). Kerrotaan yhtälön molemmat puolet vasemmalta matriisilla \(A^{-1}\), jolloin saadaan

\[A^{-1}A\by=A^{-1}\bb.\]

Koska \(A^{-1}A=I\), edellinen yhtälö sievenee muotoon \(\by=A^{-1}\bb\). Kysymyksessä on siis sama ratkaisu kuin edellä. Siten ratkaisuja on vain yksi ja se on \(A^{-1}\bb\).

Huomaa, että todistuksessa tarvittiin käänteismatriisin kumpaakin ominaisuutta: \(AA^{-1}=I\) ja \(A^{-1}A=I\).

Palautusta lähetetään...

Palautus on vastaanotettu.