$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}}$

# Sarake- ja nolla-avaruus yhtälönratkaisussa¶

Aiemmin määriteltiin matriisin sarake- ja nolla-avaruudet. Matriisin $$A$$ sarakeavaruus on joukko

$\cR(A) = \{\by \in \R^m \mid \by = A\bx, \text{ jollakin } \bx \in \R^n\}$

ja nolla-avaruus joukko

$\cN(A) = \{\bx \in \R^n \mid A\bx = \bzero\}.$

Tarkastellaan näihin aliavaruuksiin sisältyvää informaatiota matriisiyhtälön $$A\bx = \bb$$ ratkaisun näkökulmasta.

Jos sarakeavaruus $$\cR(A)$$ on tiedossa, voidaan selvittää, onko matriisiyhtälöllä $$A\bx = \bb$$ ratkaisuja. Sarakeavaruus $$\cR(A)$$ nimittäin koostuu niistä vektoreista $$\bb$$, joita kohden yhtälöllä $$A\bx = \bb$$ on vähintään yksi ratkaisu.

Lause 4.7.1

Olkoon $$A$$ $$m \times n$$-matriisi, sekä $$\bb$$ avaruuden $$\R^m$$ vektori. Yhtälöllä $$A\bx = \bb$$ on ratkaisuja, jos ja vain jos $$\bb \in \cR(A)$$

Näytä/piilota todistus

Oletetaan ensin, että yhtälöllä $$A\bx = \bb$$ on ratkaisuja. Olkoon $$\bv$$ eräs ratkaisu. Tällöin $$A\bv = \bb$$. Nyt sarakeavaruuden määritelmän nojalla $$\bb \in \cR(A)$$.

Oletetaan sitten, että $$\bb \in \cR(A)$$. Nyt sarakeavaruuden määritelmän nojalla on olemassa $$\bv \in \R^n$$, jolle pätee $$A\bv = \bb$$. Siten yhtälöllä $$A\bx = \bb$$ on ratkaisu.

Jos tunnetaan matriisin nolla-avaruus sekä jokin yhtälön ratkaisu, saadaan selville kaikki ratkaisut.

Lause 4.7.2

Olkoon $$A$$ $$m \times n$$-matriisi, sekä $$\bb$$ avaruuden $$\R^m$$ vektori. Olkoon $$\bx_0$$ yhtälön $$A\bx = \bb$$ jokin ratkaisu. Tällöin yhtälön ratkaisut ovat täsmälleen muotoa $$\bx_0 + \by$$, missä $$\by \in \cN(A)$$.

Näytä/piilota todistus

Osoitetaan, että $$\bv \in \R^n$$ on yhtälön $$A\bx = \bb$$ ratkaisu, jos ja vain jos $$\bv=\bx_0 + \by$$ jollakin $$\by \in \cN(A)$$.

Oletetaan ensin, että , että $$\bv \in \R^n$$ on yhtälön $$A\bx = \bb$$ ratkaisu. Nyt täytyy löytää nolla-avaruuden $$\cN(A)$$ alkio $$\by$$, jolle pätee $$\bv=\bx_0 + \by$$. Valitaan $$\by=\bv-\bx_0$$. Nyt

$A(\bv-\bx_0)=A\bv-A\bx_0=\bb-\bb=\nv.$

Siten $$\by \in \cN(A)$$. Lisäksi $$\bv=\bx_0 + \by$$.

Oletetaan sitten, että $$\bv=\bx_0 + \by$$ jollakin $$\by \in \cN(A)$$. On osoitettava, että $$\bv$$ on yhtälön $$A\bx = \bb$$ ratkaisu. Nähdään, että

$A\bv=A(\bx_0 + \by)=A\bx_0 + A\by=\bb+\nv=\bb.$

Siten $$\bv$$ on yhtälön $$A\bx = \bb$$ ratkaisu.

Esimerkki 4.7.3

Olkoon

$\begin{split}A = \begin{augmatrix}{crcc} 1 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ \end{augmatrix}\qquad\text{ja}\qquad \bb = \begin{augmatrix}{r} 1 \\ -1 \end{augmatrix}.\end{split}$

Esitetään yhtälön $$A\bx = \bb$$ ratkaisut muodossa $$\bx_0 + \by$$, missä $$\bx_0$$ on yksittäisratkaisu ja $$\by$$ homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu.

Kirjoitetaan yhtälöryhmä $$A\bx = \bb$$ kokonaismatriisina

$\begin{split}\begin{augmatrix}{crcc|r} 1 & 2 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 1 & -1 \end{augmatrix}.\end{split}$

Kun matriisia muokataan alkeisrivimuuunnoksilla, saadaan redusoitu porrasmatriisi

$\begin{split}\begin{augmatrix}{cccr|c} 1 & 0 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{augmatrix}.\end{split}$

Tästä nähdään, että yhtälöryhmän ratkaisu on

$\begin{split}\begin{cases} x_1 = -(3/2)t - (1/2)s \\ x_2 = 1/2 - (1/4)t + (1/4)s \\ x_3 = t \\ x_4 = s, \end{cases} \qquad \text{missä } t, s \in \R.\end{split}$

Vektorimuodossa kirjoitettuna ratkaisu on

$\begin{split}\bx = \begin{augmatrix}{c} 0 \\ \frac{1}{2}\\ 0 \\0 \end{augmatrix} +t\begin{augmatrix}{r} -\frac{3}{2} \\ -\frac{1}{4}\\ 1 \\0 \end{augmatrix} +s\begin{augmatrix}{r} -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{4}\\ 0 \\1 \end{augmatrix}.\end{split}$

Merkitään

$\begin{split}\bx_0=\begin{augmatrix}{c} 0 \\ \frac{1}{2}\\ 0 \\0 \end{augmatrix} \qquad\text{ja}\qquad\by=t \begin{augmatrix}{r} -\frac{3}{2} \\ -\frac{1}{4}\\ 1 \\0 \end{augmatrix} +s\begin{augmatrix}{r} -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{4}\\ 0 \\1 \end{augmatrix}.\end{split}$

Osoittautuu, että nämä vektorit toteuttava vaaditut ehdot:

$\begin{split}A\bx_0 = \begin{augmatrix}{crcc} 1 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{c} 0 \\ \frac{1}{2}\\ 0 \\0 \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{r} 1 \\ -1 \end{augmatrix} = \bb\end{split}$

ja

$\begin{split}A\by = \begin{augmatrix}{crcc} 1 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{c} -\frac{1}{2}(3t + s) \\ -\frac{1}{4}(t - s) \\ t \\ s \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{c} -\frac{1}{2}(3t + s) - \frac{1}{2}(t - s) + 2t \\ -\frac{1}{2}(3t + s) + \frac{1}{2}(t - s) + t + s \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{c} 0 \\ 0 \end{augmatrix} = \bzero,\end{split}$

joten haluttu esitys on löydetty.

Koska lineaariset yhtälöryhmät voidaan kirjoittaa matriisiyhtälöinä, voidaan tässä osiossa esitettyjä tuloksia soveltaa lineaarisiin yhtälöryhmiin.

Palautusta lähetetään...