\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Sarake- ja nolla-avaruus yhtälönratkaisussa

Aiemmin määriteltiin matriisin sarake- ja nolla-avaruudet. Matriisin \(A\) sarakeavaruus on joukko

\[\cR(A) = \{\by \in \R^m \mid \by = A\bx, \text{ jollakin } \bx \in \R^n\}\]

ja nolla-avaruus joukko

\[\cN(A) = \{\bx \in \R^n \mid A\bx = \bzero\}.\]

Tarkastellaan näihin aliavaruuksiin sisältyvää informaatiota matriisiyhtälön \(A\bx = \bb\) ratkaisun näkökulmasta.

Jos sarakeavaruus \(\cR(A)\) on tiedossa, voidaan selvittää, onko matriisiyhtälöllä \(A\bx = \bb\) ratkaisuja. Sarakeavaruus \(\cR(A)\) nimittäin koostuu niistä vektoreista \(\bb\), joita kohden yhtälöllä \(A\bx = \bb\) on vähintään yksi ratkaisu.

Lause 4.7.1

Olkoon \(A\) \(m \times n\)-matriisi, sekä \(\bb\) avaruuden \(\R^m\) vektori. Yhtälöllä \(A\bx = \bb\) on ratkaisuja, jos ja vain jos \(\bb \in \cR(A)\)

Todistus

Oletetaan ensin, että yhtälöllä \(A\bx = \bb\) on ratkaisuja. Olkoon \(\bv\) eräs ratkaisu. Tällöin \(A\bv = \bb\). Nyt sarakeavaruuden määritelmän nojalla \(\bb \in \cR(A)\).

Oletetaan sitten, että \(\bb \in \cR(A)\). Nyt sarakeavaruuden määritelmän nojalla on olemassa \(\bv \in \R^n\), jolle pätee \(A\bv = \bb\). Siten yhtälöllä \(A\bx = \bb\) on ratkaisu.

Jos tunnetaan matriisin nolla-avaruus sekä jokin yhtälön ratkaisu, saadaan selville kaikki ratkaisut.

Lause 4.7.2

Olkoon \(A\) \(m \times n\)-matriisi, sekä \(\bb\) avaruuden \(\R^m\) vektori. Olkoon \(\bx_0\) yhtälön \(A\bx = \bb\) jokin ratkaisu. Tällöin yhtälön ratkaisut ovat täsmälleen muotoa \(\bx_0 + \by\), missä \(\by \in \cN(A)\).

Todistus

Osoitetaan, että \(\bv \in \R^n\) on yhtälön \(A\bx = \bb\) ratkaisu, jos ja vain jos \(\bv=\bx_0 + \by\) jollakin \(\by \in \cN(A)\).

Oletetaan ensin, että , että \(\bv \in \R^n\) on yhtälön \(A\bx = \bb\) ratkaisu. Nyt täytyy löytää nolla-avaruuden \(\cN(A)\) alkio \(\by\), jolle pätee \(\bv=\bx_0 + \by\). Valitaan \(\by=\bv-\bx_0\). Nyt

\[A(\bv-\bx_0)=A\bv-A\bx_0=\bb-\bb=\nv.\]

Siten \(\by \in \cN(A)\). Lisäksi \(\bv=\bx_0 + \by\).

Oletetaan sitten, että \(\bv=\bx_0 + \by\) jollakin \(\by \in \cN(A)\). On osoitettava, että \(\bv\) on yhtälön \(A\bx = \bb\) ratkaisu. Nähdään, että

\[A\bv=A(\bx_0 + \by)=A\bx_0 + A\by=\bb+\nv=\bb.\]

Siten \(\bv\) on yhtälön \(A\bx = \bb\) ratkaisu.

Esimerkki 4.7.3

Olkoon

\[\begin{split}A = \begin{augmatrix}{crcc} 1 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ \end{augmatrix}\qquad\text{ja}\qquad \bb = \begin{augmatrix}{r} 1 \\ -1 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Esitetään yhtälön \(A\bx = \bb\) ratkaisut muodossa \(\bx_0 + \by\), missä \(\bx_0\) on yksittäisratkaisu ja \(\by\) homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu.

Kirjoitetaan yhtälöryhmä \(A\bx = \bb\) kokonaismatriisina

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{crcc|r} 1 & 2 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 1 & -1 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Kun matriisia muokataan alkeisrivimuuunnoksilla, saadaan redusoitu porrasmatriisi

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{cccr|c} 1 & 0 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{augmatrix}.\end{split}\]

Tästä nähdään, että yhtälöryhmän ratkaisu on

\[\begin{split}\begin{cases} x_1 = -(3/2)t - (1/2)s \\ x_2 = 1/2 - (1/4)t + (1/4)s \\ x_3 = t \\ x_4 = s, \end{cases} \qquad \text{missä } t, s \in \R.\end{split}\]

Vektorimuodossa kirjoitettuna ratkaisu on

\[\begin{split}\bx = \begin{augmatrix}{c} 0 \\ \frac{1}{2}\\ 0 \\0 \end{augmatrix} +t\begin{augmatrix}{r} -\frac{3}{2} \\ -\frac{1}{4}\\ 1 \\0 \end{augmatrix} +s\begin{augmatrix}{r} -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{4}\\ 0 \\1 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Merkitään

\[\begin{split}\bx_0=\begin{augmatrix}{c} 0 \\ \frac{1}{2}\\ 0 \\0 \end{augmatrix} \qquad\text{ja}\qquad\by=t \begin{augmatrix}{r} -\frac{3}{2} \\ -\frac{1}{4}\\ 1 \\0 \end{augmatrix} +s\begin{augmatrix}{r} -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{4}\\ 0 \\1 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Osoittautuu, että nämä vektorit toteuttava vaaditut ehdot:

\[\begin{split}A\bx_0 = \begin{augmatrix}{crcc} 1 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{c} 0 \\ \frac{1}{2}\\ 0 \\0 \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{r} 1 \\ -1 \end{augmatrix} = \bb\end{split}\]

ja

\[\begin{split}A\by = \begin{augmatrix}{crcc} 1 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{c} -\frac{1}{2}(3t + s) \\ -\frac{1}{4}(t - s) \\ t \\ s \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{c} -\frac{1}{2}(3t + s) - \frac{1}{2}(t - s) + 2t \\ -\frac{1}{2}(3t + s) + \frac{1}{2}(t - s) + t + s \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{c} 0 \\ 0 \end{augmatrix} = \bzero,\end{split}\]

joten haluttu esitys on löydetty.

Koska lineaariset yhtälöryhmät voidaan kirjoittaa matriisiyhtälöinä, voidaan tässä osiossa esitettyjä tuloksia soveltaa lineaarisiin yhtälöryhmiin.

Palautusta lähetetään...

Palautus on vastaanotettu.