\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}}\]

Erityisiä matriiseja ja matriisien laskusääntöjä

Seuraavaksi esitellään muutamia matriiseja tai matriisityyppejä, jotka ansaitsevat hyödyllisyytensä vuoksi oman nimen. Neliömatriisi on matriisi, jossa on yhtä monta riviä ja saraketta.

Neliömatriisin alkio on lävistäjällä eli diagonaalilla, jos alkion rivin ja sarakkeen numerot ovat samat. Matriisi, jonka kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat lävistäjällä, on lävistäjämatriisi eli diagonaalimatriisi. Lävistäjämatriisi, jonka kaikki lävistäjäalkiot ovat samoja, on puolestaan skalaarimatriisi. Skalaarimatriisit ovat ykkösmatriisin skalaarimonikertoja. Esimerkiksi

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{crcc} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 15 \end{augmatrix}\end{split}\]

on lävistäjämatriisi ja

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{augmatrix} =2I_3\end{split}\]

on skalaarimatriisi.

Matriiseja, joiden kaikki alkiot ovat nollia, eli jotka ovat muotoa

\[\begin{split}O_{m\times n}= \begin{augmatrix}{cccc} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{augmatrix} \in \R^{m \times n},\end{split}\]

kutsutaan nollamatriiseiksi. Nollamatriisit käyttäytyvät matriisien yhteenlaskun suhteen samalla tavalla kuin nolla lukujen yhteenlaskussa tai nollavektori vektorien yhteenlaskussa: sellaisen lisääminen toiseen matriisiin ei muuta tuota toista matriisia mitenkään.

Toinen tärkeä matriisi on neliömatriisi

\[\begin{split}I_n=\begin{augmatrix}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{augmatrix} \in\R^{n\times n},\end{split}\]

jonka kaikki lävistäjäalkiot ovat ykkösiä. Tällä matriisilla on monta eri nimeä. Sitä kutsutaan ykkösmatriisiksi, yksikkömatriisiksi ja identiteettimatriisiksi. Matriisi \(I\) käyttäytyy matriisikertolaskussa kuten ykkönen käyttäytyy lukujen kertolaskussa.

Samalla tavoin ykkösmatriisit käyttäytyvät matriisikertolaskussa aivan kuten reaaliluku 1 tavallisessa kertolaskussa. Kaikilla \(A\in\R^{m \times n}\) pätee nimittäin

\[I_m A=A \quad \text{ja} \quad A I_n=A.\]

Eri puolilta kerrottaessa on matriisikertolaskun rajoituksen vuoksi käytettävä eri kokoista ykkösmatriisia.

Ykkösmatriisi-termin kanssa on oltava hiukan varovainen, sillä se voi eri aloilla tarkoittaa eri asioita. Esimerkiksi insinööritieteissä se tarkoittaa usein matriisia, jonka kaikki alkiot ovat ykkösiä.

Nollamatriisissa voi olla mikä tahansa määrä rivejä ja sarakkeita. Sen sijaan ykkösmatriisissa on aina yhtä paljon rivejä ja sarakkeita. Jos matriisin tyypistä ei ole epäselvyyttä, saatetaan merkitä yksinkertaisemmin \(O_{m\times n}=O\) ja \(I_n=I\).

Matriisien laskutoimitukset noudattavat tiettyjä sääntöjä, jotka monessa kohdassa muistuttavat lukujen laskusääntöjä.

Lause 3.4.1

Seuraavat säännöt pätevät matriiseille \(A\), \(B\) ja \(C\) sekä reaaliluvuille \(a\) ja \(b\), jos laskutoimitukset on määritelty:

  1. \(A+B=B+A\)
  2. \(A+(B+C)=(A+B)+C\)
  3. \(A(BC)=(AB)C\)
  4. \(A(B+C)=AB+AC\)
  5. \((A+B)C=AC+BC\)
  6. \((ab)A=a(bA)\)
  7. \(a(AB)=(aA)B=A(aB)\).

Kuten aiemmin on jo mainittu, yleisessä tapauksessa \(AB\neq BA\), eli tulon vaihdannaisuus ei päde matriiseilla. Myöskään tulon nollasääntö ei päde matriiseilla: kahden matriisin tulo voi olla nollamatriisi, vaikka kumpikaan tulon tekijöistä ei ole nollamatriisi.

Näytä/piilota todistus

Osoitetaan esimerkin vuoksi kohta 4. Oletetaan, että \(A \in \R^{m \times n}\) ja \(B,C \in \R^{n \times p}\). Nyt \(A(B+C)\) ja \(AB+AC\) ovat molemmat \(m \times p\) -matriiseja. On osoitettava, että kyseisten matriisien alkiot ovat samoja. Olkoot sitä varten \(i \in \{1,2,\dots,m\}\) ja \(j\in \{1,2,\dots,p\}\). Nähdään, että

\[\begin{split}\begin{aligned} \bigl(A(B+C)\bigr)(i,j)&=\sum_{k=1}^n A(i,k)\cdot (B+C)(k,j) \\ & =\sum_{k=1}^n A(i,k) \bigl(B(k,j)+C(k,j)\bigr) \\ & =\sum_{k=1}^n \bigl(A(i,k)B(k,j)+A(i,k)C(k,j)\bigr) \\ & =\sum_{k=1}^n A(i,k)B(k,j)+\sum_{k=1}^nA(i,k)C(k,j) \\ & =(AB)(i,j)+(AC)(i,j)=(AB+AC)(i,j). \end{aligned}\end{split}\]

Koska matriisit \(A(B+C)\) ja \(AB+AC\) ovat samankokoisia ja niillä on täsmälleen samat alkiot, pätee \(A(B+C)=AB+AC\).

  • Kun nollamatriisin \(O\) laskee yhteen toisen matriisin kanssa, ei tapahdu mitään.
  • Kun ykkösmatriisilla \(I\) kertoo toista matriisia, ei tapahdu mitään.
  • Matriisien laskutoimituksille pätevät monet samat laskusäännöt kuin reaalilukujen laskututoimituksille.
  • Joidenkin laskusääntöjen suhteen matriisit kuitenkin käyttäytyvät eri tavalla kuin reaaliluvut. Matriisitulo ei esimerkiksi ole vaihdannainen eikä sille päde tulon nollasääntö.
  • Kun sievennät lausekkeita matriisien laskusääntöjen avulla, mieti aina tarkkaan, päteekö soveltamasi laskusääntö!
Palautusta lähetetään...