\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Erityisiä matriiseja ja matriisien laskusääntöjä

Seuraavaksi esitellään muutamia matriiseja tai matriisityyppejä, jotka ansaitsevat hyödyllisyytensä vuoksi oman nimen. Matriiseja, joiden kaikki alkiot ovat nollia, eli jotka ovat muotoa

\[\begin{split}O_{m\times n}= \begin{augmatrix}{cccc} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{augmatrix} \in \R^{m \times n},\end{split}\]

kutsutaan nollamatriiseiksi. Ykkösmatriiseja puolestaan ovat matriisit

\[\begin{split}I_n=\begin{augmatrix}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{augmatrix} \in\R^{n\times n}.\end{split}\]

Ykkösmatriiseja kutsutaan myös yksikkömatriiseiksi tai identiteettimatriiseiksi.

Nollamatriisissa voi olla mikä tahansa määrä rivejä ja sarakkeita. Sen sijaan ykkösmatriisissa on aina yhtä paljon rivejä ja sarakkeita. Jos matriisin tyypistä ei ole epäselvyyttä, saatetaan merkitä yksinkertaisemmin \(O_{m\times n}=O\) ja \(I_n=I\).

Nollamatriisit käyttäytyvät matriisien yhteenlaskun suhteen samalla tavalla kuin nolla lukujen yhteenlaskussa (tai nollavektori vektorien yhteenlaskussa): sellaisen lisääminen toiseen matriisiin ei muuta tuota toista matriisia mitenkään. Samalla tavoin ykkösmatriisit käyttäytyvät matriisikertolaskussa aivan kuten reaaliluku 1 tavallisessa kertolaskussa. Kaikilla \(A\in\R^{m \times n}\) pätee nimittäin

\[I_m A=A \quad \text{ja} \quad A I_n=A.\]

Eri puolilta kerrottaessa on matriisikertolaskun rajoituksen vuoksi käytettävä eri kokoista ykkösmatriisia.

Neliömatriisi on matriisi, jossa on yhtä monta riviä ja saraketta. Esimerkiksi ykkösmatriisit ovat neliömatriiseja.

Neliömatriisin alkio on lävistäjällä eli diagonaalilla, jos alkion rivin ja sarakkeen numerot ovat samat. Matriisi, jonka kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat lävistäjällä, on lävistäjämatriisi eli diagonaalimatriisi. Lävistäjämatriisi, jonka kaikki lävistäjäalkiot ovat samoja, on puolestaan skalaarimatriisi. Skalaarimatriisit ovat ykkösmatriisin skalaarimonikertoja. Esimerkiksi

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{crcc} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 15 \end{augmatrix}\end{split}\]

on lävistäjämatriisi ja

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{augmatrix} =2I_3\end{split}\]

on skalaarimatriisi.

Matriisien laskutoimitukset noudattavat tiettyjä sääntöjä, jotka monessa kohdassa muistuttavat lukujen laskusääntöjä.

Lause 3.4.1

Seuraavat säännöt pätevät matriiseille \(A\), \(B\) ja \(C\) sekä reaaliluvuille \(a\) ja \(b\), jos laskutoimitukset on määritelty:

  1. \(A+B=B+A\)
  2. \(A+(B+C)=(A+B)+C\)
  3. \(A(BC)=(AB)C\)
  4. \(A(B+C)=AB+AC\)
  5. \((A+B)C=AC+BC\)
  6. \((ab)A=a(bA)\)
  7. \(a(AB)=(aA)B=A(aB)\).

Kuten aiemmin on jo mainittu, yleisessä tapauksessa \(AB\neq BA\), eli tulon vaihdannaisuus ei päde matriiseilla. Myöskään tulon nollasääntö ei päde matriiseilla: kahden matriisin tulo voi olla nollamatriisi, vaikka kumpikaan tulon tekijöistä ei ole nollamatriisi.

Todistus

Osoitetaan esimerkin vuoksi kohta 4. Oletetaan, että \(A \in \R^{m \times n}\) ja \(B,C \in \R^{n \times p}\). Nyt \(A(B+C)\) ja \(AB+AC\) ovat molemmat \(m \times p\) -matriiseja. On osoitettava, että kyseisten matriisien alkiot ovat samoja. Olkoot sitä varten \(i \in \{1,2,\dots,m\}\) ja \(j\in \{1,2,\dots,p\}\). Nähdään, että

\[\begin{split}\begin{aligned} \bigl(A(B+C)\bigr)(i,j)&=\sum_{k=1}^n A(i,k)\cdot (B+C)(k,j) \\ & =\sum_{k=1}^n A(i,k) \bigl(B(k,j)+C(k,j)\bigr) \\ & =\sum_{k=1}^n \bigl(A(i,k)B(k,j)+A(i,k)C(k,j)\bigr) \\ & =\sum_{k=1}^n A(i,k)B(k,j)+\sum_{k=1}^nA(i,k)C(k,j) \\ & =(AB)(i,j)+(AC)(i,j)=(AB+AC)(i,j). \end{aligned}\end{split}\]

Koska matriisit \(A(B+C)\) ja \(AB+AC\) ovat samankokoisia ja niillä on täsmälleen samat alkiot, pätee \(A(B+C)=AB+AC\).

Palautusta lähetetään...

Palautus on vastaanotettu.