\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Käänteismatriisi

Matriiseille ei ole määritelty jakolaskua. Joissakin tapauksissa tämä puute voidaan korjata käyttämällä niin sanottuja käänteismatriiseja, jotka toimivat samalla tavalla kuin käänteisluvut tavallisten lukujen kertolaskussa. Toisin sanoen käänteismatriisilla kertominen ajaa saman asian kuin jakaminen. Pian tullaan kuitenkin valitettavasti huomaamaan, että kaikilla matriiseilla ei ole käänteismatriisia.

Esimerkiksi luvun \(3\) käänteisluku on \(\frac{1}{3}\). Luvun ja sen käänteisluvun tulo on yksi, ja tässä tapauksessa siis \(3 \cdot \frac{1}{3}=1\). Matriisilla ja sen käänteismatriisilla on sama ominaisuus: niiden tulo on ykkösmatriisi \(I\). Koska matriisikertolasku ei ole vaihdannainen, täytyy käänteismatriisin määritelmässä varmistaa, että vastaukseksi tulee ykkösmatriisi kerrottiin matriiseja sitten kummin päin tahansa. Siksi määritelmässä on kaksi ehtoa.

Määritelmä 3.6.1

Oletetaan, että \(A \in \R^{n\times n}\). Jos on olemassa saman \(B \in \R^{n\times n}\), jolle pätee

\[AB=I \quad \text{ja} \quad BA=I,\]

sanotaan, että \(A\) on kääntyvä ja \(B\) on matriisin \(A\) käänteismatriisi.

Käänteismatriisin määritelmässä rajoitutaan vain neliömatriiseihin. On itse asiassa mahdollista osoittaa, että kääntyvän matriisin ehdot eivät voi mitenkään päteä muille kuin neliömatriiseille. Kannattaa kuitenkin pitää mielessä, että edes kaikilla neliömatriiseilla ei ole käänteismatriisia.

Kääntyviä matriiseja kutsutaan myös säännöllisiksi matriiseiksi. Sellaisia matriiseja, joilla ei ole käänteismatriisia, voidaan kutsua singulaarisiksi.

Esimerkki 3.6.2

Osoitetaan, että matriisin

\[\begin{split}A=\begin{augmatrix}{crc} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{augmatrix}\end{split}\]

käänteismatriisi on

\[\begin{split}B=\begin{augmatrix}{rcr} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{augmatrix}\end{split}\]

laskemalla määritelmän vaatimat kertolaskut:

\[\begin{split}AB= \begin{augmatrix}{crc} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{rcr} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{augmatrix} =\begin{augmatrix}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{augmatrix}\end{split}\]

ja

\[\begin{split}BA= \begin{augmatrix}{rcr} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{crc} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{augmatrix} =\begin{augmatrix}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Koska \(AB=I\) ja \(BA=I\), matriisi \(B\) on matriisin \(A\) käänteismatriisi.

Esimerkki 3.6.3

Läheskään kaikilla matriiseilla ei ole käänteismatrisia. Osoitetaan, että vaikkapa matriisilla

\[\begin{split}A=\begin{augmatrix}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{augmatrix}\end{split}\]

ei ole käänteismatriisia. Oletetaan vastoin väitettä, että

\[\begin{split}B=\begin{augmatrix}{cc} a&b\\ c&d \end{augmatrix}\end{split}\]

on matriisin \(A\) käänteismatriisi. Nyt \(AB=I\) eli

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{cc} a&b\\ c&d \end{augmatrix} =\begin{augmatrix}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{augmatrix}.\end{split}\]

Laskemalla yhtälön vasemmalla puolella oleva matriisitulo, saadaan

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{cc} a & b \\ a & b \end{augmatrix} =\begin{augmatrix}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{augmatrix}.\end{split}\]

Nyt matriisien vasemmanpuoleisista sarakkeista nähdään, että \(a=0\) ja toisaalta \(a=1\). Päädytään siis ristiriitaan. Näin ollen matriisilla \(A\) ei ole käänteismatriisia.

Lause 3.6.4

Matriisilla on korkeintaan yksi käänteismatriisi.

Todistus

Oletetaan, että matriisilla \(A\) on käänteismatriisit \(B\) ja \(B'\). Silloin pätee muun muassa \(AB' = I\) ja \(BA = I\). Saadaan pääteltyä, että

\[B=BI=B(AB')=(BA)B'=IB'=B'.\]

Yllä olevan yhtälöketjun perusteella \(B\) ja \(B'\) ovat välttämättä sama matriisi. Näin ollen matriisin \(A\) käänteismatriiseja ei voi olla enempää kuin yksi.

Jos matriisi \(A\) on kääntyvä, sen käänteismatriisille käytetään merkintää \(A^{-1}\). Huomaa, että merkintää \(A^{-1}\) ei voi käyttää ennen kuin on varmistanut, että matriisi \(A\) todella on kääntyvä. Seuraava lause auttaa joidenkin matriisien käänteismatriisien löytämisessä.

Lause 3.6.5

Oletetaan, että matriisit \(A\) ja \(B\) ovat kääntyviä. Tällöin myös matriisit \(A^{-1}\), \(AB\) ja \(\tp{A}\) ovat kääntyviä, ja niiden käänteismatriisit ovat seuraavat:

  1. \((A^{-1})^{-1} = A\)
  2. \((\tp{A})^{-1} = \tp{(A^{-1})}\)
  3. \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\).
Todistus

Lauseen matriisit osoitetaan kääntyviksi näyttämällä kussakin tapauksessa, että väitetty käänteismatriisi todella on matriisin käänteismatriisi.

  1. Käänteismatriisin määritelmän mukaan \(AA^{-1}=I\) ja \(A^{-1}A=I\). Tämä tarkoittaa saman määritelmän mukaan myös sitä, että \(A\) on matriisin \(A^{-1}\) käänteismatriisi. Siispä \(A^{-1}\) on kääntyvä ja voidaan lisäksi merkitä \((A^{-1})^{-1}=A\).

  2. Osoitetaan, että matriisin \(\tp{A}\) käänteismatriisi on \(\tp{(A^{-1})}\). Lauseen 3.5.4 nojalla pätee

    \[\tp{A}\tp{(A^{-1})}=\tp{(A^{-1}A)}=\tp{I}=I.\]

    Samalla tavalla osoitetaan, että \(\tp{(A^{-1})}\tp{A}=I\). Siten \(\tp{(A^{-1})}\) on matriisin \(\tp{A}\) käänteismatriisi. Tästä seuraa myös, että matriisi \(\tp{A}\) on kääntyvä.

  3. Matriisia \(AB\) koskevan väitteen todistaminen jätetään harjoitustehtäväksi.

\(2\times 2\) -matriisin käänteismatriisi

Matriiseille, joiden koko on \(2\times 2\), on olemassa erityinen kaava käänteismatriisin löytämiseksi.

Lause 3.6.6

Matriisi

\[\begin{split}A=\begin{augmatrix}{cc} a & b\\ c & d \end{augmatrix}\end{split}\]

on kääntyvä, jos ja vain jos \(ad-bc \neq 0\). Jos matriisi \(A\) on kääntyvä, sen käänteismatriisi on

\[\begin{split}\frac{1}{ad-bc} \begin{augmatrix}{cc} d & -b\\ -c & a \end{augmatrix}.\end{split}\]
Todistus

Oletetaan, että \(ad-bc \neq 0\). Merkitään

\[\begin{split}B=\frac{1}{ad-bc} \begin{augmatrix}{rr} d & -b\\ -c & a \end{augmatrix}.\end{split}\]

Laskemalla voidaan todeta, että \(AB=I\) ja \(BA=I\). Siten \(B\) on matriisin \(A\) käänteismatriisi ja \(A\) on kääntyvä.

Oletetaan sitten, että \(ad-bc=0\) ja osoitetaan, että matriisi \(A\) ei tällöin ole kääntyvä. Nyt on tutkittavana kaksi eri tapausta: joko \(a=0\) tai \(a \neq 0\). Jos \(a=0\), niin oletuksesta seuraa, että \(bc=0\). Siten joko \(b=0\) tai \(c=0\). Tällöin

\[\begin{split}A=\begin{augmatrix}{cc} 0 & 0\\ c & d \end{augmatrix} \quad \text{tai} \quad A=\begin{augmatrix}{cc} 0 & b\\ 0 & d \end{augmatrix}.\end{split}\]

Kummassakaan tapauksessa ei ole olemassa matriisia \(B\), jolle pätee \(AB=I\) ja \(BA = I\). Ensimmäisessä tapauksessa tuloon \(AB\) tulee nimittäin välttämättä nollarivi ja jälkimmäisessä tapauksessa tuloon \(BA\) tulee välttämättä nollasarake. Siten \(A\) ei ole kääntyvä.

Tutkitaan sitten tapaus \(a \neq 0\). Nyt \(d=bc/a\) ja

\[\begin{split}A=\begin{augmatrix}{cc} a & b\\ c & bc/a \end{augmatrix}.\end{split}\]

Oletetaan, että on olemassa sellainen matriisi

\[\begin{split}B=\begin{augmatrix}{cc} x & y\\ z & w \end{augmatrix},\end{split}\]

että \(AB=I\). Tällöin

\[\begin{split}AB=\begin{augmatrix}{cc} a & b\\ c & bc/a \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{cc} x & y\\ z & w \end{augmatrix} =\begin{augmatrix}{cc} ax+bz & ay+bw\\ cx+bcz/a & cy+bcw/a \end{augmatrix} =\begin{augmatrix}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{augmatrix},\end{split}\]

eli

\[\begin{split}\left\{ \begin{aligned} ax+bz & =1 \\ ay+bw & =0 \\ cx+bcz/a & =0 \\ cy+bcw/a & =1. \end{aligned} \right.\end{split}\]

Kolmannen yhtälön perusteella \(c(x+bz/a)=0\). Jos \(c=0\), päädytään samankaltaiseen tilanteeseen kuin silloin, kun \(a=0\). Siten voidaan olettaa, että \(c \neq 0\). Tällöin täytyy päteä \(x+bz/a=0\) eli \(x=-bz/a\). Toisaalta ensimmäisen yhtälön perusteella \(x=(1-bz)/a\). Nyt \(-bz=1-bz\), joten \(1=0\). Tämä on mahdotonta. Siten matriisilla \(A\) ei ole käänteismatriisia.

Suurempien kuin \(2\times 2\) -matriisien käänteismatriisien laskemiseksi ei helppoa kaavaa. On kuitenkin olemassa menetelmä, jolla voidaan aina selvittää, onko matriisi kääntyvä. Jos matriisin on kääntyvä, voidaan menetelmän avulla lisäksi selvittää sen käänteismatriisi. Tähän menetelmään tutustutaan myöhemmin.

Edellisessä lauseessa esiintynyttä lukua \(ad-bc\) kutsutaan matriisin \(A\) determinantiksi. Se määrittää, onko matriisi kääntyvä.

Määritelmä 3.6.7

Matriisin

\[\begin{split}A=\begin{augmatrix}{cc} a & b \\ c & d \end{augmatrix}\end{split}\]

determinantti on \(\det(A)=ad-bc\).

Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:

\[\begin{split}\det(A)=\begin{vaugmatrix}{cc} a & b \\ c & d \end{vaugmatrix}.\end{split}\]

Esimerkki 3.6.8

Matrisiin

\[\begin{split}M=\begin{augmatrix}{cr} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{augmatrix}\end{split}\]

determinantti on \(\det(M)=1 \cdot 4-(-1)\cdot 2=4+2=6\).

Matriisille, jonka koko on \(2\times 2\), voi käyttää determinantin laskemiseen kuvassa 1 esitettyä muistisääntöä. Piirretään matriisin poikki vinoviivat. Samalla viivalla olevat alkiot kerrotaan keskenään. Jos viiva on lävistäjän suuntainen, tulee tulon eteen plusmerkki ja muutoin miinusmerkki. Lopuksi tulot summataan.

../_images/kuva77.svg

Kuva 1. Muistisääntö \(2 \times 2\) -matriisin determinantin laskemiseksi.

Lauseesta 3.6.6 sekä determinantin määritelmästä seuraa suoraan seuraava tulos.

Lause 3.6.9

Oletetaan, että \(A\) on \(2 \times 2\) -matriisi. Matriisi \(A\) on kääntyvä, jos ja vain jos \(\det(A) \neq 0\).

Determinantti voidaan määritellä myös suuremmille kuin tyypin \(2\times 2\) neliömatriiseille. Näidenkin matriisien tapauksessa determinantti kertoo, onko matriisi kääntyvä vai ei. Tähän palataan myöhemmin.

Jos neliömatriisin determinantti on nollasta poikkeava, niin
Palautusta lähetetään...

Palautus on vastaanotettu.