\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Matriisit kuvauksina

Seuraavassa videossa näytetään, kuinka matriiseja voi ajatella kuvauksina. Tätä kautta saadaan myös havainnollistus matriisikertolaskulle.

Matriisia voidaan ajatella kuvauksena, joka kuvaa vektoreita toisiksi vektoreiksi kertolaskun avulla. Esimerkiksi matriisi

\[\begin{split}A=\begin{augmatrix}{cc} 2 & 0\\ 0 & 1 \end{augmatrix}\end{split}\]

tuottaa kuvauksen, joka kuvaa \(\R^2\) vektorin \(\bx\) vektoriksi \(A\bx\). Esimerkiksi vektori \(\bx=(-4,3)\) kuvautuu vektoriksi

\[\begin{split}A\bx=\begin{augmatrix}{cc} 2 & 0\\ 0 & 1 \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{r} -4 \\ 3 \end{augmatrix}= \begin{augmatrix}{r} -8 \\ 3 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Toisin sanoen \((-4,3) \mapsto (-8,3)\). Yleisesti vektori \(\bx \in \R^2\) kuvautuu kuvauksessa vektoriksi

\[\begin{split}A\bx=\begin{augmatrix}{cc} 2 & 0\\ 0 & 1 \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{c} x_1\\ x_2 \end{augmatrix}= \begin{augmatrix}{c} 2x_1\\ x_2 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Toisin sanoen \((x_1,x_2) \mapsto (2x_1,x_2)\). Vektorin ensimmäinen komponentti siis kaksinkertaistuu ja toinen kompontentti pysyy samana. Niinpä matriisi \(A\) venyttää vektoreita vaaka-akselin suunnassa (kuva 1).

../_images/matriisiVenytys.svg

Kuva 1. Matriisi \(A\) venyttää vektoreita vaaka-akselin suunnassa.

Tutkitaan, sitten millaisen kuvauksen määrää matriisi

\[\begin{split}B=\begin{augmatrix}{rc} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Vektori \(\bx \in \R^2\) kuvautuu kuvauksessa vektoriksi

\[\begin{split}B\bx =\begin{augmatrix}{rc} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{c} x_1\\ x_2 \end{augmatrix}= \begin{augmatrix}{r} -x_1\\ x_2 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Toisin sanoen \((x_1,x_2) \mapsto (-x_1,x_2)\). Matriisi \(B\) peilaa vektorit \(x_2\)-akselin suhteen (kuva 2).

../_images/matriisiPeilaus1.svg

Kuva 2. Matriisi \(B\) peilaa vektorit pystyakselin suhteen.

Tutkitaan vielä matriisin

\[\begin{split}C=\begin{augmatrix}{cr} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{augmatrix}\end{split}\]

määräämää kuvausta. Vektori \(\bx \in \R^2\) kuvautuu kuvauksessa vektoriksi

\[\begin{split}C\bx =\begin{augmatrix}{cr} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{c} x_1\\ x_2 \end{augmatrix}= \begin{augmatrix}{r} -x_2\\ x_1 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Toisin sanoen \((x_1,x_2) \mapsto (-x_2,x_1)\). Matriisi \(C\) kiertää vektoreita kulman \(\pi/2\) verran vastapäivään eli positiiviseen kiertosuuntaan (kuva 3). Voidaan osoittaa, että matriisin

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{cr} \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{augmatrix}\end{split}\]

määräämä lineaarikuvaus kiertää vektoreita origon ympäri kulman \(\varphi\) verran (vastapäivään, jos \(\varphi > 0\), ja myötäpäivään, jos \(\varphi < 0\)).

../_images/matriisiKierto.svg

Kuva 3. Matriisi \(C\) kiertää vektoreita kulman \(\pi/2\) verran positiiviseen kiertosuuntaan.

Tarkastellaan lopuksi matriisia

\[\begin{split}P=\begin{augmatrix}{cc} 1&0\\ 0&0 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Vektori \(\bx \in \R^2\) kuvautuu kuvauksessa vektoriksi

\[\begin{split}P\bx =\begin{augmatrix}{cc} 1&0\\ 0&0 \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{c} x_1\\ x_2 \end{augmatrix}= \begin{augmatrix}{c} x_1 \\ 0 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Toisin sanoen \((x_1,x_2) \mapsto (x_1,0)\). Matriisi \(P\) projisoi vektorit vaaka-akselille (kuva 4).

../_images/matriisiProjektio.svg

Kuva 4. Matriisi \(P\) projisoi vektorit vaaka-akselille.

Kun matriisia ajatellaan kuvauksena, matriisin sarakkeina ovat luonnollisen kannan vektoreiden kuvavektorit. Esimerkiksi edellä esitetyn matrisiin \(A\) sarakkeet ovat \(A\be_1\) ja \(A\be_2\), missä \(\be_1=(1,0)\) ja \(\be_2=(0,1)\). Tämä seuraa suoraan lauseesta 3.2.11, jonka nojalla matriisin tulo luonnollisen kannan vektorin kanssa poimii matriisista vastaavan sarakkeen.

Kun matriiseja ajatellaan kuvauksina, matriisitulo vastaa sitä, että kaksi kuvausta tehdään peräkkäin. Toisin sanoen matriisitulo vastaa yhdistettyä kuvausta.

Tutkitaan, mitä matriisien yhdistetty kuvaus näyttää geometrisesti. Tehdään ensin peilaus \(B\) ja sitten kierto \(C\). Yhdistetty kuvaus ensin peilaa vektorit pysty-akselin suhteen ja sen jälkeen kiertää niitä kulman \(\pi/2\) verran vastapäivään (ks. kuva 5).

../_images/yhdistettyKuvaus1.svg
../_images/yhdistettyKuvaus2.svg

Kuva 5. Ylemmässä kuvassa näytetään, mitä vektoreille tapahtuu, kun niitä kerrotaan ensin matriisilla \(B\) ja sitten matriisilla \(C\). Alemmassa kuvassa sama saadaan aikaan kertomalla vektoreita matriisilla \(CB\).

Tutkitaan sitten, miten yhdistetty kuvaus lasketaan. Kun vektoria \(\bx \in \R^2\) kuvataan matriisilla \(B\), saadaan vektori \(B\bx\). Kun tätä tulosvektoria kuvataan matriisilla \(C\) saadaan vektori \(C(B\bx)\). Matriisien laskusääntöjen (lause 3.4.1) nojalla tämä on sama asia kuin \((CB)\bx\). Toisin sanoen tulomatriisi \(CB\) on kuvaus, joka ensin kiertää ja sitten peilaa vektoreita.

Ensi alkuun voi tuntua siltä, että matriisit ovat tulomatriisissa väärin päin. Jos peilaus \(B\) tehdään ensin, miksi se on tulossa \(CB\) vasta toisena tulon tekijänä? Tämä kuitenkin johtuu tavasta, jolla kuvauksia kirjoitetaan. Kuvaus \(B\) kirjoitetaan alkion \(\bx\) vasemmalle puolelle (\(B\bx\)). Siksi tulossa \(CB\) kuvaus \(B\) tehdään ensin.

Palautusta lähetetään...

Palautus on vastaanotettu.