\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Matriisien laskutoimituksia

Matriiseille, kuten vektoreillekin, voidaan määritellä erilaisia laskutoimituksia. Osa niistä muistuttaa läheisesti vektorien vastaavia laskutoimituksia.

Matriisien yhteenlasku

Matriisien yhteenlasku määritellään seuraavasti. Olkoot \(A,B\in\R^{m\times n}\). Matriisien \(A\) ja \(B\) summa saadaan laskemalla yhteen matriisien vastinsarakkeet:

\[A+B=\begin{augmatrix}{cccc} \ba_1+\bb_1 & \ba_2+\bb_2 &\cdots &\ba_n+\bb_n \end{augmatrix}.\]

Tuloksena on \(m\times n\) -matriisi.

Sama asia voidaan sanoa toteamalla, että summamatriisi saadaan laskemalla yhteen samoissa kohdissa olevat alkiot:

\[(A+B)(i,j)=A(i,j)+B(i,j)\]

kaikilla \(i\in\{1,\dots,m\}\) ja \(j\in\{1,\dots,n\}\).

Esimerkiksi

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{augmatrix} +\begin{augmatrix}{cr} 2 & -1 \\ 0 & 1 \\ 3 & 2 \end{augmatrix} =\begin{augmatrix}{cc} 1+2 & 2+(-1) \\ 3+0 & 4+1 \\ 5+3 & 6+2 \end{augmatrix} =\begin{augmatrix}{cc} 3 & 1 \\ 3 & 5 \\ 8 & 8 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Vain samankokoisia matriiseja voidaan laskea yhteen.

Skalaarikertolasku

Minkä tahansa matriisin voi kertoa reaaliluvulla ja tätä toimitusta kutsutaan skalaarikertolaskuksi. Reaaliluvun \(c\) ja matriisin \(A\in\R^{m \times n}\) ja tulo saadaan kertomalla matriisin sarakkeet luvulla \(c\):

\[cA = \begin{augmatrix}{cccc} c\ba_1 & c\ba_2 & \cdots & c\ba_n \end{augmatrix}.\]

Saatava tulos on \(m \times n\) -matriisi, jota nimitetään matriisin \(A\) skalaarimonikerraksi.

Sama asia voidaan sanoa toteamalla, että skalaarimatriisi saadaan kertomalla matriisin \(A\) jokaista alkiota luvulla \(c\):

\[(cA)(i,j)=c\cdot A(i,j)\]

kaikilla \(i\in\{1,\dots,m\}\) ja \(j\in\{1,\dots,n\}\).

Esimerkiksi

\[\begin{split}2\begin{augmatrix}{cr} 2 & -1 \\ 0 & 1 \\ 3 & 2 \end{augmatrix} =\begin{augmatrix}{cc} 2\cdot 2 & 2\cdot(-1) \\ 2\cdot 0 & 2\cdot 1 \\ 2\cdot 3 & 2\cdot 2 \end{augmatrix} =\begin{augmatrix}{cr} 4 & -2 \\ 0 & \phantom{-}2 \\ 6 & \phantom{-}4 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Matriisia \((-1)A\) on tapana merkitä \(-A\). Matriisisummaa \(A+(-B)\) merkitään \(A-B\) ja sitä kutsutaan matriisien \(A\) ja \(B\) erotukseksi.

Matriisin ja vektorin tulo

Pohdi 3.2.1

Opiskelijoiden päivittäinen matkustaminen riippuu edellisestä päivästä seuraavasti. Opiskelijoista, jotka tulivat yliopistolle julkisella liikenteellä, saapuu julkisella liikenteellä seuraavana päivänä \(80~\%\) ja polkupyörällä \(20~\%\). Opiskelijoista, jotka tulivat yliopistolle pyörällä, tulee seuraavana päivänä julkisella liikenteellä \(30~\%\) ja pyörällä \(70~\%\). Eräänä päivänä yliopistolle tuli julkisella liikenteellä \(1000\) opiskelijaa ja pyörällä \(200\) opiskelijaa.

Kuinka monta opiskelijaa tuli yliopistolle julkisella liikenteellä seuraavana päivänä? Entä pyörällä?

Matriiseille voidaan määritellä myös matriisikertolasku. Tämä laskutoimitus on hieman monimutkaisempi kuin edellä määritellyt eikä mitään vastaavaa ole olemassa vektoreille.

Ennen kuin tutkitaan kahden matriisin välistä tuloa, tarkastellaan sen erikoistapausta, matriisin ja vektorin välistä kertolaskua. Tehdään se edellä esitetyn pohdintatehtävän avulla. Opiskelijoiden käyttäytymiseen liittyvät tiedot voidaan tallentaa matrisiin

\[\begin{split}A=\begin{augmatrix}{cc} 0{,}8 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}7 \\ \end{augmatrix}.\end{split}\]

Tehtävässä kuvatun päivän tilannetta puolestaan kuvaa vektori

\[\begin{split}\bv=\begin{augmatrix}{cc} 1000 \\ 200 \\ \end{augmatrix}.\end{split}\]

Seuraavan päivänä julkista liikennettä käytti \(0{,}8\cdot 1000+0{,}2\cdot 200\) opiskelijaa. Polkupyörää puolestaan käytti \(0{,}3\cdot 1000+0{,}7\cdot 200\) opiskelijaa. Seuraavan päivän tilannetta kuvaa siis vektori

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{c} 0{,}8\cdot 1000+0{,}3\cdot 200 \\ 0{,}2\cdot 1000+0{,}7\cdot 200 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Tämä vektori voidaan kirjoittaa muodossa

\[\begin{split}1000 \begin{augmatrix}{c} 0{,}8 \\ 0{,}2 \end{augmatrix}+ 200 \begin{augmatrix}{c} 0{,}3 \\ 0{,}7 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Tämän vektorin sanotaan olevan matriisin \(A\) ja vektorin \(\bv\) tulo. Toisin sanoen

\[\begin{split}A\bv=\begin{augmatrix}{cc} 0{,}8 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}7 \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{c} 1000 \\ 200 \end{augmatrix} =1000 \begin{augmatrix}{c} 0{,}8 \\ 0{,}2 \end{augmatrix}+ 200 \begin{augmatrix}{c} 0{,}3 \\ 0{,}7 \end{augmatrix}= \begin{augmatrix}{c} 860 \\ 340 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Matrisiin ja vektorin tulo lasketaan siis kertomalla vektorin komponenteilla matriisin sarakkeita ja summaamalla näin saadut vektorit yhteen. Opiskelijoiden matkustamista käsittelevän esimerkin tapauksessa tulo kertoo seuraavan päivän tilanteen, kun jonkin tietyn päivän tilanne tiedetään.

Määritelmä 3.2.2

Matriisin \(A \in \R^{m \times n}\) ja vektorin \(\bv \in \R^n\) tulo on

\[\begin{split}A\bv = \begin{augmatrix}{cccc} \ba_1 & \ba_2 & \cdots & \ba_n \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{c} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{augmatrix} = v_1\ba_1 + v_2\ba_2 + \cdots + v_n\ba_n.\end{split}\]

Tässä vektorit \(\ba_1, \ba_2, \ldots, \ba_n\) ovat matriisin \(A\) sarakkeet ja reaaliluvut \(v_1, v_2, \ldots, v_n\) vektorin \(\bv\) komponentit.

Huomaa, että kaikkia matriiseja ja vektoreita ei voi kertoa keskenään. Jotta matriisilla voi kertoa vektoria, täytyy matrisiin rivissä olla yhtä monta alkiota kuin vektorissa komponentteja.

Esimerkki 3.2.3

Lasketaan matriisin

\[\begin{split}A=\begin{augmatrix}{crr} 1 & 4 & -2\\ 2 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 7\\ 3 & -3 & 6 \end{augmatrix}\end{split}\]

ja vektorin

\[\begin{split}\bv=\begin{augmatrix}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{augmatrix}\end{split}\]

tulo.

Matriisin ja vektorin tulon laskemiseksi jokainen matriisin \(A\) sarake kerrotaan vastaavalla vektorin \(\bv\) komponentilla ja tulokset lasketaan yhteen:

\[\begin{split}A\bv = 1 \cdot \begin{augmatrix}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 3 \end{augmatrix} + 2 \cdot \begin{augmatrix}{r} 4 \\ 0 \\ 1 \\ -3 \end{augmatrix} + 3 \cdot \begin{augmatrix}{r} -2 \\ 3 \\ 7 \\ 6 \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 3 \end{augmatrix} + \begin{augmatrix}{r} 8 \\ 0 \\ 2 \\ -6 \end{augmatrix} + \begin{augmatrix}{r} -6 \\ 9 \\ 21 \\ 18 \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{c} 3 \\ 11 \\ 23 \\ 15 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Matriisin \(A \in \R^{m \times n}\) ja vektorin \(\bv \in \R^n\) tulo voidaan kirjoittaa myös toisenlaisessa muodossa pistetulon avulla. Olkoot \(\br_1,\ldots,\br_m\) matriisin \(A\) rivit. Nyt

\[\begin{split}A\bv = \begin{augmatrix}{c} \br_1 \cdot \bv \\ \br_2 \cdot \bv \\ \vdots \\ \br_m \cdot \bv \end{augmatrix},\end{split}\]

Tulon \(A\bv\) alkiot on siis matriisin \(A\) rivien ja vektorin \(\bv\) pistetuloja.

Esimerkki 3.2.4

Lasketaan esimerkissä 3.2.3 esiintynyt matriisin ja vektorin tulo uudelleen, mutta käytetään tällä kertaa edellä esitettyä laskutapaa. Nyt

\[\begin{split}A\bv = \begin{augmatrix}{crr} 1 & 4 & -2\\ 2 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 7\\ 3 & -3 & 6 \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{c} 1\cdot 1+4\cdot 2 - 2\cdot 3 \\ 2\cdot 1+0\cdot 2+3\cdot 3 \\ 0\cdot1+1\cdot 2+7\cdot 3 \\ 3 \cdot 1 - 3 \cdot 2 + 6 \cdot 3 \end{augmatrix} =\begin{augmatrix}{c} 3 \\ 11 \\ 23 \\ 15 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Kahden matriisin tulo

Pohdi 3.2.5

Palataan Ruskan ja Tuiskun seuraan. He ovat edelleen lähdössä ruokaostoksille ja vertailevat hintoja kahdessa lähikaupassaan. Tässä vielä Ruskan ja Tuiskun kauppalista sekä ruokatavaroiden hinnat eri kaupoissa.

       
Ruska \(6\) \(4\) \(4\)
Tuisku \(6\) \(2\) \(3\)
     
maito \(1{,}40\) e \(1{,}30\) e
sämpylä \(1{,}10\) e \(1{,}15\) e
jogurtti \(0{,}50\) e \(0{,}60\) e

Minkälaisilla laskuilla voi laskea seuraavat tiedot?

  1. Ruskan ostosten yhteishinta Y-kaupassa
  2. Ruskan ostosten yhteishinta T-valinnassa
  3. Tuiskun ostosten yhteishinta Y-kaupassa
  4. Tuiskun ostosten yhteishinta T-valinnassa

Tähän mennessä on kerrottu matriisilla vektoreita. Vektoria voi ajatella matriisina, jossa on yksi sarake. Siirrytään nyt tutkimaan yleisesti, millainen on kahden matriisin välinen tulo. Olkoon matriisi \(A\) edellisen pohdintatehtävän kauppalista ja matriisi \(B\) hintataulukko. Toisin sanoen

\[\begin{split}A=\begin{augmatrix}{ccc} 6& 4& 4 \\ 6 & 2 & 3 \end{augmatrix}\end{split}\]

ja

\[\begin{split}B=\begin{augmatrix}{cc} 1{,}40& 1{,}30 \\ 1{,}10 & 1{,}15 \\ 0{,}50 & 0{,}60 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Matriisien \(A\) ja \(B\) tulo on sellainen matriisi, joka sisältää tiedon ostosten yhteishinnoista eri kaupoissa.

Ruskan ostosten yhteishinnat lasketaan seuraavasti:

\[\begin{split}\begin{aligned} & 6 \cdot 1{,}40+4\cdot 1{,}10+4 \cdot 0{,}50 \\ & 6 \cdot 1{,}30+4\cdot 1{,}15+4 \cdot 0{,}60. \end{aligned}\end{split}\]

Tätä voi kuvata vektorilla

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{c} 6 \cdot 1{,}40+4\cdot 1{,}10+4 \cdot 0{,}50 \\ 6 \cdot 1{,}30+4\cdot 1{,}15+4 \cdot 0{,}60 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Tuiskun ostosten yhteishinnat puolestaan lasketaan seuraavasti:

\[\begin{split}\begin{aligned} & 6 \cdot 1{,}40+2\cdot 1{,}10+3 \cdot 0{,}50 \\ & 6 \cdot 1{,}30+2\cdot 1{,}15+3 \cdot 0{,}60 \end{aligned}\end{split}\]

ja niitä voi kuvata vektorilla

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{c} 6 \cdot 1{,}40+2\cdot 1{,}10+3 \cdot 0{,}50 \\ 6 \cdot 1{,}30+2\cdot 1{,}15+3 \cdot 0{,}60 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Tulomatriisissa \(AB\) on sarakkeina nämä kaksi vektoria:

\[\begin{split}AB=\begin{augmatrix}{cc} 6 \cdot 1{,}40+4\cdot 1{,}10+4 \cdot 0{,}50 & 6 \cdot 1{,}40+2\cdot 1{,}10+3 \cdot 0{,}50\\ 6 \cdot 1{,}30+4\cdot 1{,}15+4 \cdot 0{,}60 & 6 \cdot 1{,}30+2\cdot 1{,}15+3 \cdot 0{,}60 \end{augmatrix}= \begin{augmatrix}{cc} 14{,}80 & 12{,}10 \\ 14{,}80 & 11{,}90 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Matriisista \(AB\) nähdään, kummassa kaupassa Ruskan ja Tuiskun kannattaa asioida. Ruskan ostokset ovat tulevat molemmissa kaupoissa yhtä kalliiksi (\(14{,}80\) euroa). Tuiskun ostokset puolestaan tulevat halvemmiksi T-valinnassa (\(11{,}90\) euroa).

Tulomatriisin sarakevektorit voi myös kirjoittaa muodossa

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{c} 6 \cdot 1{,}40+4\cdot 1{,}10+4 \cdot 0{,}50 \\ 6 \cdot 1{,}30+4\cdot 1{,}15+4 \cdot 0{,}60 \end{augmatrix} =6\begin{augmatrix}{c} 1{,}40 \\ 1{,}30 \end{augmatrix}+ 4 \begin{augmatrix}{c} 1{,}10 \\ 1{,}15 \end{augmatrix}+ 4\begin{augmatrix}{c} 0{,}50 \\ 0{,}60 \end{augmatrix}=A\bb_1\end{split}\]

ja

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{c} 6 \cdot 1{,}40 \\ 6 \cdot 1{,}30 \end{augmatrix} =6\begin{augmatrix}{c} 1{,}40\\ 0{,}30 \end{augmatrix}+ 2\begin{augmatrix}{c} 1{,}10 \\ 1{,}15 \end{augmatrix}+ 3\begin{augmatrix}{c} 0{,}50 \\ 0{,}60 \end{augmatrix}=A\bb_2,\end{split}\]

missä \(\bb_1\) ja \(\bb_2\) ovat matriisin \(B\) sarakkeet. Tulomatriisin \(AB\) sarakkeet saadaan siis kertomalla matriisilla \(A\) matriisin \(B\) sarakkeita.

Määritelmä 3.2.6

Matriisien \(A \in \R^{m \times n}\) ja \(B \in \R^{n \times p}\) tulo on

\[AB= \begin{augmatrix}{cccc} A\bb_1 & A\bb_2 &\cdots &A\bb_p \end{augmatrix}.\]

Tässä vektorit \(\bb_1, \bb_2, \cdots, \bb_n\) ovat matriisin \(B\) sarakkeet. Huomaa, että kaksi matriisia voidaan kertoa keskenään vain, jos ensimmäisessä on yhtä paljon sarakkeita kuin toisessa on rivejä.

Jos matriisi \(B\) on vektori eli siinä on vain yksi sarake, on matriisitulon määritelmä sama kuin matriisin ja vektorin välisen tulon määritelmä. Matriisien tulon määritelmä siis yleistää matriisin ja vektorin välistä tuloa.

Esimerkki 3.2.7

Lasketaan matriisien

\[\begin{split}A=\begin{augmatrix}{rr} 4 & 5 \\ 6 & 7 \\ -1 & -2 \end{augmatrix} \quad \text{ja} \quad B=\begin{augmatrix}{cc} 1 & 2 \\ 8 & 9 \end{augmatrix}\end{split}\]

tulo. Koska matriisissa \(A\) on kaksi saraketta (\(3\times 2\)-matriisi) ja matriisissa \(B\) on vastaavasti kaksi riviä (\(2 \times 2\)-matriisi), matriisit voidaan kertoa keskenään. Tulomatriisi on \(3\times 2\)-matriisi.

Lasketaan ensin matriisin \(A\) tulot matriisin \(B\) sarakkeiden kanssa:

\[\begin{split}A\bb_1= \begin{augmatrix}{rr} 4 & 5 \\ 6 & 7 \\ -1 & -2 \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{c} 1 \\ 8 \end{augmatrix}= 1\begin{augmatrix}{r} 4 \\ 6 \\ -1 \end{augmatrix}+ 8\begin{augmatrix}{r} 5 \\ 7 \\ -2 \end{augmatrix}= \begin{augmatrix}{r} 4 \\ 6 \\ -1 \end{augmatrix}+ \begin{augmatrix}{r} 40 \\ 56 \\ -16 \end{augmatrix}= \begin{augmatrix}{r} 44 \\ 62 \\ -17 \end{augmatrix}\end{split}\]

ja

\[\begin{split}A\bb_2= \begin{augmatrix}{rr} 4 & 5 \\ 6 & 7 \\ -1 & -2 \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{c} 2 \\ 9 \end{augmatrix}= 2\begin{augmatrix}{r} 4 \\ 6 \\ -1 \end{augmatrix}+ 9\begin{augmatrix}{r} 5 \\ 7 \\ -2 \end{augmatrix}= \begin{augmatrix}{r} 8 \\ 12 \\ -2 \end{augmatrix}+ \begin{augmatrix}{r} 45 \\ 63 \\ -18 \end{augmatrix}= \begin{augmatrix}{r} 53 \\ 75 \\ -20 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Nämä vektorit ovat matrisiin \(AB\) sarakkeet. Toisin sanoen

\[\begin{split}AB = \begin{augmatrix}{cc} A\bb_1 & A\bb_2 \end{augmatrix} =\begin{augmatrix}{rr} 44 & 53 \\ 62 & 75 \\ -17 & -20 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Esimerkki 3.2.8

Matriisien

\[\begin{split}C=\begin{augmatrix}{crr} 1& 4 & 5 \\ 2 & 6 & 7 \\ 3& -1 & -2 \end{augmatrix} \quad \text{ja} \quad D=\begin{augmatrix}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 8 & 9 & 10 \end{augmatrix}\end{split}\]

tuloa ei voi laskea. Matriisissa \(C\) on nimittäin kolme saraketta ja matriisissa \(D\) kaksi riviä. Koska nämä lukumääärät eivät ole samat, ei tuloa \(CD\) ole määritelty.

Matriisien \(A \in \R^{m \times n}\) ja \(B \in \R^{n \times p}\) tulo voidaan kirjoittaa myös toisenlaisessa muodossa. Olkoot \(\br_1,\ldots,\br_m\) matriisin \(A\) rivit. Nyt

\[\begin{split}AB = \begin{augmatrix}{cccc} \br_1 \cdot \bb_1 & \br_1 \cdot \bb_2 & \cdots & \br_1 \cdot \bb_p \\ \br_2 \cdot \bb_1 & \br_2 \cdot \bb_2 & \cdots & \br_2 \cdot \bb_p \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \br_m \cdot \bb_1 & \br_m \cdot \bb_2 & \cdots & \br_m \cdot \bb_p \end{augmatrix}.\end{split}\]

Matriisin \(AB\) rivin \(i\) ja sarakkeen \(j\) alkio on siis matriisin \(A\) rivin \(i\) ja matriisin \(B\) sarakkeen \(j\) pistetulo.

Esimerkki 3.2.9

Lasketaan esimerkissä 3.2.7 esiintyneiden matriisien

\[\begin{split}A=\begin{augmatrix}{rr} 4 & 5 \\ 6 & 7 \\ -1 & -2 \end{augmatrix} \quad \text{ja} \quad B=\begin{augmatrix}{cc} 1 & 2 \\ 8 & 9 \end{augmatrix}\end{split}\]

tulo uudelleen, mutta käytetään tällä kertaa edellä esitettyä laskutapaa. Nyt

\[\begin{split}\begin{aligned} AB & = \begin{augmatrix}{rr} 4 & 5 \\ 6 & 7 \\ -1 & -2 \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{cc} 1 & 2 \\ 8 & 9 \end{augmatrix} =\begin{augmatrix}{cc} 4\cdot 1+5\cdot 8 & 4\cdot 2+5\cdot 9 \\ 6\cdot 1+7\cdot 8 & 6\cdot 2+7\cdot 9 \\ (-1)\cdot 1+(-2)\cdot 8 & (-1)\cdot 2+(-2)\cdot 9 \end{augmatrix} =\begin{augmatrix}{rr} 44 & 53 \\ 62 & 75 \\ -17 & -20 \end{augmatrix}. \end{aligned}\end{split}\]

Kolmas tapa kirjoittaa tulomatriisi \(AB\) on ilmaista kaava, jolla tulomatriisin alkiot saadaan:

\[\begin{split}\begin{aligned} (AB)(i,j)&=A(i,1)B(1,j)+A(i,2)B(2,j)+\cdots+A(i,n)B(n,j) \\ &=\sum_{k=1}^n A(i,k)B(k,j) \end{aligned}\end{split}\]

kaikilla \(i\in\{1,\dots,m\}\) ja \(j\in\{1,\dots,p\}\). Merkintä

\[\displaystyle{\sum_{k=1}^n c_k}\]

tarkoittaa summaa \(c_1+c_2+\cdots+c_n\).

Esimerkki 3.2.10

Matriisikertolasku ei ole vaihdannainen operaatio eli tulon tekijöiden järjestystä ei voi vaihtaa. Tarkastellaan vaikkapa matriiseja

\[\begin{split}A= \begin{augmatrix}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{augmatrix} \quad \text{ja} \quad B=\begin{augmatrix}{rc} 0 & 3 \\ -4 & 1 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Laskemalla tulo molemmin päin huomataan, että

\[\begin{split}AB= \begin{augmatrix}{rc} -4 & 7 \\ -8 & 5 \end{augmatrix} \quad \text{mutta} \quad BA= \begin{augmatrix}{rr} 3 & 6 \\ -7 & -2 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Siten \(AB \neq BA\).

Kertolaskun avulla matriisista voidaan poimia jokin tietty sarake tai rivi. Palautetaan mieleen, että merkinnällä \(\be_i\) tarkoitetaan luonnollisen kannan vektoria \((0,\dots,0,1,0,\dots,0)\), jossa \(1\) on \(i\):nnes komponentti.

Lause 3.2.11

Olkoon \(A\) \(m\times n\)-matriisi. Oletetaan, että \(i \in \{1,\dots,n\}\) ja \(j \in \{1,\dots,m\}\). Tällöin

  1. \(A\be_i\) on matriisin \(A\) \(i\):s sarake
  2. \(\tp{\be_j}A\) on matriisin \(A\) \(j\):s rivi.
Todistus

Todistetaan esimerkin vuoksi ensimmäinen kohta. Matriisin ja vektorin tulon määritelmän mukaan

\[A\be_i=0\ba_1 + 0\ba_2 + \cdots + 0\ba_{i-1}+1\ba_i+0\ba_{i+1}+\dots+ 0\ba_n=\ba_i.\]

Toisessa kohdassa merkintä \(\tp{\be_j}\) tarkoittaa vaakavektoria

\[\tp{\be_j} = \begin{augmatrix}{cccccc} 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \end{augmatrix},\]

missä luku \(1\) esiintyy \(j\):nnessä sarakkeessa. Loput jätetään harjoitustehtäväksi.

Matrisitulon avulla voidaan määritellä myös neliömatriisin potenssi.

Määritelmä 3.2.12

Oletetaan, että \(A\) on \(n \times n\)-matriisi ja \(k \in \{1,2,\dots\}\). Tällöin matriisin \(A\) \(k\):s potenssi on

\[A^k=\underbrace{AA\cdots A}_{k\text{ kpl}}.\]
Valitse paikkansa pitävät väittämät. Oletetaan, että \(A, B \in \R^{m \times n}\) ja että \(\bb \in \R^m \setminus \{\bzero\}\).
Palautusta lähetetään...

Palautus on vastaanotettu.